Определение ускорений точек тела при плоском движении

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Положение точки М по отношению к осям Оху (рис. 11.4) определится радиусом вектора:

, где .

Дифференцируя дважды уравнение по времени, получим:

, отсюда следует, что

, (11.1)

где – ускорение точки А (полюс);

– ускорение точки при вращении вокруг точки А.

Так как точка М вращается вокруг полюса А по окружности, то разложим на составляющие – нормальную и касательную (рис. 11.1):

Тогда с учетом (11.1), получим (рис. 11.1а):

Рис. 11.1

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение будет слагаться из касательного и нормального и тогда

, (11.2)

Пример 1 (18.11).

Для механизма, представленного на рис. 5.2 угловое ускорение кривошипа ОА , ОА = 15см. Определить ускорение звена АВ в данном положении механизма, при t = 1c.

Решение

Рис. 11.2

Вначале определим ускорение точки В, выбрав за полюс точку А:

. (1)

Так как точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О, тогда:

где ; – угловая скорость кривошипа ОА.

; , тогда: ;

Точка В совершает вращательное движение вокруг точки А по окружности, тогда

где – нормальная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

;

– касательная составляющая ускорения точки В при вращении вокруг полюса А;

Для определения и определим скорость в точке В. Построим мгновенный центр скоростей для звена АВ. Точка О является м.ц.с. для звена АВ. Тогда

Так как , тогда

, отсюда .

Изобразим отдельно звено АВ с соответствующими ускорениями (рис. 11.3):

Рис. 11.3

С учетом сделанных расчетов уравнение (1) запишем в виде:

Спроектируем это векторное уравнение ВА на оси координат:

Подставляя полученные значения, получим:

Из треугольника ОАВ сторона см.

; .

Тогда

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и . Решая эту систему относительно неизвестных, получим: см/с², знак минус (-) означает, что истинное направление ускорения точки имеет противоположное направление выбранному; – угловое ускорение звена АВ.

Так как точки D и В принадлежат одному звену DB, которое совершает возвратно-поступательное движение, поэтому все точки этого звена имеют одинаковые скорости и ускорения по величине и направлению. Вследствие этого ускорение точки D будет: см/с² и направлено вертикально вверх.

Ответ: см/с², .

Пример 2.

На рис. 11.4. представлен механизм в данном положении: , , , , , I₁ = 0,6м, I₂ = 1,2м, I₃ = 1,4м, I₄ = 0,8м, . Определить V_A, V_B, V_D, V_E, , , а_А, а_В, а _D, а_Е, , , , . Точка D является серединой звена I₂.

Рис. 11.4

Решение

Определим скорость точки А. Так как точка А движется по окружности, то

м/с.

Вектор скорости перпендикулярен I₁.

Вектор скорости точки В направлен перпендикулярно звену I₄, а для вычисления модуля, определим мгновенный центр скоростей звена I₂, которому принадлежат точки А, В и C₂ – является мгновенным центром скоростей звена I₂. Составим соотношение:

, отсюда .

Так как угол С₂ВА = 60⁰, угол ВАС₂ = 180-120 = 60⁰, то угол ВС₂А = 60⁰.

Это означает, что треугольник ВС₂А является равносторонним поэтому

ВС₂ =АС₂, тогда V_B = V_A = 5,4 м/с., т.е. V_B = 5,4 м/с.

Для определения скорости точки D соединим точку С₂ с точкой D и проведем линию, перпендикулярную DC₂. Так как в равнобедренном треугольнике медиана является высотой и биссектрисой, то направление вектора скорости точки D совпадет с направлением звена I₂. Модуль скорости точки D определим из соотношения:

, отсюда .

Из прямоугольного треугольника DC₂A следует, что

(м)

(м/с); м/с.

; .

Направление скорости точки Е совпадает с направляющей ползуна, т.е. имеет вертикальное направление. Зная направления векторов скоростей точек D и Е, принадлежащих звену I₃, определим мгновенный центр скоростей звена I₃. Это будет точка С₃, тогда составим соотношение:

, отсюда .

Рассмотрим треугольник С₃DE. Так как угол С₃ = 30⁰ и угол Е = 30⁰, то этот треугольник равнобедренный, т.е. DE = DC₃;

(м);

Тогда (м/с); м/с.

