1. Парадокс Кондорсе
2. Правило большинства голосов
3. Метод Борда
4. Аксиомы Эрроу
5. Попытки пересмотра аксиом
6. Теорема невозможности и реальная жизнь
7. Принятие коллективных решений в малых группах
8. Организация и проведение конференций по принятию решений
9. Метод организации работы ГПР
1. Предварительные этапы
2. Анализ собранной информации
3. Проведение конференции по принятию решений
4. Практический пример
10. Выводы
11. Библиографический список

Парадокс Кондорсе

В 1996 г. перед первым туром президентских выборов в России по московскому радио передавали выступление избира­теля, недовольного системой голосования. Он предлагал разре­шить каждому избирателю не только голосовать за одного кан­дидата, но и упорядочивать всех кандидатов по своему пред­почтению от лучшего к худшему. Только после этого, утвер­ждал выступавший, будет ясно истинное отношение населения России к кандидатам в президенты.

Интересно, что большой интерес к разным системам голо­сования наблюдался примерно за 200 лет до этого во Франции. При этом ситуации в двух странах были близкими: и тут и там происходил переход от тоталитаризма к новой системе, позво­ляющей каждому избирателю голосовать свободно и тайно.

Одним из первых, кто заинтересовался системами голосова­ния, был французский ученый маркиз де Кондорсе (1743— 1794). Он сформулировал принцип или критерий, позволя­ющий определить победителя в демократических выборах. Принцип де Кондорсе состоит в следующем: кандидат, который побеждает при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах.

Система голосования, предложенная де Кондорсе, совпада­ла с системой, которую предлагал 200 лет спустя избиратель в России. Каждый из голосующих упорядочивал кандидатов по степени своего желания видеть его победителем. Согласно де Кондорсе, справедливое определение победителя возможно пу­тем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, подан­ных за них. Принцип де Кондорсе предлагался как рациональ­ный и демократический. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с парадоксом, получившим впоследствии его имя. Рассмотрим пример голосования в собрании представителей из 60 чел. [1]. Пусть на голосование поставлены три кандидата: А, В и С, и голоса распределились, как в табл. 11.1.

Сравним предпочтения в парах кандидатов. Берем А и С: тогда А предпочитают 23+2=25; С по сравнению с А предпочи­тают: 17+10+8=35. Следовательно, С предпочтительнее А (С -> А) по воле большинства.

Таблица 11.1 Распределение голосов (парадокс Кондорсе)

Сравнивая попарно аналогичным образом А и В, В и С, по­лучаем: В -> С (42 против 18), С -> А (35 против 25) и А -> В (33 против 27). Следовательно, мы пришли к противоречию, к не­транзитивному отношению А -> В -> С -> А.

Столкнувшись с этим парадоксом, Кондорсе выбрал наи­меньшее зло, а именно то мнение, которое поддерживается большинством голосов (избранным следует считать А).

Правило большинства голосов

Изменим несколько результаты голосования, чтобы избе­жать парадокса Кондорсе. Предположим, что голоса распреде­лились так, как показано в табл. 11.2. Нетрудно подсчитать, что при этих новых результатах голосования, в соответствии с принципом Кондорсе, избранным будет кандидат С, который при попарном сравнении побеждает двух других кандидатов.

Таблица 11.2 Распределение голосов (правило большинства)

Однако если мы используем другой принцип выбора: большинство голосующих, которые назвали данного кандидата лучшим, то победителем оказывается кандидат А. Но при этом кандидат А не набрал абсолютного большинства голосов.

Мы видим, что способ определения победителя при демо­кратической системе голосования (один человек — один голос) зависит от процедуры голосования.

Метод Борда

Отметим еще одну процедуру голосования из множества предложенных: метод Борда [2]. Согласно этому методу резуль­таты голосования выражаются в виде числа баллов, набранных каждым из кандидатов. Пусть число кандидатов равно п. Тогда за первое место присуждается п баллов, за второе — n —1, за последнее — один балл.

