Рассмотренная выше основная процедура достаточна для сравнения КС о . Но при сравнении КС а возникает дополнитель­ная проблема.

Получение корректных результатов в процессе попарного сравнения альтернатив и выявления предпочтений ЛПР связа­но с известным предположением о независимости критериев по предпочтению. В большинстве реальных приложений это пред­положение выполняется в результате разумного выбора набора независимых критериев. Однако избежать завуалированных связей между критериями не всегда удается. Указанием на возможное присутствие таких связей может служить повышен­ная частота ошибок ЛПР при определении предпочтений, при­водящая к нетранзитивности результатов.

Для проверки условия независимости по предпочтению предлагается дополнительная процедура.

Сформулируем условие независимости при сравнении двух КС а по их ценности для ЛПР. Критериальные соответствия не­зависимы, если результат сравнения ценностей векторов с дву­мя ненулевыми значениями компонентов не зависит от одинаковых значений других компонентов, т. е. если не найдется какого-либо третьего КС а с при котором результат сравнения может быть иным.

Заметим, что данное условие, в отличие от общепринятого условия независимости по предпочтению, сформулировано от­носительно троек КС а . Обоснованием этого подхода служат ис­следования, показывающие, что зависимость критериев обычно проявляется как зависимость результатов сравнения оценок двух критериев от оценок по третьему критерию. Именно такая форма зависимости отмечалась в [10, 11 ]. Появление более сложной групповой зависимости неопределенно по своей приро­де и трудно обнаружимо. Этот факт позволяет утверждать, что если нет троек зависимых КС а , условие независимости при сравнении альтернатив не нарушается при любом количестве одинаковых компонентов вектора соответствия.

Чтобы проверить выполнение условия независимости, необ­ходимо получить дополнительную информацию от ЛПР. Когда выполняется дополнительная процедура, вопросы, задаваемые ЛПР (см. основную процедуру), повторяются при следующем дополнительном условии: «по третьему критерию требования объекта (субъекта) не удовлетворены: вместо оценки К nr имеет­ся худшая оценка K nt ».

Дополнительные вопросы выбираются так, чтобы перебрать все возможные тройки критериев. Следовательно, количество до­полнительных вопросов равно числу сочетаний из N по три ( C n 3 ).

Использование условия независимости в процедурах упоря­дочивания позволяет сократить количество вопросов к ЛПР.

Для иллюстрации процедур выявления предпочтений ЛПР обратимся к приведенному выше простому примеру. Основная процедура состоит в сравнении ценностей трех критериальных соответствий которые формируют следующие векторы со­ответствия:

• по критерию «Профессиональная подготовленность» — вектор 100 { C 1 – O 1 };

• по критерию «Умение руководить коллективом» — вектор 010 {С 2 – О 2 };

• по критерию «Практический опыт» — вектор 001 {С 3 – О 3 }.

• Типовой вопрос, на который отвечает ЛПР, выглядит так:

Что вы предпочитаете:

Альтернатива 1. Неудовлетворение требований объекта лишь по крите­рию «Профессиональная подготовленность» – вместо высокой предлага­ется удовлетворительная оценка профессиональной подготовленности субъекта.

Альтернатива 2. Неудовлетворение требований объекта лишь по крите­рию «Умение руководить коллективом» – вместо хорошего предлагается удовлетворительное умение субъекта руководить коллективом.

Выберите один из ответов:

Альтернатива 1 более предпочтительна.

Альтернатива 2 более предпочтительна.

Альтернативы равноценны.

В основной процедуре анализируются ответы на три подоб­ных вопроса. В дополнительной процедуре, применяемой при аб­солютных критериальных соответствиях, для рассматриваемого примера необходим дополнительный вопрос, который отличается от приведенного выше дополнительным условием: «Для обеих альтернатив по критерию «Практический опыт» у субъектов имеется низшая оценка – «Практический опыт отсутствует».

Если результаты сравнения, сделанного ЛПР, не зависят от КС а по третьему критерию, то делается вывод о выполнении ус­ловий независимости.

Заметим, что в рассматриваемом примере вторые компонен­ты критериальных соответствий для первых двух критериев могут принимать ненулевые значения лишь в единственном случае, когда требования выражаются оценкой р=1, а возможности – оценкой q =2. Для третьего критерия, шкала которого содержит три оценки, таких возможно­стей уже три, из которых лишь одна реализуется в рассматри­ваемом примере (р=2, q =3).

