1) Величина определителя не изменится, если все его строки заменить столбцами, причем каждую строку заменить столбцом с тем же номером;
2) Перестановка двух столбцов или строк определителя равносильна умножению его на -1;
3) Если определитель имеет два одинаковых столбца или строки, то он равен 0;
4) Произведение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению его на это число;
5) Если все элементы некоторого столбца или строки равны 0, то и определитель также равен 0;
6) Если соответствующие элементы двух столбцов или строк пропорциональны, то определитель равен 0;
7) Если каждый элемент n-го столбца или строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, из которых один в n-ом столбце (строке) имеет первые слагаемые, а другой – вторые. Элементы, стоящие на остальных местах, не меняются;
8) Если к элементам некоторого столбца (строки) прибавить соответствующие элементы другого столбца (строки), умноженные на любой общий множитель, то величина определителя не изменится;
9) Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их соответствующие алгебраические дополнения.
Применение свойств 8 и 9 дает способ вычисления определителей любого порядка.
Свойство 9 часто называют разложением определителя по элементам какой-либо строки (столбца).
а11 а12 а13 = а11∙А11 + а12 ∙А12 + а13∙А13
а21 а22 а23 = а21∙А21 + а22 ∙А22 + а23∙А23
а31 а32 а33 = а31∙А31 + а32 ∙А32 + а33∙А33
Виды матриц. Ранг матрицы
Любая таблица, состоящая из чисел, записанных в определенном порядке, содержащая m строк и n столбцов, называется матрицей размерности m×n; число aij – элемент матрицы.
Способы задания матриц:
А1×n – матрица-строка
А1×m – матрица-столбец
Матрица, все элементы которой – нули – нулевая матрица.
Если m≠n, матрица – прямоугольная;
если m>n, матрица – укороченная;
если m<n, матрица – удлиненная;
если m=n, матрица – квадратная.
|A| – определитель матрицы.
Размерность квадратной матрицы называется ее порядком.
Если определитель квадратной матрицы ≠ 0, то такая матрица – невырожденная (неособенная);
Если определитель квадратной матрицы = 0, то такая матрица – вырожденная (особенная).
Квадратная матрица вида
где а11, а22, … , а nn – элементы , распределенные по главной диагонали, называется диагональной матрицей.
Диагональная матрица, все элементы которой по главной диагонали равны 1, называется единичной матрицей (En).
Любое число можно считать матрицей первого порядка.
Если у матрицы переставить местами столбцы со строками, то такая операция называется транспонированием матрицы.
Ат – транспонированная матрица.
|А| = |Ат| (если А – квадратная)
(Ат)т = А
Квадратная матрица называется симметрической, если А = Ат , т.е. aij = aji для любых i и j.
Элементы симметрической матрицы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны.
Квадратная матрица называется ортогональной, если ее столбцы образуют ортонормированную систему векторов.
Рассмотрим матрицу А = (aij), i = 1, m ; j = 1, n .
Из этой матрицы можно образовать квадратные матрицы. Определители таких матриц называют минорами данной матрицы. Порядок этих миноров не превышает min(m , n).
Пример:
Для матрицы А5×4 наибольший порядок минора ≤ 4.
– квадратная матрица 3 порядка:
9 миноров 1 порядка;
9 миноров 2 порядка;
1 минор 3 порядка;
Рангом матрицы называется максимальный порядок миноров матрицы, отличных от нуля.
Если ранг матрицы r(A) = r, то по крайней мере один из миноров этой матрицы порядка r отличен от нуля, и все миноры более высоки порядков (если они существуют) равны 0.
Ранг матрицы можно вычислить следующими методами:
1) Метод окаймляющих миноров
2) Метод, основанный на элементарных преобразованиях матрицы
Рассмотрим первый метод.
r(A) может принимать значения 1, 2, 3.
Выбираем минор первого порядка:
М1 = -3
Составляем М2, окаймляющий М1 ≠ 0
= 21 ≠ 0
=> r(A) = 2 или 3.
Составляем М3, окаймляющий М2 ≠ 0
≠ 0
=> r(A) = 3
Базисным минором матрицы называется минор, не равный нулю, порядок которого равен рангу данной матрицы.
Действий с матрицами
1) Сумма матриц
Складывать можно только матрицы с одинаковым числом строк и столбцов. Суммой матриц А = (aij) и В = (bij) называется новая матрица С = (с ij), элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц А и В.