; .

Определим угловую скорость звена I₄:

; .

Определим ускорение точки А (рис. 11.5).

Рис. 11.5

Точка А совершает вращательное движение по окружности вокруг неподвижного центра О₁. Поэтому ускорение точки А разложим на нормальную и касательную составляющие:

где (м/с²); м/с².

, так как по условию задачи , а , то , тогда . Поэтому м/с²; м/с².

Определим ускорение точки В, выбрав точку А за полюс. Тогда

, (1)

где – ускорение, связанное с вращением точки В вокруг А.

, (2)

Подставляя (2) в (1), получим:

. (3)

Так как точка В вращается вокруг неподвижного центра О₂, то разложим ускорение точки В на нормальную и касательную составляющие:

. (4)

Подставляя уравнение (4) в уравнение (3), получим:

. (5)

Выберем оси координат таким образом, что ось х будет направлена вдоль звена I₂.

Спроектируем уравнение (5) на оси координат:

на ось х:

на ось у:

(6)

Так как: (м/с²); м/с².

м/с².

(м/с²); м/с².

В системе двух уравнений (6) имеется две неизвестные: и , т.е. система уравнений имеет решение и притом только единственное. Подставим численные значения в систему уравнений (6):

Решая это уравнение, получим:

, отсюда следует, что

В связи с тем, что ,

; .

Ускорение точки В будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки D, выбрав за полюс точку А. Тогда

, (7)

Так как , а ускорение разложим на составляющие и (рис. 11.6).

Рис. 11.6

Учитывая, что , уравнение (7) примет вид:

. (8)

Спроектируем векторное уравнение (8) на выбранные оси координат:

на ось х:

на ось у: .

Полученная система двух уравнений имеет две неизвестные: и , так как м/с²; (м/с²); м/с²; (м/с²); м/с². Тогда полученная система двух уравнений примет вид:

Отрицательное значение указывает, что истинное направление вектора противоположно выбранному.

Ускорение точки D будет:

(м/с²);

м/с².

Определим ускорение точки Е. Направление вектора ускорения точки Е, будет совпадать с направляющей ползуна (рис. 11.7). На рис. 11.7 изображен фрагмент механизма, включающий звено I₃ и ползун Е.

Рис. 11.7

Ускорение точки Е будем определять, выбрав за полюс точку D, тогда:

, (9)

Учитывая, что , и , тогда уравнение (9) примет вид:

, (10)

Выберем оси координат, как показано на рис. 11.7, т.е. ось х направим вдоль направления звена I₃ и спроектируем векторное уравнение (10) на оси координат:

на ось х:

на ось у: .

Представленные два уравнения образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными: и , так как м/с²; м/с²; (м/с²), т.е. м/с². Подставляя численные значения, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

После преобразований получим:

отсюда следует

Ускорение точки Е составляет м/с² (знак минус указывает, что истинное направление вектора ускорения имеет противоположное значение выбранному).

Так как , то , т.е. .

Таким образом, определены все значения кинематических характеристик, указанные в вопросе задачи.

Вопросы для самоконтроля

1. Определение ускорений точек твердого тела?

2. Определение углового ускорения твердого тела при плоском движении?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 18.1 – 18.36 [2].

Литература: [1], [3], [4].

Лекция 12

Сложное движение точки

Если точка движется одновременно по отношению к двум системам отсчета, из которых одна считается условно неподвижной, а другая движется по отношению к первой, то движение, совершаемое при этом точкой, называется составным или сложным.

Например, человек перемещается по вагону поезда (подвижная система отсчета), который движется по отношению к Земле (неподвижная система отсчета).

Рассмотрим сложное движение точки М, перемещающейся по отношению к подвижной системе отсчета ОXYZ, которая в свою очередь как-то движется относительно другой системы отсчета O₁X₁Y₁Z₁ условно названной неподвижной (рис. 12.1).

Рис. 12.1

Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвижным осям координат, называется относительным движением. Траектория АВ описываемая в относительном движении называется относительной траекторией. Скорость движения точки М по отношению к осям OXYZ называется относительной скоростью (обозначается ), а ускорение точки в этом движении – относительным ускорением (обозначается ). При вычислении и оси OXYZ можно считать неподвижными.

