Рассмотрение упругих систем вообще и плоских стержневых систем в частности с позиций МКЭ есть представление упругих систем в виде набора элементов с конечным числом степеней свободы, которые соединяются между собой в узловых точках (узлах). Такое представление заданной системы в виде дискретной модели приводит к полной формализации всех этапов расчета. Подход к решению задачи является единым, как для стержневых систем, так и для пластин, оболочек, объемных тел и т.п.
Рассматривать будем МКЭ разработанный на базе метода перемещений, применительно к расчету плоских стержневых систем.
При расчете плоских стержневых систем в МКЭ приняты те же гипотезы, что и в обычном методе перемещений. Несколько уточняется только одна гипотеза: в МКЭ будем учитывать влияние не только изгибных, но и влияние продольных деформаций на перемещения узловых точек сооружения. Т.е. длина стержня в результате деформаций растяжения-сжатия может изменяться. Это положение позволяет в большей степени формализовать выбор основной системы МКЭ и получить результаты расчета более точные, чем в обычном методе перемещений.
Расчет стержневых систем, как и любых других, в МКЭ начинают с разбиения заданной системы на отдельные элементы.
В качестве конечных элементов (КЭ) мы будем рассматривать прямолинейные стержни, имеющие постоянную жесткость по длине. Между собой КЭ могут соединяться жестко или с помощью шарнира. Точки соединения элементов в МКЭ называют узловыми или узлами.
Т.е. основную систему (дискретную модель) МКЭ получают, разбивая заданную систему на отдельные прямолинейные элементы, имеющие постоянную жесткость по длине. При наличии в системе криволинейных стержней или стержней с переменной жесткостью, их, с достаточной степенью точности, разбивают на участки, в пределах которых стержни считают прямолинейными, с усредненной постоянной жесткостью.
Кроме того, алгоритм МКЭ требует, чтобы все внешние нагрузки, действующие на сооружение, были приложены к узловым точкам ее дискретной модели. Поэтому, точки приложения сосредоточенных сил делают узловыми, а нагрузки распределенные по длине стержня, преобразуют к узловым.
Для преобразования вне узловой нагрузки к узловой используют таблицы метода перемещений (см. рис. б).
 |
В узлах, где отдельные элементы соединяются между собой жестко, имеется три неизвестных перемещения, в шарнирных узлах – два. Следовательно, количество неизвестных МКЭ можно определить:
n = 3nж.уз. + 2nш.уз .
 |
Положительные направления и порядок нумерации неизвестных принимаем следующий
 |  |
Дискретная модель сооружения в целом, которая связывается с общей системой осей координат, характеризуется n параметрами перемещений Zi и узловых силовых воздействий Pi , составляющих векторы
Каждый конечный элемент связан с местной системой осей координат и характеризуется своими параметрами узловых перемещений {V} и соответствующими узловыми усилиями {S}’. Кроме того, для элементов, в пределах которых вне узловая нагрузка преобразуется к узловой, формируют векторы грузовых усилий {So}. 
В разрешающем уравнении МКЭ
[r]{Z}={P},
матрица [r], которая называется матрицей жесткости сооружения в целом, формируется из матриц жесткости отдельных элементов.
Дата: 2019-02-19, просмотров: 202.