с ij = aij + bij
Операции сложения матриц обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.
2) Умножение матрицы на число
Произведением матрицы А = (aij) на число k называется новая матрица, элементы которой равны произведениям соответствующих элементов матрицы А на число k.
А ∙ k = (k ∙ aij)
k
А ∙ k = k ∙ А
3) Умножение матриц
Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
В результате умножения получаем матрицу, у которой столько же строк, сколько у первой матрицы и столько же столбцов, сколько у второй.
А ∙ В ≠ В ∙ А
Am × n ∙ Bn × k = Cm × k
Если произведение матриц возможно, то матрицы А и В называют сцепленными.
Чтобы получить элементы новой матрицы, надо составить сумму произведений элементов какой-либо строки матрицы А на соответствующие элементы какого-либо столбца матрицы В.
с ij = ai 1 ∙ b 1 j + ai 2 ∙ b 2 j + … + ain ∙ bnj
Если А ∙ В = В ∙ А, то матрицы А и В называются перестановочными.
Обратная матрица
Обратная матрица может существовать только для квадратных матриц. Не каждая квадратная матрица имеет обратную матрицу. Если квадратная матрица – не вырожденная, она всегда имеет обратную матрицу, и при том единственную.
Если квадратная матрица вырожденная, то для такой матрицы не существует обратной.
Если существует квадратная матрица В, такая, что А ∙ В = В ∙ А = Е – единичная матрица того же порядка, что и квадратные матрицы А и В, то будем говорить, что матрица А обратима, и матрицу В будем называть обратной для матрицы А.
В = А-1
Справедливы следующие утверждения:
1) Каждая невырожденная матрица обратима;
2) Матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная;
3) Обратимая матрица А имеет только одну обратную матрицу.
Нахождение обратной матрицы можно выполнять 2 методами:
1) Метод присоединенной матрицы;
2) Метод, основанный на элементарных преобразованиях матриц.
Рассмотрим первый метод.
Обратную матрицу можно найти по формуле:
где – присоединенная матрица
где – матрица, элементами которой являются алгебраические дополнения элементов определителя исходной квадратной матрицы.
Пример:
Найти А-1
|A| = 4 ∙ 6 = -2 ≠ 0
А11 = М11 = 4;
А12 = -М12 = -3;
А21 = -М21 = -2;
А22 = М22 = 1.
9.5 Элементарные преобразования матриц
Элементарные преобразования матрицы приводят к матрице, эквивалентной исходной.
А ~ В – эквивалентные матрицы.
Эквивалентные матрицы имеют одинаковые ранги.
К элементарным преобразованиям относят:
1) Перестановка местами любых двух столбцов (строк);
2) Умножение каждого элемента произвольного столбца (строки) на число k ≠ 0;
3) Вычеркивание столбца (строки) из нулей;
4) Прибавление к элементам произвольного столбца (строки) соответствующих элементов любого другого столбца (строки), умноженных на произвольное число, отличное от нуля.
5) Транспонирование матрицы
С помощью элементарных преобразований можно находить обратную матрицу:
1) Приписать справа к матрице А единичную матрицу того же порядка, что и А (А Е);
2) Элементарными преобразованиями строк составленной матрицы за конечное число шагов привести матрицу вида (А Е) к матрице вида (Е В);
3) Получившаяся в правой половине матрица В и будет обратной матрице А,
В = А-1;
4) Проверка: А ∙ А-1 = Е, либо А-1 ∙ А =Е.
Обратную матрицу можно находить и следующим образом:
При этом работают со столбцами.
Элементарные преобразования матриц можно применять к нахождению ранга матрицы т.к. если А ~ В, то r(А) = r(В).
Матрица размера m×n вида
называется трапецеидальной.
а11, а22, а33, … , а rr ≠ 0 (отдельные могут равняться 0).
Каждую матрицу с помощью элементарных преобразований можно превратить в трапецеидальную. Ранг трапецеидальной матрицы равен числу ненулевых строк.
Т.к. элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга, то для отыскания ранга любой матрицы нужно:
1) Преобразовать данную матрицу в трапецеидальную;
2) Подсчитать число ненулевых строк
3) Ранг трапецеидальной матрицы будет равен рангу данной матрицы.
Дата: 2019-02-25, просмотров: 273.