Теория механических колебаний имеет многозначисленные и весьма разнообразные приложения едва ли не во всех областях техники. Независимо от назначения и конструктивного решения различных механических систем их колебания подчиняются одним и тем же физическим закономерностям, изучение которых и составляет предмет теории колебаний упругих систем. Наиболее полно разработана линейная теория колебаний. Теория колебаний систем с несколькими степенями свободы была дана еще в XVIII веке Лагранжем в его классическом труде "Аналитическая механика".
Жозеф Луи Лагранж (1736 - 1813) - с 19-летнего возраста профессор математики в Турине. С 1759 года - член, а с 1766 года - президент Берлинской Академии наук; с 1787 года жил в Париже. В 1776 году был избран почетным иностранным членом Петербургской Академии наук.
В конце XIX века Рэлеем были заложены основы линейной теории колебаний систем с бесконечной степенью степеней свободы (т.е. с непрерывным распределением массы по всему объему деформируемой системы). В XX веке линейная теория, можно сказать, была завершена (метод Бубнова-Галеркина, который позволяет с помощью последовательных приближений определять также высшие частоты колебаниий).
Джон Уильям Стретт (лорд Рэлей) (1842 - 1919) - английский физик, автор ряда работ по теории колебаний.
Иван Григорьевич Бубнов (1872 - 1919) - один из основоположников строительной механики корабля. Профессор Петербургского политехнического института, с 1910 года - Морской академии.
Борис Григорьевич Галеркин (1871- 1945) - профессор Ленинградского политехнического института.
Формула Рэлея наиболее популярна в теории колебаний и устойчивости упругих систем. Идея, лежащая в основе вывода формулы Рэлея, сводится к следующему. При моногармонических (однотонных) свободных колебаниях упругой системы с частотой w, перемещения ее точек совершаются во времени по гармоническому закону:
где ¦1(x,y,z), ¦2(x,y,z), ¦3(x,y,z) - функции пространственных координат точки, определяющие рассматриваемую форму колебаний (амплитудную).
Если эти функции известны, то частоту w свободных колебаний можно найти из условия постоянства суммы кинетической и потенциальной энергии тела. Это условие приводит к уравнению, содержащему лишь одну неизвестную величину w.
Однако указанные функции заранее неизвестны. Руководящая идея метода Рэлея состоит в том, чтобы задаваться этими функциями, сообразуя их выбор с граничными условиями и ожидаемой формой колебаний.
Подробнее рассмотрим реализацию этой идеи для плоских изгибных колебаний стержня, форма колебаний описывается функцией ¦=¦(x). Свободные колебания описываются зависимостью
(1)
потенциальная энергия изогнутого стержня
(2)
кинетическая энергия
(3)
где l - длина стержня, m=m(x) интенсивность распределенной массы стержня;
- кривизна изогнутой оси стержня; 
- скорость поперечных колебаний.
Учитывая (1)
.
Тогда
(4)
(5)
С течением времени каждая из этих величин непрерывно меняется, но, согласно закону сохранения энергии их сумма остается постоянной, т.е.
(6)
или подставляя сюда выражения (4), (5)
(7)
Отсюда следует формула Рэлея:
(8)
Если со стержнем с распределенной массой m, связаны сосредоточенные грузы с массами Mi, то формула Рэлея приобретает вид:
(9)
Как относиться к этой формуле - считать ее точной или приближенной?
Весь ход вывода показывает, что в рамках принятых допущений (справедливость технической теории изгиба стержней, отсутствия неупругих сопротивлений) эта формула точная, если ¦(x) - истинная форма колебаний. Однако функция ¦(x) заранее неизвестна. Практическое значение формулы Рэлея состоит в том, что с ее помощью можно найти собственную частоту w, задаваясь формой колебаний ¦(x). При этом в решение вностися более или менее серьезный элемент приближенности. По этой причине формулу Рэлея иногда называют приближенной.
Пример:
y 
m=cosnt Примем в качестве формы колебаний функцию: ¦(x)=ax2, которая удовлетворяет кинематическим граничным условиям задачи.
x
EI
l
Определяем:
По формуле (8)
.
Этот результат значительно отличается от точного
.
Более точной является формула Граммеля, которая до сих пор еще не стала такой популярной, как формула Рэлея (возможно, вследствие своей относительной "молодости" - она предложена в 1939 году).
Снова остановимся на той же задаче о свободных изгибных колебаниях стержня.
Пусть ¦(x) - задаваемая форма свободных колебаний стержня. Тогда интенсивность максимальных сил инерции определяется выражением mw2¦, где по прежнему m=m(x) - интенсивность распределенной массы стержня; w2 - квадрат собственной частоты. Эти силы достигают указанного значения в тот момент, когда прогибы максимальны, т.е. определяются функцией ¦(x).
Запишем выражение наибольшей потенциальной энергии изгиба через изгибающие моменты, вызываемые максимальными силами инерции:
. (10)
Здесь 
- изгибающие моменты, вызываемые нагрузкой mw2¦. Обозначим 
изг - изгибающий момент, вызываемый условной нагрузкой m¦, т.е. в w2 раз меньший, чем силы инерции.
Тогда:
, (11)
и выражение (10) можно записать в виде:
. (12)
Наибольшая кинетическая энергия, как и выше
. (13)
Приравнивая выражения (12) и (13) приходим к формуле Граммеля:
(14)
Для вычислений по этой формуле необходимо прежде всего задаться подходящей функцией ¦(x). После этого определяется условная нагрузка m¦=m(x)¦(x) и записываются выражения изг вызываемые условной нагрузкой m¦. По формуле (14) определяют частоту собственных колебаний системы w .
Пример: (рассматриваем предыдущий)
Условная нагрузка: m(x)=m=const; ¦(x)=ax2
y
m(x)·¦(x)=max2
x
EI
l
Находим:
Дата: 2019-02-19, просмотров: 189.