Движение, совершаемое подвижной системой отсчета OXYZ и всеми неизменно связанными с ней точками пространства по отношению к неподвижной системе O₁X₁Y₁Z₁ является для точки М переносным движением.

Скорость неизменно связанной с подвижными осями OXYZ точки m, с которой в данный момент совпадает движущаяся точка М, называется переносной скоростью точки М в этот момент времени (обозначается ), а ускорение этой точки – переносным ускорением точки М (обозначается ).

На рис. 12.1 АВ – траектория точки М в относительном движении и к ней касательная в этой точке. Поскольку подвижная система координат OXYZ перемещается со скоростью , то результирующей скоростью будет , называемая абсолютной скоростью, которая является касательной к траектории CD, которая называется абсолютной траекторией. Движение точки М по абсолютной траектории – есть абсолютное движение, а ускорение – абсолютным ускорением.

Сложение скоростей

Теорема. При сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:

, (12.1)

Рис. 12.2

На рис. 12.2: АВ – траектория точки М в относительном движении;

– относительная скорость точки М;

А₁В₁– положение траектории точки М вследствие переносного движения.

Если угол между и составляет α, то формула (12.1) в скалярном виде будет:

, (12.2)

Сложение ускорений

Теорема Кориолиса. Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме трех ускорений: относительного, характеризующего изменение относительной скорости в относительном движении; переносного, характеризующего изменение скорости в переносном движении и кориолисово, характеризующего изменение относительной скорости точки в переносном движении и переносной скорости в относительном движении.

, (12.3)

где – кориолисово ускорение.

. (12.4)

Кориолисово ускорение точки равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного движения на относительную скорость точки. Если угол между векторами и составляет угол α, то модуль кориолисова ускорения будет равен:

. (12.5)

Частные случаи. Кориолисово ускорение будет равно нулю в следующих случаях:

1. Когда , т.е. переносное движение является поступательным, или, если угловая скорость равна нулю;

2. Когда , т.е. когда относительная скорость равна нулю;

3. Когда и , т.е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного вращения или, если в данный момент времени вектор параллелен этой оси.

Определение направления кориолисова ускорения (правило Жуковского Е.Н.):

Для определения направления кориолисова ускорения необходимо выполнить следующее:

5. провести плоскость, перпендикулярную вектору угловой скорости;

6. спроектировать на эту плоскость вектор скорости в относительном движении;

7. повернуть проекцию вектора скорости на 90⁰ по ходу вращения переносного движения.

Пример 1.

Точка М в относительном движении из положения движется по диагонали квадрата BCDA по закону , см. Квадрат BCDA вращается вокруг неподвижной оси по закону , рад. Сторона квадрата CD = 4см. Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение при t = 1c.

Решение

Рис. 12.3

Определим абсолютную скорость точки М в момент времени t = 1c. Точка М перемещается по диагонали прямоугольника из положения . Так как относительное движение прямолинейное, то скорость точки М в относительном движении будет:

При t = 1c (м/с); м/с.

Вращательное движение точки М вокруг оси ОО₁ является переносным движением. Траектория переносного движения является окружность с радиусом r. Определим положение точки М на прямой АВ при t = 1c.

(см); см.

Из треугольника MDK следует, что

(см);

см.

Так как точка М совершает в переносном движении вращение по окружности с радиусом r, то скорость в переносном движении будет:

где – угловая скорость переносного движения.

;

Тогда

(см/с);

см/с.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке М, т.е. перпендикулярно плоскости чертежа.

Так как при сложном движении точки:

то вследствие того, что

, тогда см/с.

Абсолютная скорость точки М при t = 1c по модулю равна 43,1 см/с и направлена перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).

Определим абсолютное ускорение точки М согласно теоремы сложения ускорений:

Так как в относительном движении точка движется по прямой, то:

При t = 1c, (см/с²);

см/с².

Вследствие движения точки М в переносном движении по окружности (рис. 12.4а):

где – нормальная составляющая ускорения в переносном движении.

