Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Первый замечательный предел. 

 

Второй замечательный предел.      

 

1. Найти .

Здесь имеем неопределенность вида . Для раскрытия этой неопределенности преобразуем функцию так, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом.

.

Введем новую переменную. Пусть , тогда , при , . Следовательно:

 

2 .Найти предел.

 

 

3.Найти предел.

 

4. Найти .

Имеем: . Обозначим t = 5x. При x0 имеем: t0. Применяя формулу (1), получим .

 

5. Найти .

Имеем неопределенность вида . Воспользуемся первым замечательным пределом.

.

Можно привести другое решение.

Пусть , тогда  при . Тогда

.

 

 Тема 3. Производная функции.

Производной функции  называется конечный предел отношения приращения функции  к приращению независимой переменной  при стремлении последнего к нулю:

                                          (1)

Обозначения производной в точке х₀:

 и другие.

Если функция в точке х₀ (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

N

Геометрический смысл производной.

Если кривая задана уравнением ,
то — угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ( ).

Уравнение касательной к кривой  
в точке х₀ (прямая М₀Т) имеет вид:

                                                                 (2)

а уравнение нормали (М₀N):

                                                               (3)

Правила дифференцирования

№ пп	U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции	№ пп	U = u(x), V=V(x) — дифференцируемые функции
I		VI	Производная сложной функции
II

VII

Функция задана параметричес-кими уравнениями

III IV

VIII

Если  и  —
взаимно обратные функции,
то

V

Формулы дифференцирования основных элементарных функций

№ пп	с=const, х — независимая переменная, u = u(x) — диф­ференцируемая функция
1	С’= 0	9
2	x’= 1	10
3		11
4		12
5		13
6		14
7		15
8

Производной n-го порядка называется производная от производной (n–1)-го порядка. Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.

Производная второго порядка  или

Производная третьего порядка  или  и т. д.

Пример 1. Найти производные функций:

а)  б)  в)  г)

Решение.

а) Используя правила I, III и формулу (3), получим:

б) Используя правила дифференцирования произведения функций II, разности I, формулы (5), (7), (8) и учитывая, что независимая переменная есть t, т. е. t=1, получим:

в) Сложная степенная функция, независимая переменная есть v,
т. е. v=1;используя формулу (3), получим:

 

г) Используя правила дифференцирования частного IV, суммы I, III
и формулы (3), (14), учитывая, что t=1, получим:

Пример 2. Составить уравнение касательной и нормали к кривой в точке с абсциссой х₀=2.

Используем уравнения касательной (2) и нормали (3):

1)

2)

Подставим  в уравнения и получим:

или  — уравнение касательной.

 или — уравнение нормали.

Пример 3 . Найти производную , если функция задана парамет-рически:

Используем правило VII

Пример 4. Найти дифференциалы функций:

а)  б)  в)

Для дифференциала функции  справедлива формула  т. е. дифференциал функции равен произведению производной от функции на дифференциал независимой переменной.

Решение.

а)

б)

в)

Пример 5 . Найти производную второго порядка функции

Решение.  поэтому найдём производную первого порядка,
а затем второго.

 

Пример 6. Найти производную функции  логарифмическим дифференцированием

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м.  или б.б.  функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

                                                                         (5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность  или  и затем использовать формулу (5).

Пример 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

 а)   б)  

Решение.а) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

 т. к.

Аналогично: Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

б)