Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Досить ефективно при розв’язанні деяких задач застосовується мало відома стереометрична теорема Менелая для довільного тетраедра.

Теорема Менелая для тетраедра. У довільному тетраедрі  точки  належать ребрам  і  відповідно (див. рис. 2.1). Для того, щоб точки  належали однієї площині, необхідно і достатньо, щоб виконувалось співвідношення

 

                                      (2.1)

 

Рис 2.1 До формулювання теореми Менелая для довільного тетраедра

 

Доведення. Необхідність. Нехай чотирикутник  – перетин даного тетраедра деякою площиною . Проведемо  – перпендикуляри до площи-ни . Розглянемо «фрагмент» – перетин ребра   площиною   (див. рис. 2.2).

Рис 2.2 До доведення теореми Менелая

 

Трикутники  та  подібні, тому .

Трикутники  та  подібні, тому .

 

 

Трикутники  та  подібні, тому .

 

Трикутники  та  подібні, тому .

 

Перемножуючи знайдені пропорції, приходимо до рівності:

 

.

Достатність. Припустимо, що виконується співвідношення (2.1), але точки   не лежать в одній площині. Проведемо через точки  площину , що перетинає ребро  в деякій точці , відмінної від . Тому ,

отже, співвідношення (2.1) для точок  виконуватися не буде. Оскільки ми прийшли до протиріччя з вихідною умовою (не виконується рівність (2.1)), то наше припущення невірне й площина   пройде через точку .

Теорема доведена.

Наведемо застосування цієї теореми до розв’язання стереометричних задач.

 

Задача 2.1 У тетраедрі   точки  належать ребрам  і  відповідно (див. рис. 2.3), причому  і . Через точки  проведена площина . У якому відношенні ця площина поділяє об’єм тетраедра?

 

Рис. 2.3 До задачі 2.1

 

Розв’язок. Нехай площина   перетинає ребро  в точці . Чотирикутник  – переріз даного тетраедра площиною . Визначимо, у якому відношенні точка  поділяє ребро . На підставі співвідношення (2.1) та умови задачі маємо

 

,

звідки    .

 

У багатограннику  проведемо переріз через ребро   і вершину . Цей переріз розбиває розглянутий багатогранник на трикутну піраміду  і чотирикутну піраміду , яка діагональним перерізом  розбивається на дві трикутні піраміди: .

Нехай  – площа грані , – довжина висоти тетраедра, проведена з вершини ,  – об’єм даного тетраедра. Визначимо об’єми трьох отриманих вище трикутних пірамід. Для піраміди :

 

де  – довжина висоти трикутної піраміди , проведена з вершини  на площину грані  ( ). Тоді

 

 

Нехай далі  – площа грані ,  – довжина висоти даного тетраедра, проведена з вершини  на площину грані . Тоді

 

 

де  – довжина перпендикуляра, проведеного з вершини  на площину грані  ( ) і

 

 

Знайдемо тепер об’єм багатогранника :

 

Отже, .

 

У такий спосіб шукане відношення дорівнює 23:40.

Відповідь: 23:40.

 

Задача 2.2. Об’єм тетраедра  дорівнює 5. Через середини ребер  проведена площина, яка перетинає ребро  в точці . При цьому відношення довжини відрізка  до довжини відрізка  дорівнює . Знайдіть площу перерізу тетраедра зазначеною площиною, якщо відстань до неї від вершини  дорівнює 1.

 

Рис. 2.4 До задачі 2.2

 

Розв’язок.

Нехай  і  – середини ребер  відповідно і .

Чотирикутник – заданий за умовою переріз. На підставі теореми Менелая

 

,

,

 

звідки    .

З'єднаємо точки  і ,  і ,  і .

Нехай  і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини  На рисунку не наведено), дорівнює . Згідно з умовою задачі . Висота піраміди , проведена з вершини  дорівнює .

Знайдемо тепер об’єм піраміди :

 

 

Далі нехай  і довжина висоти тетраедра, проведена з вершини   на грань  дорівнює . Тоді об’єм піраміди  дорівнює

 

 

.

 

З іншої сторони (враховуючи, що відстань від вершини  до площини перерізу за умовою задачі дорівнює 1), маємо

 

Отже, .

 

Відповідь: 3.

