Міністерство освіти і науки України

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Міністерство освіти і науки України

Дніпропетровський національний університет

Механіко-математичний факультет

Кафедра математичного аналізу

ДИПЛОМНА РОБОТА БАКАЛАВРА

ТЕОРЕМИ ЧЕВИ І МЕНЕЛАЯ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ

Виконавець Керівник роботи

студентка групи ММ-01-1 к.ф.-м.н., доцент

Бондаренко Н.С. Поляков О.В.

Допускається до захисту

Завідувач кафедрою Рецензент

доктор фіз.-мат. наук, професор к.ф.-м.н., доцент

Бабенко В.Ф. Великін В.Л.

м. Дніпропетровськ

2006 р.

РЕФЕРАТ

Дипломна робота містить 87 стор., 54 рис., 20 джерел.

Об ’ єктом дослідження є теореми Чеви та Менелая на площині та в просторі.

Мета роботи – вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач двома способами: традиційним і за допомогою теорем Чеви та Менелая.

Одержані висновки та їх новизна – теорема Менелая дозволяє знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій. Теореми Чеви та їх наслідки використовується при розв’язуванні задач про трійки прямих, що проходять через одну точку, а також при доведенні теорем про перетин трійок прямих в одній точці. Розглянуто аналоги теорем Чеви та Менелая в просторі. В дипломній роботі розв’язано 50 задач.

Результати досліджень можуть бути застосовані при викладанні теми “Теореми Чеви та Менелая” в математичних класах середніх шкіл, гімназіях та ліцеях, при позакласній роботі з учнями (на заняттях математичних гуртків, при проведенні математичних олімпіад, для індивідуальної роботи з найбільш здатними учнями).

Перелік ключових слів: ТЕОРЕМА ЧЕВИ, ТЕОРЕМА МЕНЕЛАЯ, ТРИКУТНИК, ТЕТРАЕДР, ТОЧКА, ПРЯМА, СІЧНА, ВІДРІЗОК.

ANNOTATION

This degree thesis of the 5^th year student (DNU, Faculty of Mechanics and Mathematics, Department of Mathematical Analysis) deals with Cheva’s and Menelay’s theorems. The work is interesting for the students and post-graduates students of mathematical specialties.

Bibliography: 20.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1. Теорема Менелая для трикутника

1.1 Орієнтовані відрізки

1.2 Теорема Менелая

1.3 Теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса

1.4 Застосування теореми Менелая для розв’язання задач

РОЗДІЛ 2. Теорема Менелая для тетраедра

РОЗДІЛ 3. Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів

3.1 Теореми Чеви для трикутника, тетраедра, в формі синусів

3.2 Застосування теорем Чеви для розв’язання задач

РОЗДІЛ 4. Теореми Чеви та Менелая на площині

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

ВСТУП

Геометрія починається з трикутника. Якщо взяти шкільний підручник з геометрії, то ми побачимо, що перші змістовні теореми стосуються саме трикутника. Все попереднє – лише аксіоми, означення або найпростіші з них наслідки. На початку свого виникнення планіметрія була “геометрією трикутника”. “Геометрія трикутника” може пишатися теоремами, які носять ім’я Ейлера, Торрічеллі, Лейбниця. На рубежі 19-20 століть завдяки великій кількості робіт, присвячених трикутнику, був створений цілий новий розділ планіметрії – “Нова геометрія трикутника”. Багато з цих робіт зараз виглядають малоцікавими, недосконалими; термінологія, яка використовувалась в них майже забута й зустрічається тільки в енциклопедіях. Але деякі теореми “Нової геометрії” продовжують жити й досі. Двом таким теоремам – Чеви та Менелая – присвячена дипломна робота.

Теореми Чеви та Менелая можна назвати “двоїстими” теоремами: вони схоже формулюються й доводяться, вони взаємозамінюються при розв’язанні задач. Теореми Чеви та Менелая корисні у випадках, коли необхідно “з’ясувати відношення” між точками та прямими, – наприклад, довести, що будь-які три прямі перетинаються в одній точці, три точки лежать на одній прямій та ін.

