На предыдущем этапе получено упорядоченное по качеству множество назначений, представленное в виде таблицы, эле­ментами которой являются оценки качества назначений. Эта таблица служит исходной информацией для поиска оконча­тельного решения МЗН (см., например, табл. 12.5 и 12.6).

Напомним введенное ранее понятие ценности решения МЗН для ЛПР как функции совокупности назначений, формирую­щих решение МЗН: F ({ C i – O j }).

Далее предлагается несколько различных процедур поиска окончательного решения МЗН, выбор которых зависит от типа рассматриваемой задачи [12]. СППР лишь рекомендует воз­можные подходы для тех или иных типов задач. Однако выбор процедуры поиска решения остается за ЛПР – он может учи­тывать рекомендации системы, но волен поступать, исходя из своих реальных возможностей и потребностей. Любой из вы­бранных путей приведет к цели, но некоторые будут более бы­стрыми и потребуют меньших затрат. Эти соображения и по­зволяют рекомендовать следующие стратегии выбора процедур поиска решений МЗН.

Поиск решения МЗН типа А

При малом числе критериев, объектов и субъектов проце­дура решения МЗН может выглядеть следующим образом:

• анализ данных;

• основная и, если необходимо, вспомогательная процеду­ры выявления предпочтений ЛПР.

Второй этап является завершающим для данного типа задач.

Поиск решения МЗН типа В

При большом числе критериев и сравнительно небольшом числе объектов и субъектов рекомендуется следующий порядок поиска решения МЗН:

• анализ данных;

• формирование области допустимых решений (ОДР);

• формирование структуры предпочтений ЛПР – основная и вспомогательные процедуры (рекомендуется упорядочивать КС а по ценности лишь для реально существующего пространст­ва КС, что позволяет существенно уменьшить нагрузку на ЛПР; эта рекомендация особенно касается уникальных задач);

• ранжирование векторов соответствия по ценности;

• формирование ранговой матрицы «объекты—субъекты», элементами которой являются числа, отражающие ранги век­торов соответствия;

• решение однокритериальной задачи о назначениях на ранговой матрице с оптимизацией по критерию максимального числа наилучших назначений.

Заметим, что в общем случае полученное при таком подходе решение МЗН не является единственным. Однако указанный критерий оптимальности позволяет формировать эффективное решение с максимально возможным для заданной ОДР качест­вом, определяемым заданным критерием.

Поиск решения МЗН типа С

При большом числе объектов и субъектов, но малом числе критериев рекомендуются два подхода к поиску решения МЗН.

Первый подход аналогичен стратегии поиска решения, применяемой для задач типа В. Отличие заключается в том, что на этапе формирования структуры предпочтений ЛПР ре­комендуется проводить упорядочение КС а по ценности для всего критериального пространства, что в данном случае позволит существенно уменьшить нагрузку на ЛПР. Эта рекомендация в первую очередь касается повторяющихся задач, поскольку один раз сформированная единая шкала ценностей КС а может затем использоваться многократно.

Второй подход рекомендуется для уникальных задач типа С. Этот подход основан на идеях, предложенных в [5,9], и оп­ределяет следующий порядок поиска решения МЗН.

• Формальный анализ.

• Формирование структуры предпочтений ЛПР.

На втором этапе таблица соответствия анализируется ЛПР дважды – сначала по строкам, затем по столбцам. Построчный анализ позволяет ранжировать предпочтения ЛПР, отражаю­щие степень удовлетворенности субъекта характеристиками объектов, т.е. получить собственную ранжировку для каждой строки таблицы соответствия. Результаты проведенного анализа отражаются в первой из двух ранговых матриц. Аналогично при анализе таблицы соответствия по столбцам формируется вторая ранговая матрица.

В j -м элементе i -й строки первой ранговой матрицы нахо­дится ранг вектора соответствия { C i – O j }, в j -м элементе i -й строки второй таблицы — ранг вектора соответствия { O j – C i }. В результате строки первой таблицы отражают точку зрения ЛПР на предпочтения каждого субъекта относительно каждого из объектов, а строки второй – на предпочтения каждого объекта относительно каждого из субъектов.

Ранги в таблицах замещаются соответствующими числа­ми – высший ранг замещается нулем.

Процедуры этого этапа требуют от ЛПР существенно меньше информации, чем при формировании порядка на всем простран­стве ОДР (см. пример, приведенный выше). При этом применяет­ся основная процедура выявления предпочтений ЛПР.

• Автоматическое формирование единой ранговой матрицы «объекты – субъекты», элементами которой являются числа, отражающие ранги векторов соответствия. В каждой клетке единой матрицы находится сумма чисел, расположенных в со­ответствующих элементах двух ранговых матриц.

• Поиск решения однокритериальной задачи о назначени­ях на единой ранговой матрице с оптимизацией по критерию максимального числа наилучших назначений.

