Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Мгновенным центром скоростей (м.ц.с.) называется точка сечения S тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Пусть в некоторый момент времени точки А и В сечения S тела имеют скорости V_A и V_B, непараллельные друг другу (рис. 10.7).

Рис. 10.7

Для определения мгновенного центра скоростей в данном случае необходимо из точки А восстановить линию а, перпендикулярную направлению вектора , а из точки В восстановить линию в, перпендикулярную направлению вектора скорости . Точка пересечения линий а и в является мгновенным центром скоростей для данного тела в этот момент времени. Таким образом, точка Р является м.ц.с. и поэтому скорость этой точки равна нулю в данный момент времени.

Если точку Р взять за полюс, то по формуле (10.2):

, так как .

Учитывая соотношение (10.3) получим

, ( )

, ( ),

отсюда следует:

, (10.4)

Некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причем второе тело неподвижное, то точка касания Р является мгновенным центром скоростей (рис. 10.8а).

а) б) в)

Рис. 4.8

2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, причем линия АВ не перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек равны V_A и параллельны ей. Следовательно, все точки тела имеют одинаковую скорость по величине и направлению, т.е. тело имеет мгновенное поступательное движение. Угловая скорость тела в этот момент равна нулю (рис. 10.8б).

3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей Р определяется построением показанным на рис. 10.8в.

Пример 1. (16.17).

Определить скорость точки к механизма, изображенного на рис. 4.9 если известно, что ОА = 20см, АВ = ВО₁, <ВАО₁ = 30⁰, угловая скорость кривошипа ОА = 2с^-1. Точка к является серединой звена ВО₁.

Решение

Рис. 10.9

Точка к принадлежит звену ВО₁. Звено ВО₁ вращается вокруг неподвижного центра О₁. Поэтому направление вектора скорости в точке к будет перпендикулярно направлению звена ВО₁.

Так как угловая скорость кривошипа известна, то скорость в точке А будет равна:

Вектор скорости будет перпендикулярен к ОА, так как кривошип вращается вокруг неподвижного центра О.

Направление вектора скорости в точке В известно: вектор скорости будет перпендикулярен ВО₁.

Точки А и В принадлежат звену АВ: в точке А известны направление и модуль скорости; в точке В известно направление вектора скорости. Поэтому можно построить мгновенный центр скоростей для звена АВ. Для этого проводим через точку А линию, перпендикулярную направлению вектора , а через точку В проведем линию, перпендикулярную направлению вектора . Точка пересечения этих линий – Р является м.ц.с. для звена АВ в данный момент времени.

Используя соотношение (10.4) получим:

, отсюда следует, что

Из треугольника АРВ вследствие того, что <РАВ = 60⁰ и <РВА = 60⁰ следует, что данный треугольник равносторонний.

Поэтому РВ = РА, а это значит, что , т.е.

Так как О₁ – центр вращения звена ВО₁, поэтому точка О₁ является м.ц.с. для этого звена. Так как точка к является серединой звена ВО₁, то:

, или:

см/с.;

см/с.

Ответ: см/с.

Пример 2. (16.22).

Определить направления и значения скоростей точек обода колеса в положении I, II, III, IV, если колесо радиуса R = 0,5м катится без скольжения со скоростью V₀ = 10 м/с (рис. 10.10).

Решение

Рис. 10.10

1. Определим скорость точки обода колеса в положении I. Так как точка МI принадлежит одновременно колесу и неподвижной плоскости, по которой это колесо перемещается, то эта точка является м.ц.с. Следовательно, ее скорость равна нулю, т.е. V₁ = 0.

2. Определим скорость точки М в положении II. Определим направление скорости, для этого соединим точки МI и МII прямой линией и проведем через точку МII линию, перпендикулярную ей. Это будет направление вектора скорости в точке MII. Тогда составим соотношение (10.4):

, отсюда .