Задача построения математической модели объекта с помощью планирования эксперимента требует количественную формулировку цели исследования. Характеристика цели исследования, заданная качественно, называется параметром процесса или явления. Им может быть, например, стойкость инструмента, точность операции, производительность и др. Количественное значение параметра является результатом процесса, его выходом или откликом. В случае решения задачи оптимизации исследуемый параметр процесса называют параметром оптимизации или критерием оптимизации.

Параметру оптимизации предъявляется ряд требований:

· он должен быть эффективным с точки зрения достижения конечной цели исследования;

· должен быть доступен для измерения;

· должен быть однозначным, т. е. заданному набору факторов должно соответствовать только одно значение параметра оптимизации;

· должен быть статистически эффективным, т. е. число различимых состояний в пределах изменения значения параметра должно быть максимально возможным. В статистике эффективными называют такие оценки, которые имеют наименьшую возможную при данных условиях дисперсию. Например, при исследовании обрабатываемости металлов их твердость является статистически неэффективным параметром оптимизации, так как ее измерение дает большую ошибку. Лучше принять другой параметр, в частности, временное сопротивление на разрыв, тем более, как известно, он тесно связан с твердостью;

· должен обладать способностью всесторонне характеризовать объект, т. е. быть универсальным. В частности, технологические параметры оптимизации недостаточно универсальны. Они не учитывают экономические свойства объекта;

· желательно, чтобы параметр оптимизации имел физический смысл, был простым и легко вычисляем. Требование физического смысла связано с последующей интерпретацией результатов эксперимента.

Объект исследования может характеризоваться несколькими параметрами, но в качестве параметра оптимизации следует брать только один и, если возможно, то обобщенный. В сокращении числа параметров оптимизации важную роль играет оценка корреляции между ними. При высокой значимости коэффициента парной корреляции любой из двух анализируемых параметров можно исключить. Конечно, стремятся исключить тот, который труднее измерять как технически, так и в отношении точности.

С математической точки зрения задача планирования экстремального эксперимента заключается в нахождении приближенной зависимости параметра оптимизации в виде некоторой модели

y = φ (x₁ ,x₂, x₃,…, x_k),

где y – параметр оптимизации (отклик процесса); x_i – переменные факторы, от которых зависит отклик и которые можно варьировать при проведении эксперимента. Ими могут быть конструктивные, геометрические и физико-механические свойства объекта исследования, например, инструмента, режимы резания, свойства обрабатываемого материала и т. п.

В общем случае исследование объекта (явления, процесса) ведется при неполном знании объекта. Поэтому вид модели параметра оптимизации неизвестен. Вместе практика исследований показала, что при решении задач оптимизации во многих случаях оправдывает себя математическая модель в виде степенного полинома

                         (1)

в котором свободный член b₀ и коэффициенты b_i, b_ij являются неизвестными и подлежат определению по результатам эксперимента.

Поскольку степень полинома, адекватно описывающего процесс, сразу предсказать трудно, то вначале пытаются описать явление линейной моделью. Если после проведения первой серии опытов и обработки ее результатов окажется, что линейная модель неадекватна, то повышают степень полинома и проводят очередную серию опытов и т. д. (рис. 1). Определив коэффициенты уравнения (1), получают представление о влиянии изучаемых факторов на процесс, о взаимодействии факторов, а при решении задачи оптимизации и о направлении движения к оптимальной области.