Теореми Чеви та Менелая не входять в основний курс шкільної геометрії, між тим вони прості, цікаві й застосовуються при розв’язанні досить складних задач.

Дипломна робота присвячена розробці методики викладання теми “Теореми Чеви та Менелая та їх застосування”.

Робота складається із вступу, 4 розділів, висновків та списку використаної літератури. Кожен розділ побудовано за такою структурою. На початку розділу наводиться необхідний теоретичний матеріал, потім викладено задачі з докладним розв’язанням, а наприкінці наведено задачі для самостійної роботи з розв’язанням та відповідями.

В першому розділі роботи “Теорема Менелая для трикутника” сформульовано й доведено теорему Менелая для трикутника, наведено нетривіальні приклади використання теореми Менелая (доведено теореми Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса), продемонстровано ефективність використання теореми на приклади розв’язання задач двома способами: традиційним і за допомогою теореми Менелая.

В другому розділі “Теорема Менелая для тетраедра” сформульовано й доведено аналог теореми Менелая в просторі, наведено приклади розв’язання складних стереометричних задач.

В третьому розділі “Теореми Чеви для трикутника та тетраедра. Теорема Чеви в формі синусів” сформульовані теореми Чеви та наслідки з них, наведено розв’язані задачі.

В четвертому розділі “Теореми Чеви та Менелая для площини” наведено інший підхід до формулювання теорем Чеви та Менелая.

Всього в роботі розв’язано 50 задач.

Дипломна робота може бути використана викладачами ліцеїв та гімназій при викладанні спеціальних курсів, а також при підготовці учнів до олімпіад з математики.

РОЗДІЛ 1

Рис. 1.3

Тоді, якщо точки і лежать по одну сторону від прямої , то відрізки й орієнтовані однаково (див. рис. 1.3а), а якщо по різні сторони – протилежно (див. рис. 1.3б), при цьому в обох випадках .

Зазначемо такі важливі властивості відношень:

1) 2) .

Нехай тепер на прямій задана ще третя точка – . На рисунку 1.4 показано, якими можуть бути відношення в залежності від положення точки на прямій . Так, якщо лежить на відрізку , то ; якщо точка лежить ліворуч від точки , то ; якщо точка лежить праворуч від точки , то .

Отже, задаючи відношення орієнтованих відрізків ми однозначно визначаємо положення точки на прямій .

Рис. 1.4

Зауваження. Точки , для якої , не має на прямій (можна приєднати до прямої нескінчено удалену точку і вважати, що саме для неї ). Слід зазначити, що просте відношення довжин відрізків неоднозначно задає точку на прямій – таких точок, як правило, дві (за виключенням середини відрізка , для якої ).

Теорема Менелая

Теорема Менелая дійшла до нас в арабському перекладі книги «Сферика» грецького математика та астронома Менелая Олександрійського (І-ІІ століття нашої ери). Теорема Менелая дозволяє в деяких випадках знаходити відношення відрізків, а також доводити належність трьох точок одній прямій.

Теорема Менелая. Нехай задано трикутник і три точки на прямих і відповідно. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли

(1.1)

Зауваження. Іноді добуток відношень в теоремі Менелая записують так:

Тут всі відношення, що перемножуються – це відношення орієнтованих відрізків .

Рис. 1.5

Доведення.

Необхідність. Нехай пряма перетинає прямі та в точках і відповідно (див. рис. 1.5) і – перпендикуляри, які опущено з точок на пряму . Як було доведено раніше,

Перемножаючи записані відношення, маємо

Достатність. Проведемо пряму . Ми повинні довести, що ця пряма перетинає в точці . Насамперед доведемо, що дійсно перетинає . Припустимо, що паралельна (див. рис. 1.6). Але тоді

Звідси та з рівності (1.1) випливає , що неможливо.

