Условия задач, в которых приходится отыскивать угол между прямой и плоскостью, достаточно разнообразны. В зависимости от исходных данных, приходится подбирать соответствующий метод решения. Часто справиться с задачей нахождения угла между прямой и плоскостью помогают признаки равенства или подобия фигур, теорема косинусов и определения синуса, косинуса и тангенса угла. Также можно найти угол между прямой и плоскостью методом координат. Остановимся на нем подробнее.

Пусть в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат Oxyz , в ней задана прямая a, которая пересекает плоскость в точке M и не перпендикулярна плоскости , и требуется найти угол между прямой a и плоскостью .

Начнем с начальных данных, от которых мы будем отталкиваться при определении угла между прямой и плоскостью методом координат.

Прямой a в заданной прямоугольной системе координат Oxyz соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве и направляющий вектор прямой в пространстве, а плоскости - уравнение плоскости некоторого вида и нормальный вектор плоскости. Пусть - направляющий вектор прямой a, - нормальный вектор плоскости . Итак, будем считать, что нам известны координаты направляющего вектора прямой a и координаты нормального вектора плоскости (если известны уравнения прямой a и плоскости , то координаты векторов и определяются по этим уравнениям).

Осталось получить формулу, которая позволят вычислять угол между прямой и плоскостью по известным координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

Отложим векторы и от точки пересечения прямой a и плоскости . В зависимости от координат векторов и возможны четыре варианта расположения этих векторов относительно заданных прямой и плоскости. Изобразим их на чертеже.

Очевидно, если угол между векторами и (обозначим его ) острый, то он дополняет искомый угол между прямой и плоскостью до прямого угла, то есть, . Если же , то .

Так как косинусы равных углов равны, то последние равенства можно записать следующим образом:

Формулы приведения приводят нас к равенствам , которые после преобразований принимают вид

То есть, синус угла между прямой и плоскостью равен модулю косинуса угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости.

В разделе нахождение угла между двумя векторами мы выяснили, что угол между векторами равен отношению скалярного произведения векторов и произведения длин этих векторов, тогда для вычисления синуса угла между прямой и плоскостью справедлива формула .

Следовательно, формула для вычисления угла между прямой и плоскостью по координатам направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости имеет вид .

Основное тригонометрическое тождество позволяет найти косинус угла при известном синусе. Так как угол между прямой и плоскостью острый, то косинус этого угла является положительным числом и вычисляется по формуле .