В зависимости от типа задачи либо может быть построена упорядоченная шкала всех оценок по данному критерию, либо могут быть упорядочены КС а , встречающиеся только в данной конкретной задаче. В общем случае для шкалы критерия с N оценками существует N ( N – l )/2 возможностей, которые необ­ходимо проанализировать.

Обратимся к рассматриваемому примеру. Пусть ЛПР, ана­лизируя назначения {С 1 – О 1 }, {С 2 – О 2 }, {С 3 – О 3 } с векторами со­ответствия 100, 010 и 001, упорядочил ценности КС а следую­щим образом:

что для первой пары интерпретируется в виде: вектор соответ­ствия, у которого первый компонент равен 1 при оценке по шкале требований, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, предпочтительнее вектора, второй компонент которого при тех же требованиях равен 1, а остальные компоненты рав­ны нулю; а для второй пары – в виде: вектор соответствия, у которого второй компонент равен 1 при оценке по шкале требо­ваний, равной 1, а остальные компоненты равны нулю, пред­почтительнее вектора, третий компонент которого равен 1 при оценке по шкале требований, равной 2 , а остальные компонен­ты равны нулю.

При выполнении условия независимости, учитывая транзитивность эти ре­зультаты можно использовать для упорядочения ряда назначе­ний без обращения к ЛПР.

Рис. 4.1. Функция полезности для критерия
C 1 «Стоимость постройки аэропорта»

На основании такого рода отношений большинство назначе­ний могут быть упорядочены по качеству. Так, для приведенного выше примера можно построить граф, показанный на рис. 12.1.

В рассматриваемом примере формально остается невыяс­ненным лишь отношение между назначениями {С 2 – О 1 } и {С 3 – О 2 }, определение которого требует обращения к ЛПР. Од­нако и это отношение может быть получено, если будет выясне­но, что условие независимости выполняется. Тогда, поскольку и это отношение не может измениться от наличия одинакового КС а по второму критерию у сравниваемых векторов, имеем

т. е.

Аналогичные графы могут быть построены и в общем слу­чае. Назовем их графами частичного упорядочения векторов со­ответствия по их ценности для ЛПР. Графы частичного упоря­дочения векторов соответствия позволяют перейти к ранжиро­ванию этих векторов по ценности.

Выделим в графе все недоминируемые векторы и назовем их первым ядром. Среди векторов, оставшихся после удаления первого ядра, выделим второе ядро, состоящее из недомини­руемых векторов в редуцированном пространстве. Этот процесс повторяется до исчерпания графа [ 17 ]. Вектору, входящему в i - e ядро, присваивается i -й ранг, если над ним доминирует вектор из ( i – l )-г o ядра, а он сам доминирует над вектором из ( i + l )-г o ядра. Если вектор входит в i - e ядро и доминирует над вектором из ( i + p )-г o ядра, то его ранг размыт и находится в пределах от ( i +1) до ( i + p –1).

Процедура ранжирования для рассматриваемого примера приводит к следующему результату:

Получим для рассматриваемого примера табл. 12.5, отра­жающую упорядочение назначений по качеству (высшее каче­ство — идеальное назначение — имеет высший ранг, которому присвоено значение 0, при снижении качества уменьшается ранг назначения и соответственно увеличивается его номер, т. е. число, отображающее качество).

Таблица 12.5. Ранги назначений

В результате выполнения основной и вспомогательной про­цедур выявления предпочтений назначения ранжируются по их ценности для ЛПР.

Выше была проиллюстрирована основная процедура выяв­ления предпочтений ЛПР для абсолютных критериальных от­клонений. Покажем, каким могло бы быть решение рассматри­ваемого примера при анализе относительных критериальных отклонений. Первый этап такого анализа прост и не требует участия ЛПР. Действительно, из анализа таблицы сходства (см. табл. 12.2) и учета свойств функции ценности следует упорядо­чение всех объектов по отношению к каждому из субъектов, и наоборот. Суммируя полученные при таком ранжировании ран­ги (высший ранг равен 0), получаем табл. 12.6.

Таблица 12.6.Ранги назначений при относительных соответствиях

В соответствии с критерием оптимальности ЛПР утвержда­ет очевидное решение: [{ C 1 – O 2 } { C 2 – O 3 } { C 3 – O 1 }].

Как правило, количество вопросов к ЛПР при анализе от­носительных критериальных соответствий меньше, чем при анализе с использованием абсолютного индекса соответствия.