Нехай – точка перетину прямих та . По вже доведеному

Рис. 1.6

Порівнюючи з умовою, одержуємо, що

Оскільки мова йде про відношення орієнтованих відрізків, то , що потрібно було довести довести. Отже, теорема Менелая повністю доведена.

Зауваження 1. При розв’язанні конкретних обчислювальних задач, якщо відомо, що точки і лежать на одній прямій, можна не турбуватися про запис відношень орієнтованих відрізків в формулі (1.1), а обмежитися відношеннями їх довжин.

Зауваження 2. Якщо замінити в (1.1) орієнтовані відношення відношеннями довжин, обернена теорема перестає бути вірною, тобто точки і , для яких виконується (1.1), не повинні лежати на одній прямій.

Наприклад, нехай точки взяті на сторонах трикутника так, що , і – середина сторони , тоді

але точки не лежать на одній прямій.

Доведення.

З теореми Менелая для трикутника та прямої (точка лежить на , – на , – на ) випливає, що

Аналогічно, з трикутників та , які перетинаються прямими та відповідно, маємо

Перемножуючи виписані рівності, після скорочення одержуємо

Але точки лежать на сторонах або продовженнях сторін трикутника і згідно з теоремою Менелая лежать на одній прямій.

Теорема доведена.

Наступна теорема була доведена в другій половині ІІІ століття древнегрецьким математиком Паппом Александрійським.

Теорема Паппа. На одній з прямих, що перетинаються взяті точки , на іншій – точки (див. рис. 8а). Прямі , , перетинаються в точках відповідно. Тоді точки лежать на одній прямій.

Доведення.

Розглянемо трикутник , де – точка перетину прямих , – точка перетину прямих , – точка перетину прямих (див. рис. 8б). Точки лежать на прямих відповідно.

Рис. 1.8

Запишемо теорему Менелая для трикутника та п’яти прямих , які перетинають сторони (або їх продовження) цього трикутника. Маємо

та пряма : ,

та пряма : .

Перемножуючи одержані рівності, знаходимо

отже, точки лежать на одній прямій. Теорема доведена.

Теорема Паскаля. Нехай шестикутник вписано в коло. Тоді точки перетину його протилежних сторін лежать на одній прямій.

Доведення.

Нехай – точки перетину прямих і , і , і відповідно, а – точки перетину прямих і , і , і відповідно (див. рис. 1.9). Необхідно довести, що лежать на одній прямій.

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

Рис. 1.9

Застосуємо теорему Менелая до трикутника та прямої :

Перемножуючи ці рівності, маємо

Використаємо властивості відрізків січних:

, , .

Звідси маємо

а оскільки знак кожного з шести співмножників від’ємний, то

тому

отже точки лежать на одній прямій.

Теорема доведена.

Теорема Гаусса. Середина відрізка, що з’єднує точки перетину продовжень протилежних сторін чотирикутника, лежить на прямій, що проходить через середини діагоналей чотирикутника.

Рис. 1.10

Доведення

Нехай протилежні сторони чотирикутника перетинаються в точках та (див. рис. 1.10). необхідно довести, що середина відрізка , середини та діагоналей і чотирикутника лежать на одній прямій.

Через точки проведемо прямі, паралельні сторонам трикутника : , , .

Згідно з теоремою Фалеса ці прямі перетинають сторони трикутника в їх серединах . Таким чином, точки лежать на продовженнях сторін трикутника , сторони якого є середніми лініями трикутника . Для того, щоб довести, що точки лежать на одній прямій, достатньо довести співвідношення

В силу властивості середньої лінії трикутника

, .

Отже, . Аналогічно знаходимо , . Тоді добуток дорівнює . А цей добуток дорівнює –1 згідно з теоремою Менелая, яка застосовується до та прямої . Теорема доведена.

РОЗДІЛ 2

РОЗДІЛ 3

Доведення.

