Если функция спроса модели Стоуна имеет вид (при ai = 0 и bi равны между собой)
(или, при неравных между собой величинах bi)
,
то спрос на i–й товар не зависит от цены на любой j–й товар.
Перекрёстные функции спроса от цен характеризуют такие свойства товаров, как взаимозаменяемость и взаимодополняемость.
Если при росте цены на товар i, при снижении спроса на i–й товар, растет спрос на j–й товар – эти товары взаимозаменяемы (например, картофель – крупы; чай – кофе). Наоборот, если спрос на j–й товар также падает, – они взаимодополняемы.
Заметим, что реальная взаимозаменяемость может искажаться общим снижением благосостояния при росте цены i–го блага: j –ое благо может заменять i–е в потреблении, но спрос на него может не расти, поскольку снизилось общее благосостояние потребителя.
Для снятия этого искажения используют понятие компенсированного изменения цены, то есть такого, которое сопровождается увеличением дохода потребителя, позволяющим ему поддерживать прежний уровень благосостояния.
Практически компенсированное изменение цены изображается следующим образом (рис. 6.3).
Рис. 6.3. Графическая интерпретация эффекта компенсации
Пусть цена первого блага повысилась c 
до 
.
Тогда бюджетная прямая из положения 1 перейдёт в положение 2.
Точка А на линии безразличия 
, касающейся первоначального бюджетного ограничения, будет заменена новой точкой оптимума В, где новая линия безразличия 
, касается новой бюджетной прямой.
Если мы хотим компенсировать потребителю потерю благосостояния, то увеличим его доход так, чтобы новая бюджетная прямая 3 (параллельная линии 2) коснулась в некоторой точке С прежней линии безразличия .
Направленный отрезок А С показывает "эффект замены" при росте цены, то есть изменение структуры спроса при условии поддержания прежнего уровня благосостояния.
Направленный отрезок В С отражает "эффект дохода", то есть изменение потребительского спроса при сохранении соотношения цен благ и изменении (повышении) уровня дохода.
Общий результат роста цены (при отсутствии компенсации) выражается направленным отрезком АВ.
Анализа компенсационных эффектов рассмотрим на примере.
Пример 6.3. Пусть целевая функция потребителя зависит от двух благ 
и 
следующим образом:
.
Пусть цены благ равны, соответственно, 
и 
, а доход потребителя 
.
Тогда, согласно полученной формуле функции спроса
,
.
Пусть теперь 
меняется с 2 до 7.
Каков необходимый размер компенсации?
Решение. Чтобы приобрести прежний оптимальный набор, потребителю необходимо дополнительно (7 – 2) × 15 = 75 денежных единиц.
Однако прежняя структура потребления не будет оптимальной при новых ценах, и минимальная необходимая компенсация будет меньше, чем 75.
Пусть потребитель получает дополнительно количество денег М.
Тогда при новых ценах его спрос на первое и второе блага будет равен
:
.
Целевая функция будет равна
.
Это выражение должно равняться начальному 
.
Получаем
Это существенно меньше, чем 75.
При этом потребительский набор стал другим:
Теперь решим задачу в более общем виде.
Пусть по–прежнему , цены благ равны 
, и 
, а доход 
.
Очевидно, что справедливы соотношения:
.
Пусть теперь цена выросла в K раз (K > 1), и при этом потребитель получает необходимую компенсацию.
Новый размер дохода обозначим через 
, спрос: 
.
Очевидно,
и условие компенсации:
Отсюда
.
Итак, спрос на первый товар в случае с компенсацией сократится в 
раз (а не в K раз, как без неё), а спрос на второй товар в раз вырастет.
В случае роста цены второго товара ситуация будет полностью симметричной.
Таким образом,
при 
, 
или 
, 
.
Индекс сотр означает, что перекрёстная частная производная спроса рассчитывается при необходимой для поддержания прежнего уровня благосостояния компенсации дохода.
Условие компенсации снимает "эффект дохода", оставляя лишь "эффект замены", что позволяет более точно определить понятие взаимозаменяемости и взаимодополняемости благ и оценивать эти характеристики.
Блага i и j называются взаимозаменяемыми, если перекрёстные частные производные спроса по цене положительны:
и
(эти два условия равносильны), и взаимодополняемыми, если
и 
.
Рассчитаем теперь эти частные производные для рассматриваемой задачи, когда 
растёт в K раз.
Учтём соотношение спроса при n = 2:
В этом случае приращение
Отсюда
Последняя величина положительна, что свидетельствует о взаимозаменяемости благ в рассматриваемой задаче.
Модель Слуцкого
Одним из основных в теории потребительского выбора является уравнение (модель) Слуцкого, опубликованное российским математиком Е.Е.Слуцким в 1915 году.
Это уравнение позволяет увязать действие эффекта замены и эффекта дохода с результирующим изменением спроса.
Уравнение Слуцкого имеет вид:
Первое слагаемое в правой части описывает действие эффекта замены, второе – действие эффекта дохода, выраженное в тех же единицах измерения (множитель 
приводит их к одной размерности).
Слева записано результирующее воздействие на спрос, складывающееся из изменения структуры спроса (эффект замены) и общего его изменения при изменении уровня реального дохода.
Для ценных товаров величина 
, т.е. спрос растёт при росте дохода.
В этом случае, согласно уравнению Слуцкого,
.
Если спрос растёт, то он растёт больше при наличии компенсации, если падает – то в меньшей степени.
Может оказаться и так, что 
, но 
, то есть товары i и j взаимозаменяемы, но представляются взаимодополняемыми без учёта компенсации.
Уравнение Слуцкого может рассматриваться как при разных, так и при совпадающих i и j.
Из первых двух свойств функции полезности потребителя следует, что 
(на графике это обусловлено выпуклостью линий уровня функции полезности).
Если оказывается, что 
(спрос на товар растёт при росте цены – такие товары называются товарами Гиффина), то отсюда вытекает, что 
– то есть это обязательно малоценный товар.
Проверим уравнение Слуцкого для рассмотренной выше задачи потребительского выбора с функцией полезности
.
Было получено:
Используя уравнение Слуцкого
получаем
1) при 
:
;
2) при 
:
;
3) при 
:
.
Уравнения Слуцкого (при i = j и при i ¹ j) здесь выполнены.
Уравнение Слуцкого может быть использовано для нахождения 
, то есть для расчёта эффекта замены и оценки взаимозаменяемости или взаимодополняемости благ, поскольку частные производные без компенсации рассчитываются значительно легче.
Рассмотрим эластичности функции спроса.
Эластичность спроса по цене равна 
;
эластичность спроса по доходу 
.
Для функции спроса 
эластичность принимает значения
.
Из свойств функции спроса можно получить равенство
,
т.е. нулю должна равняться сумма всех эластичностей спроса по ценам и доходу.
Покажем, что если в задаче потребительского выбора всего два товара, то они обязательно являются взаимозаменяемыми.
Для этого воспользуемся тем, что 
и положительностью частных производных функции полезности.
Предположим, что выросла цена первого товара .
Поскольку 
, спрос на этот товар при условии компенсации падает.
Если бы при этом упал спрос и на второй товар, то мы получили бы точку, в которой обоих товаров меньше, чем в начальной.
Следовательно, в этой точке значение функции полезности 
должно быть также меньше (а мы знаем, что в условиях компенсации оно равно начальному).
Следовательно, спрос на второй товар при условии компенсации должен вырасти (т.е. 
) и он является взаимозаменяемым с первым товаром.
Дата: 2019-03-05, просмотров: 371.
