Чтобы привести формальную постановку МЗН, введем сле­дующие понятия, термины и обозначения. Имеются два исход­ных множества по n элементов: С{ n } и O { n }. Обозначим: C { C 1 , C 2 , …, C i , …, C n } – первое множество, элементы которого назовем субъектами; O { O 1 , O 2 , …, O j , …, O n } – второе множество, элементы которого назовем объектами.

Имеется множество из N критериев оценки субъектов и объектов. Каждая оценка на шкале критерия имеет две форму­лировки, отражая взаимные требования и возможности элемен­тов двух множеств (см. пример далее). Шкалы критериев – по­рядковые, с небольшим, как правило, числом оценок, упоря­доченных от лучшей к худшей. Лучшая оценка имеет ранг, равный единице. Оценки могут быть как словесные, так и чис­ленные. (Заметим, что шкалы словесных оценок наиболее ха­рактерны для МЗН. Иллюстрацией могут служить приведенные выше примеры.)

Часть критериев отражает требования субъектов и возмож­ности объектов, другая часть – требования объектов и возмож­ности субъектов. Введем следующие обозначения: S k { S 1 , S 2 , …, S m , …, S w } – множество оценок на шкале k -го критерия; – m -я по порядку оценка на шкале k -го критерия; – р-я по порядку оценка на шкале требований i -г o элемента по k -му критерию; – t -я оценка на шкале возможностей j -г o эле­мента по u -му критерию.

Назовем критериальным соответствием (КС) различие по одному из критериев между требованиями субъекта (объекта) и возможностями объекта (субъекта). Требования i -г o элемента по k -му критерию ( ) удовлетворены возможностями j -г o эле­мента по k -му критерию ( ), если р > t . При этом критери­альное соответствие идеально.

Назовем назначением любую пару { C i , O j }, образованную дву­мя элементами, принадлежащими разным исходным множествам. Имеется множество из ( n ? n ) назначений { C i , O j }, i , j = 1, 2, ..., n , для двух исходных множеств по n элементов: C { n } и O { n }.

Идеальным назначением назовем пару { C i , O j }, для которой взаимные требования полностью удовлетворены по всем крите­риям, т.е. все КС идеальны.

Назовем решением многокритериальной задачи о назначе­ниях единичную диагональную матрицу MS ( n ? n ), диагональные элементы которой соответствуют назначениям, формирующим решение. Заметим, что количество возможных решений для размерности исходных множеств С{ n } и O { n } равно n !, что и вы­зывает (в общем случае) существенные трудности при решении МЗН большой размерности.

Идеальным решением назовем решение МЗН, все назначе­ния которого идеальны.

Предположим, что назначения могут быть проранжированы, т. е. каждому возможному назначению может быть присво­ен ранг, отражающий его качество, с точки зрения ЛПР. Тогда любое решение МЗН может быть охарактеризовано совокупно­стью рангов отдельных назначений, сформировавших решение. Теперь можно записать МЗН в следующем виде.

Дано: два множества: C i ( i =1,2, ..., п) и O j ( j =1, 2, ..., n ); оценка каждого элемента двух множеств по N критериям ( k 1 , k 2 , …, k N ) .

Требуется: на основе предпочтения ЛПР определить и вы­брать из множества эффективных решений такое, для которого сумма рангов лучших S назначений ( S ? n ) минимальна.

В исследовании операций известна задача о назначениях с одним критерием качества решения [4]. В однокритериальной задаче о назначениях задана стоимость образования той или иной пары, например исполнения каждой из работ каждым из исполнителей. Задан также критерий – минимум стоимости вы­полнения всей совокупности работ. Для решения однокритери­альной задачи применяются различные методы, как правило, ос­нованные на алгоритмах дискретного программирования. Далее мы будем использовать однокритериальную задачу о назначени­ях как вспомогательное средство при решении существенно более сложной многокритериальной задачи. МЗН занимает промежу­точное положение между задачами принятия индивидуальных и коллективных решений. Действительно, ЛПР стремится най­ти наибольшее число максимально удовлетворенных субъектов и объектов, основываясь на характеристиках, отражающих ин­тересы и индивидуальные предпочтения субъектов и объектов. Но в ситуациях, требующих выбора, ЛПР руководствуется своими предпочтениями.

Впервые близкая по постановке задача была сформулиро­вана в [5]. В ней используется тот же критерий оптимальности и дан алгоритм решения задач малой размерности. Его приме­нение позволило решить практическую задачу [2].

Пример

Рассмотрим задачу назначения трех сотрудников организа­ции на три вакантные должности. С одной стороны, претендент на каждую должность обязан соответствовать определенным требованиям. С другой стороны, руководитель стремится пре­доставить каждому сотруднику должность, соответствующую его возможностям.

Предположим, что эксперты совместно с ЛПР, ответствен­ным за назначения, разработали следующие критерии для оценки соответствия субъектов (назначаемых) и объектов (должностей).

Профессиональная подготовленность:

• высокая;
• удовлетворительная.

Умение руководить коллективом:

• хорошее;
• удовлетворительное.

Практический опыт:

• большой;
• небольшой;
• отсутствует.

Приведем для примера формулировку оценок на «зеркаль­ных» шкалах критерия «Профессиональная подготовленность».

Шкала требований

• Требуются работники с высокой профессиональной под­готовкой.
• Достаточна удовлетворительная профессиональная подго­товка.

Шкала возможностей

• Претендент обладает высокой профессиональной подго­товкой.
• Профессиональная подготовка претендента удовлетвори­тельна.

Предположим, что эксперты охарактеризовали возможно­сти субъектов следующими оценками по выбранным критери­ям: C 1 = (2; 1; 2); С 2 =(2; 2; 2); С 3 =(2; 2; 3). (Цифры в скобках обозначают номера вербальных оценок на приведенных выше шкалах критериев.) Например, второй субъект (С 2 ) имеет удов­летворительную профессиональную подготовку, удовлетвори­тельное умение руководить коллективом и небольшой практи­ческий опыт.

Характеристики объектов: O 1 =( l ; 1; 2); O 2 =(2; 1; 2); O 3 =(2; 2; 2). Эти характеристики выражают должностные требования. Так, для занятия должности O 2 требуется субъект, для которого достаточно иметь удовлетворительную профессиональную под­готовку, необходимо хорошее умение руководить коллективом и достаточен небольшой практический опыт. Возникает вопрос: как найти наилучшее решение МЗН в данных условиях?