(см/с²);

см/с²., вектор нормальной составляющей ускорения направлен по радиусу к оси вращения.

;

– угловое ускорение в переносном движении;

; .

Тогда ; .

Вектор касательной составляющей ускорения направлен в сторону направления вектора скорости (так как движение ускоренное, вследствие того, что ), т.е. перпендикулярно плоскости чертежа (на нас).

а) б)

Рис. 12.4

Определим кориолисово ускорение:

или в скалярной форме:

где – угол между векторами и .

Так как , то и кориолисово ускорение равно нулю, т.е.:

см/с².

В результате проведенных вычислений установлено, что на точку М в момент времени t = 1c действует три составляющих ускорения: (рис. 12.4б). Векторы лежат в плоскости чертежа и угол между ними составляет 45⁰, тогда модуль суммы этих двух векторов будет:

(см/с²);

см/с².

Вектор находится в плоскости чертежа, а вектор – перпендикулярен плоскости чертежа, тогда результирующий вектор – вектор абсолютного ускорения будет:

или в скалярной форме:

(см/с²);

см/с².

Ответ: см/с, см/с².

Пример 2.

Точка М перемещается по окружности диска радиусом R = 2 см по закону из положения А. Диск вращается вокруг неподвижной оси по закону . Определить абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1c.

Решение

Рис. 12.5

R = 2см;

l = 5см.

Анализ характера движения точки М (рис. 12.5) свидетельствует, что движение по окружности диска радиусом R является относительным, а движение диска вокруг неподвижной оси – переносное движение.

Определим положение точки М на окружности диска в момент t = 1c:

(см).

Длина дуги, пройденная точкой М за 1с, составляет см. Определим длину дуги в радианах:

(рад.)

Отсюда следует, что дуга, пройденная точкой М за 1с, составляет рад., или 90⁰ (положение М). Направление вектора скорости будет направлено по касательной к окружности в этой точке (рис. 12.5).

Определим абсолютную скорость точки М в момент t = 1c. По правилу сложения скоростей:

Модуль скорости в относительном движении будет:

; при t = 1c.

(см/с) см/с.

В переносном движении точка М совершает вращательное движение по окружности с радиусом вокруг неподвижной оси (рис. 12.6а).

а) б) в)

Рис. 12.6

Направление вектора переносной скорости перпендикулярно плоскости чертежа в сторону «от нас».

Модуль скорости определим:

где – угловая скорость вращения диска вокруг оси.

; при t = 1c .

Тогда

(см/с);

см/с.

Векторы скоростей и ортогональны, так как расположены в двух взаимно пересекающихся плоскостях. Поэтому модуль результирующего вектора определим:

(см/с);

см/с.

Определим абсолютное ускорение точки М в момент времени t = 1c. Согласно правилу сложения ускорений:

В относительном движении ускорение точки М разложим на две составляющие и , так точка движется по окружности (рис. 12.6б):

где – нормальная составляющая вектора ускорения точки М в относительном движении.

(см/с); см/с.

Вектор направлен по радиусу к центру окружности О.

– касательная составляющая вектора ускорения точки М в переносном движении.

(см/с²); см/с².

Вектор направлен по касательной и окружности и совпадает с направлением вектора скорости, так как движение ускоренное.

Так как в переносном движении точка М движется по окружности вокруг неподвижной оси, то ускорение разложим на составляющие (рис. 12.6а):

где – нормальная составляющая вектора ускорения в переносном движении.

(см/с²); см/с².

Вектор направлен к неподвижной оси.

– касательная составляющая вектора ускорения в переносном движении.

;

– угловое ускорение диска в переносном движении:

; .

(см/с²); см/с².

Вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа и совпадает с направлением вектора скорости переносного движения (так как движение ускоренное).

Определим кориолисово ускорение:

Модуль кориолисова ускорения равен:

где – угол между векторами и .

Согласно «правила буравчика» в данном случае вектор угловой скорости переносного движения направлен параллельно неподвижной оси, вокруг которой вращается диск. Тогда расположение векторов и будет таким, как представлено на рис. 12.6в. В этом случае вектор кориолисова ускорения, согласно правила Жуковского, будет направлен перпендикулярно плоскости чертежа «на нас».

Модуль будет равен: