Марковский анализ основан на понятии "состояния" (например, работоспособное и неработоспособное состояния) и перехода между этими состояниями во времени в предположении постоянной вероятности перехода. Стохастическую матрицу вероятностей перехода используют для описания переходов между состояниями и необходимых вычислений.

Для иллюстрации применения марковского анализа рассмотрим сложную систему, которая может находиться только в трех состояниях: работоспособном, ухудшенном и неработоспособном, обозначенных как состояния S1, S2, S3 соответственно. В любой момент времени система находится в одном из трех состояний. В таблице В.2 приведена вероятность того, что в следующий момент времени система будет находиться в состоянии Si, где i может быть 1, 2 или 3.

Таблица В.2 - Матрица Маркова

Данный массив вероятностей называется матрицей Маркова или матрицей перехода. Следует отметить, что сумма в каждом столбце матрицы равна 1, т.к. это сумма вероятностей всех возможных состояний в каждом случае. Система также может быть представлена диаграммой Маркова, в которой круги отображают состояния, а стрелки - переходы с соответствующей вероятностью.

"Рисунок В.9. Пример диаграммы Маркова для системы"

Стрелки, замкнутые на одном состоянии, обычно не показывают. В данном примере они приведены для полноты представления.

Если Pi - вероятность нахождения системы в состоянии i, для i = 1, 2, 3, то:

Эти три уравнения зависимы, и система уравнений не может быть решена. Для решения необходимо одно из приведенных уравнений исключить, заменив его следующим уравнением.

Полученные значения составляют 0,85, 0,13 и 0,02 соответственно для состояний 1, 2, 3. Система является полностью функционирующей в течение 85% времени, в ухудшенном состоянии в течение 13% времени и в состоянии отказа в течение 2% времени.

Рассмотрим ситуацию, когда система состоит из двух последовательных элементов, т.е. для работоспособности системы оба элемента должны находиться в работоспособном состоянии. Элементы могут быть в работоспособном состоянии или в состоянии отказа. Работоспособность системы зависит от состояния элементов.

Возможны следующие состояния элементов:

- состояние 1. Оба элемента находятся в работоспособном состоянии;

- состояние 2. Один элемент отказал и находится на восстановлении, а другой находится в работоспособном состоянии;

- состояние 3. Оба элемента отказали и находятся на восстановлении.

Если интенсивность отказа каждого элемента принять равной , а интенсивность восстановлений равной , и они являются постоянными, то диаграмму состояния перехода можно представить в следующем виде:

"Рисунок В.10. Пример диаграммы состояний перехода"

При этом интенсивность перехода из состояния 1 в состояние 2 равна , поскольку отказ любого из двух элементов приводит систему в состояние 2.

Пусть  - вероятность нахождения системы в начальном состоянии i в момент времени t;

 - вероятность нахождения системы в конечном состоянии в момент времени  .

Тогда матрица переходов принимает следующий вид:

Таблица В.3 - Конечная матрица Маркова

Конечное состояние	Начальное состояние
	Р1(t)	P2(t)	Р3(t)
		М	0
	0

Необходимо отметить, что нулевые значения возникают потому, что переходы невозможны из состояния 1 в состояние 3 или из состояния 3 в состояние 1. Кроме того, сумма в колонке равна нулю при определении интенсивности.

В этом случае система уравнений имеет следующий вид:

,	(В.5)
,	(В.6)
.	(В.7)

Для простоты можно предположить, что требуемая работоспособность соответствует устойчивому состоянию системы.

Если  стремится к бесконечности,  стремится к нулю, что позволяет упростить уравнения. Также необходимо использовать дополнительное уравнение (см. В.4). Тогда уравнение A(t) = P1(t) + P2(t) можно записать в виде:

А = Р1 +Р2.

Следовательно, .

В.24.5 Выходные данные

Выходными данными марковского анализа являются вероятности пребывания системы в различных состояниях, а следовательно - оценки вероятностей отказа и/или безотказной работы существенных компонентов системы.