• Предъявление назначений одинакового ранга ЛПР для дополнительного анализа. СППР предупреждает о последствиях принимаемых решений.

• Уменьшение размерности задачи и редуцирование таблиц за счет удаления сделанных назначений, изменение рангов в каждой из исходных таблиц, т. е. присвоение в каждой отдель­ной строке нулевого значения высшим из оставшихся в строке рангов.

• Повторение этапов 4–6 до получения полного решения МЗН.

На этом процедуры поиска решений МЗН заканчиваются. Заметим, что вмешательство ЛПР требовалось лишь на втором и пятом этапах; последующие этапы могут выполняться без его участия. Вариантом предложенного подхода является процеду­ра, при которой поиск предпочтений ЛПР совмещается с выяв­лением наилучших назначений.

В [5] доказана теорема о существовании наилучшего (нуле­вого) элемента ранговой матрицы на каждом цикле процесса, т.е. сходимости рассмотренного процесса при условии, что упо­рядочения векторов соответствия транзитивны.

Процесс обеспечивает эффективное решение, соответствую­щее максимальной ценности решения для ЛПР (критерию оп­тимальности).

Поиск решения МЗН типа D

При многих критериях и большом числе элементов двух множеств задача становится малообозримой для ЛПР. Можно рекомендовать следующую процедуру ее решения.

• Анализ данных.

• Формирование ОДР.

Второй этап играет решающую роль для задач очень боль­шой размерности. Рекомендуется, чтобы ЛПР уделил ему мак­симум внимания и постарался сузить ОДР для облегчения своей последующей работы.

Желательно, чтобы в процессе формирования ОДР был найден удовлетворительный для ЛПР тип решения МЗН. За­тем, за счет введения дополнительных ограничений, желатель­но сформировать ОДР, которая приводила бы к почти одно­значному решению МЗН. Средства быстрого поиска решений СППР при формальном индексе соответствия позволяют найти решение при минимуме усилий. Необходимо помнить, однако, что эти средства работают при предположении равноценности критериев и шкал.

Дальнейший поиск может идти путями, предложенными для задач других типов. Предлагаемая процедура не гарантирует достижение оптимального по ценности для ЛПР решения. Однако, поскольку решение находится в ОДР, сформированной ЛПР на основе своих предпочтений, а процедуры поиска при­водят к эффективному решению, в котором присутствует мак­симально возможное для выбранной ОДР число идеальных на­значений, то окончательное решение МЗН находится в про­странстве приемлемых для ЛПР решений.

Практическое применение

При практическом приложении данного метода в редакци­онном отделе издательства [2] решалась задача о назначениях типа С для 30 субъектов.

Рукописи имели оценки по следующим критериям: 1) слож­ность, 2) тематика, 3) важность. Сотрудники характеризовались оценками по критериям: 1) квалификация, 2) специализация по тематике, 3) качество выполняемых работ, 4) соблюдение технологической дисциплины. Критерии имели шкалы с дву­мя – тремя оценками.

Как видим, два первых критерия оценки рукописей и со­трудников имеют «зеркальный характер». Лучшие оценки по критериям качества выполняемых работ и соблюдения техноло­гической дисциплины определяют возможность сотрудников работать над особо важными рукописями.

Решение задачи потребовало всего 50–70 обращений к ЛПР при проведении операций сравнения.

Следует отметить, что введение многокритериальности в классическую задачу о назначениях в значительной степени приближает модель к реальным жизненным ситуациям. Взаи­модействие ЛПР и компьютера позволяет решать МЗН в реаль­ном масштабе времени.

Выводы

• В отличие от типичных задач принятия индивидуальных реше­ний , в многокритериальной задаче о назначениях ЛПР не зани­мает позицию диктатора , а выступает как посредник в тех слу­чаях , когда без его вмешательства решение задачи заходит в тупик . В предлагаемых алгоритмах используются предпочтения ЛПР . Однако ЛПР вмешивается в ход решения насколько можно осторожно , разрешая локальные конфликты между возможными назначениями .

• Решение МЗН в реальной ситуации невыполнимо без помощи СППР . СППР МЗН имеет все характерные черты компьютерной системы , выступающей в роли помощника ЛПР . В ее структуру включены базы данных ( описание проблемы , сведения об объ­ектах и субъектах , критерии и их шкалы , оценки элементов двух множеств ) и базы моделей ( модели близости , алгоритмы поиска максимальных паросочетаний , модели выявления предпочте­ний ЛПР ).

В системе учитывается влияние объективных и субъектив­ных факторов на процедуры поиска решения . Развитый интер­фейс позволяет руководителю с минимальной предваритель­ной подготовкой работать с системой . Важно , что система по­зволяет ЛПР поэтапно анализировать проблему и вырабаты­вать свои предпочтения в процессе интерактивной работы с системой . Ответы системы на вопросы типа : что произойдет , если предъявить определенные требования к решению зада­чи , – позволяют ЛПР изучить область допустимых решений при различных вариантах определения ограничений .

