По расходным характеристикам КЭС определим ХОП

; ; .

Составим систему уравнений

и преобразуем ее к матричному виду

.

Решение системы дает следующий результат

При этом выполняется условие .

Оптимальный расход топлива равен 1021,4.

Метод покоординатного спуска

Запишем целевую функцию суммарного расхода топлива системы:

Баланс мощности определяется уравнением .

Мощность  примем в качестве зависимой переменной, выразим её через независимые  и  и подставим в уравнение для целевой функции

,

После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получим целевую функцию суммарного расхода топлива

.

Найдем минимум данной функции методом покоординатного спуска путем последовательного решения уравнения  при фиксированном значении , затем уравнения  при фиксированном значении Р₁.

Итак, из уравнения  получим

        .

Аналогично из уравнения найдем

В качестве нулевого приближения примем

; ; .

Значение целевой функции для нулевой итерации .

Результаты расчета приводятся в таблице.

Ход итерационного процесса показан на рисунке 1.16.

Градиентный метод с оптимальным шагом

Градиент целевой функции B равен

.

Примем в качестве нулевого приближения ;  и подставим данные значения в формулы для вектора градиента

.

Рисунок 1.16.

Оптимальный шаг в рамках градиентного метода может определяться по результатам одного пробного шага. Выполним пробный шаг длиной t₀=100 в направлении антиградиента

;

Определим градиент в конце пробного шага

.

Определим шаг, близкий к оптимальному, на направлении антиградиента в исходной точке

.

Скалярные произведения, входящие в выражение, соответственно, равны

,

.

Оптимальный шаг

.

Рабочий шаг в направлении антиградиента приводит в точку

Значение суммарного расхода топлива .

Аналогично выполняется расчет на следующей итерации.

Обобщенный метод Ньютона (ОМН)

Определим элементы матрицы Гессе для целевой функции B

.

Определим градиента в точке нулевого приближения ; :

.

Решив систему линейных уравнений

,

  получим следующий результат ; .

Новые значения переменных после первой итерации

.

Суммарный расход топлива составит .

Значение .

Как видно, обобщенный метод Ньютона за одну итерацию дает решение, совпадающее с решением, полученным на основе принципа равенства ОПРТ, т.е. ОМН сходится к минимуму за одну итерацию. Оптимальный расход топлива составляет 1021,38.

Метод случайного поиска

    В этом методе в текущей точке Р₁,Р₂, начиная с исходной, рассматривается квадрат с центром в этой точке, и определяется расход топлива в ней B ( P₁,P₂). Внутри квадрата выбирается новая точка, определяемая следующим образом

;  ,

где d – сторона квадрата,

  r - случайное число с равномерным распределением в диапазоне 0….1.

В новой точке также считается расход топлив и сравнивается с исходным.

Если в новой точке расход оказался меньше расхода в текущей точке, то текущая точка переносится в новую и расчет повторяется.

    Результаты расчета приведены в таблице 2.

            Таблица 2

Начальная часть траектории спуска показана на рисунке 1.17

Рисунок 1.17.

Метод прост в реализации алгоритма, но сходится при большом числе итераций.