Необхідність. Нехай через деяку точку проходять три прямі як показано на рисунку 3.1. Застосуємо теорему Менелая до трикутника , який перетинає пряма

Рис. 3.1 До формуліровки теореми Чеви

Аналогічно з трикутника згідно з теоремою Менелая маємо

Розділимо перше співвідношення на друге

Залишилося помітити, що

Необхідність доведена для випадку прямих, що перетинаються.

Якщо ж прямі і паралельні (див. рис. 3.2), то згідно з теоремою Фалеса маємо

Перемножуючи пропорції, одержимо

тобто

Необхідність доведена в повному обсязі.

Рис. 3.2 До доведення теореми Чеви

Достатність. Нехай для точок і на прямих і виконується співвідношення (3.1), а прямі і перетинаються в точці . Пряма перетинає прямую в деякій точці . По вже доведеному

Звідси й зі співвідношення (3.1) випливає , що означає збіг точок і .

Якщо ж прямі і паралельні, то з (3.1) випливає, що і пряма буде їм паралельна. Теорема доведена.

Доведення.

1) Оскільки , , , то , отже медіани трикутника перетинаються в одній точці.

2) Розглянемо випадок, коли трикутник гострокутний.

Маємо , , , , , .

Звідси випливає

Якщо трикутник тупокутний, то дві висоти цього трикутника не є чевіанами. У випадку, коли точно один з відрізків є чевіаною, а інші з’єднують вершини з точками продовжень протилежних сторін, при цьому ці відрізки не паралельні, твердження теореми Чеви також виконується. Залишається повторити проведені вище обчислення для тупокутного трикутника.

3) З властивості бісектрис випливають наступні рівності:

, , .

Перемножуючи відповідно ліві та праві частини цих рівностей, одержуємо умову теореми Чеви.

4) З властивостей дотичних, проведених з однієї точки до кола маємо:

, , .

Звідси випливає рівність з теореми Чеви: .

, де - півпериметр трикутника ,

Отже, .

Це і означає, що прямі перетинаються в одній точці.

6) Нехай – сторони трикутника . Нехай – вершини правильних трикутників, побудованих на сторонах відповідно, а – точки перетину відрізків з відповідними сторонами або їх продовженнями. Зазначимо, що

при цьому знак “мінус” береться в тому випадку, коли точка лежить зовні відрізка . Аналогічно розписуються відношення для точок та . Після перемноження маємо . Наслідки доведено.

Іноді теорему Чеви зручно використовувати, вводячи замість відношень відрізків відношення синусів деяких кутів.

Теорема Чеви в формі синусів. Нехай на сторонах і трикутника взяті точки , . Прямі і проходять через одну точку або паралельні тоді і тільки тоді, коли

. (3.3)

Доведення.

Ми повинні переписати “в синусах” теорему Чеви. Запишемо її у формі (3.2):

Доведемо цю теорему для випадку, коли точки і лежать на сторонах трикутника. Випадки іншого розташування точок вимагають несуттєвих змін міркувань.

Нехай .

Інші позначення зрозумілі з рисунка 3.3.

Рис. 3.3 До доведення теорими Чеви у формі синусів

Застосовуючи теорему синусів до трикутників і , маємо

Або

Аналогічно, застосовуючи теорему синусів до трикутників і , маємо

і до трикутників і :

Перемножуючи записані співвідношення, знаходимо

Отже, умова нашої теореми рівносильна умові звичайної теореми Чеви.

Теорема доведена.

При доведенні теореми ми не застосовували відношень орієнтованих відрізків. В загальному випадку необхідно розглянути не тільки орієнтовані відрізки, але й орієнтовані кути, припускаючи, наприклад, що і т.п.

Далі наведемо мало відому стереометричну теорему Чеви для довільного тетраедра.

Т еорема Чеви для тетраедра. Нехай – точка всередині тетраедра , – точки перетину площин з ребрами відповідно (див. рис. 3.4). Тоді

(3.4)

І навпаки, якщо для точок , що лежать на відповідних ребрах, виконується співвідношення (3.4), то площини проходять через одну точку.