Применим метод Борда к приведенному выше примеру (см. табл. 11.2). Подсчитаем число баллов для каждого из кандидатов:

A:23x3 + 19xl + 16xl + 2x2 = 108;

B:23xl + 19x3 + 16x2 + 2xl = 114;

С:23х2 + 19х2 + 16х2 + 2хЗ = 138.

В соответствии с методом Борда мы должны объявить побе­дителем кандидата С.

Однако с методом Борда, как и с принципом Кондорсе, воз­никают проблемы. Предположим, что результаты голосования в выборном органе представлены табл. 11.3. Подсчитав баллы в соответствии с методом Борда, получим: А — 124, В — 103, С — 137. В соответствии с методом Борда победителем следует объя­вить кандидата С. Однако в данном случае явным победителем является кандидат А, набравший абсолютное большинство го­лосов: 31 из 60.

Таблица 11.3 Распределение голосов (метод Борда)

Приведенные примеры позволяют понять, что парадоксы при голосовании не возникают лишь в случае, когда есть два кандидата и победитель определяется по принципу абсолютного большинства голосов. Однако такой случай нетипичен для большинства выборов в демократических странах. Обычно чис­ло кандидатов больше, чем два, и редки случаи, когда кто-то из них сразу же получает поддержку абсолютного большинства избирателей.

Интересно, что парадоксы голосования сохраняются и при введении двух туров и условии, что во второй тур выходят два кандидата, набравшие большинство голосов. Обратимся к табл. 11.1, составленной Кондорсе. В соответствии с предпоч­тениями во второй тур выходят А (23 голоса) и В (19 голосов), после чего побеждает А. Однако при небольшом усилении пер­воначальной позиции А предпочтения двух избирателей (3-я строка) выглядят как А -> В -> С, во второй тур выходят А (25 голосов) и С (20 голосов), после чего побеждает С. Ясно, что такой результат голосования противоречит здравому смыслу.

Аксиомы Эрроу

Выше мы привели примеры нескольких различных систем голосования. Возможны и другие системы. В качестве приме­ров можно указать на систему многотурового выбора с вычер­киванием кандидатов, набравших наименьшее число голосов [2], на систему вычеркивания нежелаемых кандидатов ( appro ­ val votinq) [3] и т.д.

Систематическое исследование всех возможных систем го­лосования провел в 1951 г. Кеннет Эрроу из Стенфордского университета [4]. Он поставил вопрос в наиболее общем виде: можно ли создать такую систему голосования, чтобы она была одновременно рациональной (без противоречий), демократиче­ской (один человек — один голос) и решающей (позволяла осу­ществить выбор). Вместо попыток изобретения такой системы Эрроу предложил набор требований, аксиом, которым эта сис­тема должна удовлетворять. Эти аксиомы были интуитивно по­нятны, приемлемы с точки зрения здравого смысла и допуска­ли математическое выражение в виде некоторых условий. На основе этих аксиом Эрроу попытался в общем виде доказать су­ществование системы голосования, удовлетворяющей одновре­менно трем перечисленным выше принципам: рациональная, демократическая и решающая [4, 5].

Первая аксиома Эрроу требует, чтобы система голосования была достаточно общей для того, чтобы учитывать все возмож­ные распределения голосов избирателей. Интуитивно это требо­вание вполне очевидно. Заранее нельзя предсказать распреде­ление голосов. Совершенно необходимо, чтобы система была

действенной при любых предпочтениях избирателей. Эта ак­сиома получила название аксиомы универсальности.

Еще более очевидной с точки зрения здравого смысла явля­ется вторая аксиома Эрроу: аксиома единогласия. В соответст­вии с ней необходимо, чтобы коллективный выбор повторял в точности единогласное мнение всех голосующих. Если, напри­мер, каждый из голосующих считает, что кандидат А лучше кандидата В, то и система голосования должна приводить к этому результату.

