Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

 

Наиболее распространенными законами распределения НСВ являются следующие:

 

1. Равномерное распределение.

НСВ Х, принимающая значение на отрезке [a,b], имеет равномерное распределение, если плотность распределения:

.

 

Для СВ, имеющей равномерное распределение, вероятность того, что она примет значение в интервале (х, х + х) [a,b] не зависит от положения интервала на числовой оси и пропорциональна длине этого интервала ( ).

.

Функция распределения равномерно распределенной СВ имеет вид:

 

 

Можно показать, что М(Х) равномерно распределенной СВ имеет вид:

.

Например: автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир на остановке будет ждать автобус менее трех минут.

Время ожидания автобуса – СВ Х; СВ Х распределена равномерно, в интервале (0,5).

Определим вероятность попадания СВ в (0 Х<3):

Р(0 Х<3) =  

2. Показательное распределение.

НСВ Х, принимающая отрицательные значения, имеет показательное распределение с показателем λ, если плотность распределения этой СВ имеет вид:

f(X)

λ

 

Тогда функция распределения СВ Х имеет вид:

F(X)

0

1

Х

 

 

Вероятность попадания СВ Х, распределенной по показательному закону, в [a,b] определяется по формуле:

Показательное распределение часто встречается в теории массового обслуживания и в теории надежности.

 

3. Нормальное распределение.

НСВ Х имеет нормальное распределение вероятностей с параметрами а и σ>0, если ее плотность распределения имеет вид:

 

Если НСВ Х имеет нормальное распределение, то это записывается в виде:

N(a; σ).

Чтобы выяснить смысл параметров а и σ , входящих в выражение плотности распределения, достаточно найти М(Х) и Д(Х) нормально распределенной СВ Х.

а = М(Х) =

σ = , где Д(Х) = .

 

 

Если провести полное исследование функции f(x) с использованием дифференциального исчисления, то можно построить график функции распределения нормально распределенной НСВ Х. этот график будет называться кривой Гаусса.

Свойства функции f(x):

1. функция f(x) неотрицательная;

2. f(x)→0, если х ;

3. f(x) симметрична относительно х = а;

4.

5. если изменять а (σ - const), то форма графика функции f(x) не меняется. Кривая лишь сдвигается по ОХ. Если а не изменять, σ изменять, то с уменьшением σ «холм» кривой становится выше и уже. Это объясняется тем, что σ – мера рассеяния. Чем меньше σ, тем плотнее значения СВ Х группируются вокруг ее среднего значения а. чем ближе значения СВ Х к среднему значению, тем больше их вероятность.

6. а = 0, σ = 1  =  нормальный закон распределения называется нормированным или стандартным.

Функция распределения нормально распределенной СВ Х имеет вид:

Вероятность того, что СВ Х примет значение в интервале  равна:

, 

где -- «неберущийся» интеграл в элементарных функциях.

Этот интеграл можно вычислить приближенно. Упростить вычисление можно, если ввести функцию Лапласа:

Ф(Х) =

Тогда .

Вероятность отклонения НСВ Х от своего М(Х) определяется по формуле:

Если предположить, что ε = 3σ, то получим следующую формулу:

Это равенство показывает особенность нормального закона распределения. Оно утверждает, что значения СВ с очень большой вероятностью (равной 0,99730) лежат в промежутке [a - 3σ; а + 3σ].

Вероятность того, что СВ примет значение вне указанного промежутка ничтожно мала и составляет 0,0027. Этот вывод называется правилом «трех сигм»: если СВ Х распределена нормально, то модуль ее отклонения от М(Х) не превосходит трех сигм.

Практический интерес представляют вероятности попадания СВ в интервалы [a - 2σ; а + 2σ] , [a - σ; а + σ].

Вместо этого правила можно воспользоваться интервалами значений для обычно используемой вероятности.

Р = 0,99

Закон больших чисел

Под законом больших чисел (ЗБЧ) понимают ряд теорем, описывающих закономерности поведения усредненных результатов большого числа n повторных испытаний, если результат каждого отдельного испытания есть случайное событие или СВ.

Смысл ЗБЧ состоит в том, что при большом числе повторных испытаний их усредненный результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с высокой достоверностью, т.е. с вероятностью, близкой к единице.

 

ЗБЧ описывается рядом теорем, при доказательстве которых используется неравенство Чебышева. Теоремы:

 - теорема Чебышева

 - теорема Бернулли

 - теорема Ляпунова (центральная предельная теорема ТВ).

 

 

Неравенство Чебышева

Вероятность того, что отклонение СВ от ее М(Х) превзойдет по абсолютной величине положительное число ε, не больше дроби, числитель которой есть Д(Х), а знаменатель есть ε².

.

Если рассматривать противоположное событие для , т.е.

 

Теорема Чебышева

Пусть имеется конечная последовательность Х₁, Х₂,…, Х_n независимых СВ с одним и тем же М(Х): М(Х₁) = М(Х₂) = … = М(Х_n) = а. И дисперсиями, ограниченными одной и той же постоянной С: Д(Х₁) С, Д(Х₂) С, …, Д(Х_n) С. Тогда, каково бы ни было данное положительное число ε, вероятность события стремится к единице при n→∞.

.

 

Число СВ достаточно велико. Теорема Чебышева показывает, что при достаточно большом числе измерений некоторой СВ средне арифметическое значение этих измерений приближается к М(Х).

 

 

Теорема Бернулли

Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаний постоянна, а число испытаний достаточно велико, то вероятность того, что частость события А будет как угодно мало отличаться от его вероятности сколь угодно близка к единице.

.

 

Ценность этой теоремы заключается в том, что если вероятность события А в отдельном испытании не известна, то ее можно с достаточной для практических целей точностью и надежностью принять равной относительной частоте r(A) появления этого события в длинной серии таких испытаний.

Р(А) ≈ r(A), n → ∞.

 

Теорема Ляпунова

Если СВ представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых СВ, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то СВ имеет распределение, близкое к нормальному.

Эта теорема имеет огромное значение для практики. Согласно ей можем ожидать, что изменчивость таких показателей, как рост и обхват груди человека, определение возраста и пола, вес отдельного яблока или булки хлеба, величина ошибки измерения некоторого физического показателя и т.д. должны хорошо описываться законом нормального распределения, что и наблюдается на практике.

 

 

Системы случайных величин

При исследовании случайных явлений часто приходится рассматривать одновременно несколько СВ. Их совокупность можно представить как многомерную СВ.

Двумерная СВ – СВ (X, Y), каждое возможное появление которой представляет собой пару чисел (x; y) случайных величин X и Y, рассматриваемые совместно.

СВ, рассматриваемые совместно, образуют систему двух СВ.

Y	X
	x1	x2	…	xn
y1	P(x1,y1)	P(x2,y1)	…	P(xn,y1)
…	…	…	…	…
ym	P(x1,ym)	P(x2,ym)	…	P(xn,ym)

Двумерная СВ – дискретная.

 

Каждой паре значений (x_i; y_j) ставится в соответствие вероятность появления этой пары Р(X = х_i, Y = y_j).

Общей характеристикой двумерной СВ является функция распределения вероятностей, которая представляет собой вероятность события, что X<x, Y<y.

F(x, y) = P(X < x, Y < y).

Для НСВ функция распределения записывается в виде интеграла:

 , где f(x, y) – плотность распределения вероятностей двумерной СВ.

Вероятность совместного появления ДСВ (двумерной) записывается в виде:

Для НСВ плотность распределения вероятностей записывается в виде:

.