Функция F(x) называется первообразной функцией  функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F¢(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F₁(x) = F₂(x) + C.

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Свойства:

1.

2.

3.

4.  где u, v, w – некоторые функции от х.

5.

1.        

Интеграл		Значение	Интеграл		Значение
1		-ln½cosx½+C	9		ex + C
2		ln½sinx½+ C	10		sinx + C
3			11		-cosx + C
4			12		tgx + C
5			13		-ctgx + C
6		ln	14		arcsin  + C
7			15
8			16

Непосредственное интегрирование.

              1.

                       Это интеграл от алгебраической суммы функций.

Применяя свойства интеграла, получим:

Проверим результат дифференцированием:

.

3. .

.

Проверка. Продифференцируем полученное выражение:

.

4. .

Преобразуем дифференциал.

.

5. .

Преобразуем дифференциал.

.

5. Найти неопределенный интеграл .

Преобразуем дифференциал.

                                    .

Метод замены переменной

Теорема 1. Пусть монотонная, непрерывно дифференцируемая функция, тогда

              (1)

При этом, если  то  где — функция, обратная .

Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

Алгоритм замены переменной:

1) Связать старую переменную интегрирования  с новой переменной  с помощью замены .

2) Найти связь между дифференциалами .

3) Перейти под знаком интеграла к новой переменной.

4) Проинтегрировать и в полученной первообразной вернуться к старой переменной, подставив

Пример 2. Проинтегрировать подходящей заменой переменной.

Решение:

Интегрирование по частям.
Некоторые виды интегралов, вычисляемых по частям

Если производные функций  и  непрерывны, то справедлива формула:

                    (3)

называемая формулой интегрирования по частям.

В качестве   обычно выбирают функцию, которая упрощается при дифференцировании.

Некоторые стандартные случаи функций, интегрируемых по частям, указаны в таблице 1. Там же дается способ выбора множителей  и .

Таблица 1

Вид интеграла

Вид интеграла

— многочлен от  степени , т. е. , где .

Пример 3. Проинтегрировать по частям.

Решение.