План:

1. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.

2.  Совокупности неравенств с двумя переменными.

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Система неравенств f₁ (х) > g₁ (х) и f₂ (х) > g ₂ (х) имеет вид:

Решением этой системы является всякое значение переменной х , которое обращает каждое из неравенств в истинное числовое не­равенство.

Множество решений системы неравенств есть пересечение мно­жеств решений неравенств, образующих данную систему.

Неравенство |х| < а, где а >0, равносильно системе

х < а,

х > — а

или двойному неравенству —а < х < а.

Пример 1. Найдем множество решений системы неравенств:

5(х + 1) – 9х – 3 > - 6(х + 2)

3 (3 + 2х) < 7х — 2 (х — 8).

Ответ: Множество решений неравенства х > —7 есть числовой проме­жуток ]—7; оо[, а множество решений неравенства х < 7 - промежуток ]— оо;  7[. Решением данной системы является промежуток ]—7; 7[.

42. СОВОКУПНОСТИ НЕРАВЕНСТВ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Совокупность неравенств f₁ (х) > g₁ (х) и  f₂ (х) > g ₂ (х) с одной переменной может быть записана в виде  

Решением совокупности неравенств с одной переменной назы­вается всякое значение переменной х, которое обращает в истинное числовое неравенство хотя бы одно из неравенств совокупности.

Множество решений совокуп­ности есть объединение множеств решений неравенств, образующих совокупность.                                       

Неравенство |х| >а, где а > 0 равносильно совокупности:

Неравенство вида f₁ (х) : g₁ (х) (1)  > 0 или f₁ (х) × g₁ (х) (1)  > 0 равносильно

совокупности (дизъюнкции) систем:  

Пример 1. Найдем множество решений совокупности

2х — 3 > х — 1,

4х + 3 > 8 — х.

Решение. Найдем сначала множества решений каждого из неравенств совокупности, а затем их объединение.

Преобразуем каждое из неравенств совокупности, заменяя его равносильным:

х  > 2,

х > 1.

Множество решений неравенства х > 2 есть числовой промежу­ток ]2; ¥[, а множество решений неравенства х > 1 — промежу­ток — ]1; ¥[. Изобразим эти множества на числовой прямой и найдем их объединение.  Следовательно, множество решений совокупности есть числовой промежуток ]1; оо[.

П р и м е р 2. Решим неравенство (4х – 3) / (3 – 2х) > 1.

Ответ: ]1; 1,5[.

Лекция 30. Неравенства с двумя переменными

План:

1.  Неравенства с двумя переменными. Способы решения системы двух неравенств с двумя переменными: аналитический способ и графический способ. 

2. Системы двух неравенств с двумя переменными: запись результата решения.

3.  Совокупности неравенств с двумя переменными.

НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕН­НЫМИ. Предикат вида f ₁(х, у)>< f₂(х, у), х ÎХ, у Î У, где f ₁(х, у) и f₂(х, у) - выраже­ ния с переменными х и у, определенные на множестве ХхУ называется неравенст­ вом с двумя переменными (с двумя неизвестными) х и у. Ясно, что любое нера­венство вида с двумя переменными можно записать в виде   f(х, у) > 0, х ÎХ, у Î У. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений пере­менных, обращающая неравенство в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х, у) однозначно определяет точку координатной плос­кости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы нера­венств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек коорди­натной плоскости. Если уравнение.

f(х, у)  = 0 определяет некоторую линию на координат­ной плоскости, то множество точек плоско­сти, не лежащих на этой линии, состоит из конечного числа областей С₁, С₂,..., С_п (рис. 17.8). В каждой из областей С, функция f(х, у)   отлична от нуля, т.к. точки, в которых f(х, у) = 0 принадлежат границам этих областей.

Рис. 17.8

Теорема 17.6. В каждой из областей G (/ = 1,2,...), на которые линия f(х, у) = 0 делит координатную плоскость, функция  f(х, у) либо положи­тельна, либо отрицательна.

Доказательство этой теоремы опускается.

Пример 17.14. Изобразите на координатной плоскости множество решений нера­венства

у{у + 2) < х + 3.

Решение. Преобразуем неравенство к виду х > у² + 2у - 3. Построим на координат­ной плоскости параболу х = у² + 2у - 3. Она разобьет плоскость на две области G₁ и G₂ (рис. 17.9). Так как абсцисса любой точки, лежащей правее параболы х = у² + 2у - 3, больше, чем абсцисса точки, имеющей ту же ординату, но лежащей на параболе, и т.к. неравенство х>у^г + 2у -3 нестрогое, то геометрическим изображением решений данно­го неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе х = у² + 2у - 3 и правее нее (рис. 17.9).

Рис. 17.10

Пример 17.15. Изобразите на координатной плоскости множество решений систе­мы неравенств

х > 0,

у > 0,

ху > 5,

 х + у <6.

Решение. Геометрическим изображением решения системы неравенств х > 0, у > 0 является множество точек первого координатного угла. Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 6 или у < 6 - х является множество точек, лежащих ниже прямой и на самой прямой, служащей графиком функции у = 6 - х. Геометрическим изображением решений неравенства ху > 5 или, поскольку х > 0 неравенства у > 5/х является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функ­ции у = 5/х. В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 6 - х, и выше ветви гиперболы, служащей графиком функции у = 5х (рис. 17.10).