Предел функции f(x) при х®а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство

ïf(x)ï>M

выполняется при всех х, удовлетворяющих условию

0 < ïx - aï < D

Записывается .

Собственно, если в приведенном выше определении заменить условие ïf(x)ï>M на f(x)>M, то получим:

а если заменить на f(x)<M, то:

Графически приведенные выше случаи можно проиллюстрировать следующим образом:

         a           x       a           x           a            x

Функция называется бесконечно большой при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если , где А – число или одна из величин ¥, +¥ или -¥.

Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой.

Теорема. Если f ( x ) ® 0 при х ® а (если х ® ¥ ) и не обращается в ноль, то

1. Найти ( )

( )=13    

Используем теорему о пределе суммы, произведения и следствия о пределе степени

2. Найти .

Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю, то можно применить теорему о пределе дроби:

.

3. Найти

Решение.

Так как пределы числителя и знаменателя существуют и предел знаменателя не равен нулю, то можно применить теорему о пределе дроби:

₌

4. Найти        

Решение.

_{Так как предел знаменателя при   равен 0, тогда знаменатель бесконечно малая функция , следовательно}

_{функция обратная ей является функцией бесконечно большой, предел которой равен}

5. Найти        

Решение.

_{Так как предел знаменателя при   равен , тогда знаменатель бесконечно большая функция , следовательно}

_{функция обратная ей является функцией бесконечно малой , предел которой равен 0.}

Раскрытие неопределенностей вида

1. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби.

x ² – 6 x + 8 = 0;                               x ² – 8 x + 12 = 0;

D = 36 – 32 = 4;                            D = 64 – 48 = 16;

x ₁ = (6 + 2)/2 = 4;                        x ₁ = (8 + 4)/2 = 6;

x ₂ = (6 – 2)/2 = 2 ;                          x ₂ = (8 – 4)/2 = 2;

Тогда

2. Найти предел .

Теорему о пределе элементарной функции здесь применить нельзя, так как в точке 2 знаменатель рассматриваемой дроби обращается в нуль. Имеем неопределенность вида .

Разложим числитель и знаменатель на множители. Получим

Ответ: .

3. Найти предел .

При х→0 числитель и знаменатель дроби стремится к нулю, т.е. имеем неопределенность вида  Чтобы раскрыть эту неопределенность, избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель дроби на .

Таким образом,

Ответ: 4.

4. Найти предел .

При х→∞ числитель и знаменатель дроби стремится к бесконечности, т.е. имеем неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность, каждое слагаемое разделим на переменную в самой высокой степени, получим:

5.Найти предел.

домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

= .

6. Найти предел .

    Разложим числитель и знаменатель на множители.

x ² – 3 x + 2 = ( x – 1)( x – 2)

x ³ – 6 x ² + 11 x – 6 = ( x – 1)( x – 2)( x – 3)

Разделим многочлен x ³ – 6 x ² + 11 x – 6 на х-1

Получим( x – 1)( x – 2)( x – 3),

Тогда