Третья аксиома Эрроу получила название независимости от несвязанных альтернатив. Пусть избиратель считает, что из пары кандидатов А и В лучшим является А. Это предпочте­ние не должно зависеть от отношения избирателя к прочим кандидатам. Третья аксиома достаточно привлекательна, но не столь очевидна с точки зрения каждодневного человеческого поведения. Так, в [6] приводится убедительный пример нару­шения этой аксиомы. Посетитель ресторана первоначально сравнивает блюдо А и В и хочет заказать А, потому что приго­товление блюда В требует высокой квалификации повара, а по его мнению, такой повар вряд ли есть в данном ресторане. Вдруг он замечает в меню блюдо С — очень дорогое и также требующее высокого искусства приготовления. Тогда он выби­рает блюдо В, считая, что повар умеет хорошо готовить.

Часто третья аксиома Эрроу нарушается судьями в фигур­ном катании. Давая сравнительные оценки двум сильным фи­гуристам в одиночном катании, они стараются учесть возмож­ность хорошего выступления третьего сильного кандидата, ос­тавляя ему шансы стать победителем. Отличное выступление в произвольном катании фигуриста С, имевшего ранее не очень высокий результат в обязательной программе, может повлиять на оценки фигуристов А и В. Если А имел отличный результат в обязательной программе, судьи иногда ставят его ниже фигу­риста В при примерно равном выступлении, чтобы повысить шансы фигуриста С.

Тем не менее возможность предъявления требования неза­висимости к системе голосования в качестве обязательного не вызывает сомнения.

Четвертая аксиома Эрроу носит название аксиомы полно­ты: система голосования должна позволять сравнение любой пары кандидатов, определив, кто из них лучше. При этом име­ется возможность объявить двух кандидатов равнопривлекательными. Требование полноты не кажется слишком строгим для системы голосования.

Пятая аксиома Эрроу является уже знакомым условием транзитивности: если в соответствии с мнением избирателей кандидат В не лучше кандидата А (хуже или эквивалентен), кандидат С не лучше кандидата В, то кандидат С не лучше кандидата А. Считается, что система голосования, не допус­кающая нарушения транзитивности, ведет себя рациональным образом.

Определив пять аксиом - желательных свойств системы голосования, Эрроу доказал, что системы, удовлетворяющие этим аксиомам, обладают недопустимым с точки зрения демо­кратических свобод недостатком: каждая из них является пра­вилом диктатора — личности, навязывающей всем остальным избирателям свои предпочтения.

Результаты, выявленные Эрроу, получили широкую из­вестность. Они развеяли надежды многих экономистов, социо­логов, математиков найти совершенную систему голосования.

Требование исключения диктатора приводит к невозможно­сти создания системы голосования, удовлетворяющей всем ак­сиомам Эрроу. Поэтому результат Эрроу называют теоремой невозможности.

Попытки пересмотра аксиом

С 1951 г. математики и экономисты предпринимают по­пытки изменить требования Эрроу, «смягчить» аксиомы, чтобы избежать вывода, столь неприятного для демократической сис­темы голосования.

Очень интересное изменение первой аксиомы предложил Д. Блейк [7]. Если каждый избиратель упорядочивает кандида­тов в соответствии со своей политической позицией, вывода Эр­роу можно избежать. На практике это означает, что каждый избиратель должен упорядочить кандидатов в соответствии с их политическими взглядами. Если он сторонник рынка и мо-

нетаризма и считает, что А лучше В, В лучше С, то это означа­ет, что А ближе всех к его позиции, а С — дальше всех.

Однако на практике при оценке кандидата избиратели ча­ще всего руководствуются многими критериями. Далеко не все избиратели понимают свою политическую позицию. Результа­ты голосований, основанных на эмоциях, широко известны.

Другим интересным изменением аксиом Эрроу является правило консенсуса, сформулированное А.Сеном. Он предло­жил изменить аксиому транзитивности, сохранив правило транзитивности только для случая строгого предпочтения меж­ду кандидатами. Согласно правилу А.Сена, если хотя бы один избиратель по-иному сравнивает кандидатов А и В, чем все ос­тальные, то система голосования объявляет кандидатов экви­валентными. Ясно, что такое правило приводит к коллектив­ному безразличию.