Рис. 3.4 До формуліровки теореми Чеви для тетраедра

Доведення необхідності легко одержати, якщо помітити, що точки (див. рис. 3.4) лежать в одній площині (це площина, що проходить через прямі та , які перетинаються в точці ), і застосувати теорему Менелая.

Обернена теорема доводиться так само, як і обернена теорема Менелая в просторі: необхідно провести площину через точки і довести, що ця площина перетне ребро в точці .

Доведення.

Нехай прямі, які проходять через вершини трикутника перпендикулярно до відповідних сторін трикутника , перетинаються в точці .

Оскільки точки лежать на колі, побудованому на відрізку як на діаметрі, то . Опустимо з точки перпендикуляр на пряму . Оскільки , то , тобто пряма симетрична прямій відносно бісектриси кута .

Аналогічні міркування для інших кутів показують, що перпендикуляри , які опущені з вершин трикутника на сторони трикутника симетричні прямим відносно бісектрис трикутника . Згідно з задачею 3.9 прямі перетинають в одній точці.

Задача 3.18 (теорема Ван Обеля). На сторонах трикутника взято точки , так що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що

Доведення.

Нехай прямі перетинають пряму, яка проходить через точку паралельно прямій , в точках і .

Оскільки трикутник подібний до трикутника , трикутник подібний до трикутника за першою ознакою подібності трикутників, то ; . Додавши ці рівності і, враховуючи, що , одержуємо:

Далі, трикутник подібний до трикутника і трикутник подібний до трикутника .

Тому ; .

Звідси випливає, що . З цієї рівності і рівності безпосередньо випливає, що

Задача 3. 19 Задано трикутник . Довести, що чевіани , які ділять його периметр навпіл, перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай довжини сторін відповідно , тоді число згідно з нерівністю трикутника додатнє і менше .

Нехай точка лежить на стороні і така, що . Зрозуміло, що пряма ділить периметр трикутника навпіл, аналогічно з точками і (можна помітити, що – точки дотику вневписаних кіл трикутника ).

Переконавшись в існуванні потрібних точок, розв’яжемо основну задачу.

Для цього обчислюємо довжини всіх необхідних відрізків.

, , ,

, , .

Зрозуміло, що , отже чевіани перетинаються в одній точці.

РОЗДІЛ 4

Доведення теореми Чеви.

Необхідність. Нехай прямі , перетинаються в одній точці. Доведемо, що виконуються умови (4.5) і (4.5^/).

Якщо прямі і перетинаються в одній точці, то або всі три точки і лежать на сторонах трикутника , або одна з точок лежить на стороні трикутника, а дві інші – на продовженнях відповідних сторін.

У першому випадку всі дроби, що входять у вираз , додатні, а в другому випадку один із трьох дробів, що входить у вираз , додатний, а два інші – від’ємні, так що знову вираз (а отже, і – див. лему) більше нуля.

Доведемо, що (оскільки >0, то з цього буде випливати, що дорівнює одиниці).

Позначимо точку перетину прямих і через (рис. 4.4а).

а)

б)

Рис. 4.4

Застосовуючи теорему синусів, одержимо

Перемножуючи ці рівності, знаходимо , тим самим необхідність доведена.

Достатність. Доведення достатності проведемо методом від супротивного.

Припустимо, що , але прямі , і не проходять через одну крапку (див. рис. 4.4б).

Позначимо точку перетину прямих і через , а через – точку перетину прямих і . Оскільки прямі , і перетинаються в одній точці, то

Але за умовою

звідки . Так як і точка і точка лежать на прямій , то з цього випливає, що точки та збігаються.

Теорема Чеви доведена.

Доведення теореми Менелая

Необхідність. Відомо, що точки і лежать на одній прямій. Необхідно довести рівності (4.6) та (4. ).

Якщо точки і лежать на одній прямій, то або усі вони знаходяться на продовженнях і сторін трикутника , або ж дві з точок знаходяться на відповідних ним сторонах, а третя – на продовженні.