Пусть в полубесконечном горизонтальном пласте постоянной толщины h и ширины В начальное пластовое давление всюду постоянно и равно p_k. На галереегалере (при х = 0) давление мгновенно снижено до р_г и в дальнейшем поддерживается постоянным (т. е. р_г = const(t)). В бесконечно удаленнойудалённой точке (х –> ∞) давление в любой момент времени остаетсяостаётся равным p_k. С течением времени давление в пласте изменяется p(x,t).

Рис.Рисунок - 2.11.1. Схема притока к галереи с постоянным давлением

В пласте образуется неустановившийся плоскопараллельный поток упругой жидкости. Давление в любой точке потока х и в любой момент времени t можно определить, интегрируя уравнение Фурье (1.14), которое для такого потока будет иметь вид

.

(2.11117)

Начальные и граничные условия при этом будут следующие:

Задача заключается в определении дебита галереи Q(t) и давления в любой точке потока и в любой момент момент времени р(х, t).

Используя анализ размерностей, покажем, что поставленная задача автомодельная, т. е. из аргументов, от которых зависит давление, можно составить один (безразмерный) комплекс.

Обозначим через φ = (р - р_г)/(p_k - р_г) безразмерное давление, которое, как следует из соотношений (2.1)(2.1)(2.1)(1.17) и (2.2)(2.2)(2.2)(1.18), зависит от времени t, координаты х и коэффициента пьезопроводности χ, т. е. φ = f(x, t, χ).

Размерности этих аргументов таковы: [х] = L, [t] = T, [χ] = L²/T, и из них можно составить один безразмерный комплекс . Приняв за новую переменную величину сведемсведём задачу к нахождению безразмерного давления φ, зависящего только от φ = f( u). При этом начальные и граничные условия переходят в следующие:

В силу линейности дифференциального уравнения (1.15) для функции φ имеемимеем такое же уравнение

.

(2.44420)

По правилу дифференцирования сложных функций находим

(2.55521)

Подставляя найденные значения производных в уравнение (2.4)(2.4)(2.4)(1.20) получим обыкновенное дифференциальное уравнение

,

(2.66622)

которое должно быть решено при условиях (1.18). Для решения уравнения (1.20) обозначим , тогда уравнение (1.20) принимает вид

,

(2.77723)

Разделяя переменные в (2.7)(2.7)(2.7)(1.23) и интегрируя, получаем

(2.88824)

где С₁ — постоянная интегрирования. Интегрируя (2.8)(2.8)(2.8)(1.24), будем иметь

(2.99925)

Первое граничное условие (φ = 0 при u = 0) позволяет определитьпозволяет определить C₂ = 0.

Второе граничное условие и начальное условие одинаковы и позволяют определить С₁.

,	(2.10101026)

Тогда

,	(2.11111127)

Интеграл в (1.27) называется интегралом вероятности и является табулированной функцией, изменяющейся в пределах от 0 до 1.

Поэтому закон распределения давления в неустановившемся плоскопараллельном фильтрационном потоке упругой жидкости имеетимеет вид

.	(2.12121228)

Типичные кривые распределения давления в различные моменты времени в неустановившемся плоскопараллельном потоке упругой жидкости к галереегалере, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением р_г = const, показаны на рис.Рисунок -Рисунок - 2.2 ??.1. На Рисунок - 2.3рисунке ??.3 показано изменение давления в различных точках пласта с течением времени.

Рисунок - 2.2. Рис. 1.2. Кривые распределения давления по длине галереи в различные моменты

Рисунок - 2.3.Рис. 1.3. Изменение давления в различных точках галереи с течением времени

НайдемНайдём дебит галереи Q. Будем считать положительным дебит, отбираемый из галереи (х = 0, см. рис.Рисунок - 1.1), когда поток движется против оси 0x.

Согласно закону Дарси, имеемимеем

,	(2.13131329)

где В, h — соответственно ширина и толщина пласта.

Типичные кривые распределения дебита в различные моменты времени в неустановившемся плоскопараллельном потоке упругой жидкости к галереегалере, пущенной в эксплуатацию с постоянным забойным давлением р_г = const, показаны на рис.Рисунок - 2.4Рисунок - 1.4. На Рисунок - 2.5рисунке 1.5 показано изменение давления в различных точках пласта с течением времени.

Рисунок - 2.4.Рис. 1.4. Кривые распределения дебита по длине галереи в различные моменты

Рисунок - 2.5.Рис. 1.5. Изменение дебита в различных точках галереи с течением времени

Из формулы (2.13)(2.13)(2.13)(1.29) следует, что дебит галереи убывает с течением времени как  и при t →∞ стремится к нулю. В начальный момент времени дебит равненравен бесконечности, что является следствием скачка давления на галереегалере  в этот момент времени.