 

Задача 2.3 В піраміді  проведений переріз  так, що точка  лежить на ребрі  точка  – на ребрі , точка  – на ребрі , точка  – на ребрі . Відомо, що , .

Знайти відношення об’ємів частин, на які площина  поділяє піраміду.

 

Рис 2.5 До задачі 2.3

 

Розв’язок.

З умови задачі безпосередньо випливає, що

 

 (2.3.1)

                                 (2.3.2)

Нехай  , .

Згідно з теоремою Менелая маємо

 

 

Враховуючи (2.3.1) і (2.3.2) й прийняті вище позначення одержуємо

 

,

 

звідки                           (2.3.3)

 

Розділивши обидві частини останньої рівності з умови задачі на , одержуємо

 

або

                                        (2.3.4)

 

З (2.3.3) і (2.3.4) складаємо систему

 

 

Розв’язуємо цю систему:

                 

 

і

 

Розбиваємо багатогранник  на три трикутні піраміди: , .

Нехай  – площа трикутника , – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини , – об’єм даної піраміди,  – довжина висоти піраміди , проведена з вершини . Тоді маємо

 

 

Нехай  – площа грані ,  – довжина висоти даної піраміди, проведена з вершини  на площину грані ,  – довжина перпендикуляра, опущеного з точки  на площину грані . Тоді маємо

 

Знайдемо об’єм багатогранника :

 

 

Отже, .

 

Таким чином, шукане відношення дорівнює 17:18.

 

Відповідь: 17:18.

 

Задача 2.4 Задана піраміда , основа якої має форму опуклого чотирикутни-ка  зі взаємно перпендикулярними діагоналями  і . Основа перпендикуляра, опущеного з вершини  на основу піраміди, збігається з точкою  – перетином діагоналей  і . Довести, що основи перпендикулярів, опущених із точки  на бічні грані піраміди, лежать на одному колі.

 

Рис. 2.6 До задачі 2.4

 

Розв’язок.

Нехай  – перпендикуляр до площини ,  – перпендикуляр до площини ,  – перпендикуляр до площини . Покажемо, наприклад, що точка – ортоцентр грані . В площині грані  проведемо промінь  до перетину з ребром  в точці . Згідно з умовою,  і . Тому .

Згідно з теоремою про три перпендикуляри (  , – похила,  –її проекція на ) маємо, що . Аналогічно доводиться, що . Отже, точка  – ортоцентр грані .

Аналогічно доводиться, що точки  і  також є ортоцентрами відповідних граней.

З'єднаємо точки  і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри . З'єднаємо точки  і . Згідно з теоремою про три перпендикуляри .

Оскільки з точки  в грані  на  можна провести тільки один перпендикуляр, то відрізок  пройде через точку . Отже, висоти, проведені в гранях  і  з вершин  і  на ребро , проходять через точки  і  відповідно і перетинають ребро  в точці .

Аналогічно доводиться, що висоти граней  і , проведені з вершин  і  на ребро , проходять через точки  і  відповідно і попадають в ту саму точку  на ребрі .

Розглянемо трикутник , у якому  і  (див. рис 2.7)

 

Рис 2.7

 

Нехай  і . Тоді  і .

З :

; ; .

З :

; ; .

 

Аналогічно розглянемо , нехай  (див. рис. 2.8).

 

Рис 2.8

 

З           ; ;

З           ; ;

 

Точки  і  належать відповідно ребрам  і  тетраедра . Розглянемо добуток

 

З того, що розглянутий добуток дорівнює 1, випливає, що точки  і  належать однієї площини (назвемо неї ). Побудуємо на , як на діаметрі сферу (на рисунку не наведено). Оскільки , то вершини цих кутів лежать на побудованій сфері. А так як точки  і  належать також площині , то ці точки лежать на перетині площини  зі сферою тобто на колі.

 

Задачі для самостійної роботи

 

Задача 2.5 В тетраедрі  через середини  та  ребер  та  проведена площина, яка перетинає ребра  та  відповідно в точках  та . Площа чотирикутника  дорівнює 16, а відношення довжини відрізка  до довжини відрізка  дорівнює 0,5. Обчислити відстань від вершини   до площини , якщо об’єм багатогранника   дорівнює 8.

Розв’язок.