• Процедуры ускоренного поиска решений дают возможность вы­брать тип решения . Поэтапные сравнения характеристик эле­ментов ( объектов и субъектов ) позволяют шаг за шагом делать наиболее адекватные , с точки зрения ЛПР , назначения .

На наш взгляд , именно такие системы – советчики и помощ­ники – помогают руководителю более качественно формиро­вать , обосновывать и объяснять другим свою политику , повы­шая шансы принятия разумных и дальновидных решений .

Библиографический список

1. Blanco Т ., Hill егу С . A Sea Story: Implementing the Navy's Personnel Assignment System // Oper. Res. 1994. V . 42. №. 5 .

1. Черняк Л., Сердечкина Н., Кожухаров А., Патрикеева Т. Модель про­цесса подготовки рукописей в издательстве // Алгоритмы и модели управления в технических и организационных системах. М : Наука , 1976.
2. Larichev О ., Sternin M. Knowledge-based approach for solving the multicriteria assignment problem. Linster M. (Ed.). Sisyphus 92. Models of problem solving. Arbeitspapiere der GMD 630. March 1992.
3. Вагнер Г. Основы исследования операций. М.: Мир, 1 973.
4. Кожухаров А. Н., Ларичев О. И. Многокритериальная задача о назначе­ниях // Автоматика и телемеханика. 1977. № 7.
5. Стернин М. Ю. Система поддержки решения задачи о назначениях // Сис­темы и методы поддержки приня тия решений. М: Сб. тр. ВНИИСИ, 1 9 8 6 .
6. Стернин М. Ю. Интерактивный поиск решений многокритериальной зада­чи о назначениях // Системы и методы поддержки принятия решений: Сб. тр. ВНИИСИ. М., 1988.
7. Пападимитриу X ., Стайниц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. М.: Мир, 1985.
8. Ларичев О. И. Объективные модели и субъективные решения М.: Наука, 1987.
9. Ларичев О. И., Мошкович Е. М. Качественные методы принятия решений. М .: Физматлит , 1996.
10. Wi nterfeldt D. von, Fischer G. W. Multiattribute utility theory: Models and assessment procedures. Utility, probability and human decision making / Eds. D.Wendt, C.Vlek. Dordrecht: Reidel, 1975.
11. Ларичев О. И., Стернин М. Ю. Человеко-машинные методы решения мно­гокритериальной задачи о назначениях // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7.

Контрольное задание

Дайте определения следующих ключевых понятий:

• Назначение
• Критерий оптимальности
• Эффективное решение
• Область допустимых решений (ОДР)
• Критериальное соответствие (КС)
• Идеальное решение
• «Зеркальные» шкалы оценок
• Типы задач о назначениях
• Формальная оценка качества решения
• Абсолютное соответствие
• Относительное соответствие
• Выявление предпочтений ЛПР
• Выделение ядер и назначение рангов

ВОЛШЕБНЫЕ СТРАНЫ

Стратегия правления в Свапландии
(Статья в Правительственной газете «Олон-пост», выходящей
в столице Монтландии - Олоне.)

За месяц, прошедший после революции в Свапландии, решительные действия нового Короля стали предметом всеобщего внимания. Ведь Королем соседнего государства неожиданно стал выпускник известного Университета Власти, бывший гражданин Монтландии. Полученные им знания и умения проходят сейчас самое серьезное испытание: сможет ли он привести отсталую страну, разоренную прежним коррумпированным режимом, в сообщество цивилизованных государств?
Первые шаги молодого Короля были вполне понятны - он укрепил свою власть. Мы ждали ответа на вопрос: на какие стратегические решения способен выпускник самого передового в мире Университета для политиков?
И вот получена интересная информация - запись королевской речи на секретном заседании Государственного Совета. Публикуем ее с небольшими сокращениями.
«С первых дней существования нашего Правительства мы искали пути спасения нашей страны, которая сейчас принадлежит к числу самых отсталых стран мира. Народ голодает, у государства огромные долги, а наши товары никто не хочет покупать.
Я привез великолепный компьютер, в памяти которого сохранено знание всех реформ в истории человечества, а также все экономические модели и теории развития государств. Эти знания убедительно показывают: универсальных способов вывода страны из кризиса нет. Мы сами должны найти пути преобразования нашей страны.
В компьютер ввели все данные о Свапландии, которыми мы располагаем: экономические показатели, результаты опросов тысяч наших сограждан из различных социальных групп и из всех провинций, а также наши цели и ожидания. '.
Диалоги с компьютером, разработка сценариев помогли нам определить первоочередную цель и найти пути ее достижения.
Итак, первая реально достижимая цель - накормить страну, создать систему производства дешевых и качественных продуктов.
Сравнение с соседними развитыми странами показывает, что наше аграрное хозяйство безнадежно устарело. Но это не означает, что старая система должна быть разрушена сразу. Люди, не принимают резких перемен. К тому же нельзя не учитывать опыт нашей истории, состояние нашей деревни и особенности свапландского характера. Поясню:
Во-первых, отняв насильственно земли баронов, мы нажили бы в их лице непримиримых врагов, а положительные последствия преобразований станут очевидны не сразу.
Во-вторых, наш крестьянин еще недостаточно образован, не приучен к свободному труду и к разумному ведению хозяйства.
В-третьих, у нас нет ни пунктов переработки продукции, ни центров конструктивной генетики, ни сети сбыта, ни хороших дорог в сельской местности.
Разработанный нами сценарий заключается в следующем.
При использовании современных технологий производства продовольствия достаточно малой части нашей территории, чтобы накормить население. Мы создадим на заброшенных землях эффективные фермерские хозяйства.
Но чтобы построить современную систему производства продовольствия в Свапландии, нам понадобятся капиталовложения. В казне нет денег, и сегодня нельзя рассчитывать на внешние займы. Чтобы найти средства, мы должны будем продать часть нашей земли - территории наших южных, почти безлюдных островов, соседним странам с высокой плотностью населения. Соображения так называемого национального престижа не должны сбивать нас с толку, ибо мы не в состоянии освоить эти земли в будущие два или даже три столетия. Держаться за них -все равно что жить в развалившемся доме и ни за что не продавать соседу ненужный для хозяйства полусгнивший сарай.
В виде компенсации мы сможем получить то, что для нас сейчас дороже денег и к тому же не будет разворовано, - оборудование и новые сельскохозяйственные технологии. В обмен на переданные во владение острова соседи помогут организовать фермерские хозяйства в нашей провинции. На свои средства они построят дороги, заводы по переработке готовой продукции и изготовлению кормов, обучат будущих фермеров, которыми смогут стать лучшие из наших солдат и офицеров. Ученые заинтересованных стран помогут в организации центров конструктивной генетики, где будут работать выпускники нашего университета.
На всех остальных наших территориях будет сохранена прежняя система. Мы поможем баронам наладить более производительное хозяйство, будем платить крестьянам за высокие урожаи.
Результаты осуществления этого проекта - изобилие собственных качественных продуктов - должны проявиться уже через два года. Охрана новых фермерских территорий будет поручена одному из полков нашей армии».
Король закончил свою речь демонстрацией траекторий развития и результатами расчетов.
По мнению нашего корреспондента, изложенный план вполне может стать первым этапом преобразований в отсталой Сва-пландии.

Прыжок в никуда

(Статья в оппозиционной газете «Вечерний наблюдатель», выходящий в столице Монтландии - Олоне.)
Средства массовой информации столицы живо отозвались на события последнего месяца в Свапландии. Эмоциональные речи нового Короля вызвали воодушевление наших легкомысленных политиков. Не разделяя всеобщего энтузиазма, попробуем спокойно оценить сложившуюся ситуацию.
Прежде всего напрашиваются закономерные вопросы.
Сможет ли новоиспеченный Король, вернувшийся после долгой эмиграции, понять способ мышления людей, проживших всю жизнь в Свапландии?
Сколько времени потребуется, чтобы на пустом месте создать эффективное фермерское хозяйство?
Можно ли предсказать поведение будущих фермеров после того, как они разбогатеют: не забросят ли они свои хозяйства и не предадутся ли праздности и пьянству?
Можно ли всерьез говорить об организации лабораторий конструктивной генетики после того, как более 100 лет тому назад Правительство Свапландии перестало финансировать и науку, и образование, что привело к их полной деградации? Трудно предположить, что выпускники единственного в стране столичного Университета смогут стать хотя бы лаборантами в лабораториях конструктивной генетики.
Король мало знает характер своего народа, его почти детскую доверчивость и подозрительность, его возбудимость и внушаемость. Он также плохо представляет себе агрессивность и неукротимое корыстолюбие баронов, их неспособность пренебречь личными интересами ради интересов государства. А ведь этот клан все еще обладает большим влиянием в Свапландском обществе.
Королю следует понять, что простые люди в Свапландии руководствуются в своих оценках и поступках эмоциями, а не расчетом. Они легко откликнутся на призыв партии «Великих патриотов»: «Потомки не простят нам продажу исконных земель!»
Мы не верим, что через два года в этой голодной стране наступит благоденствие. Весь наш исторический опыт, знание социальной психологии, а также ясные представления о национальном характере свапландцев заставляют усомниться в успехе новой стратегии Короля.

(Окончание следует)