Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Пусть А , В— множества. Соответствием из А в В называется произвольное подмножество декартова произведения А х В

При этом множество А называется областью отправления соответствия F , а В— его областью прибытия. Таким образом, всякое соответствие определяется тройкой множеств где Е С А х В.

Два соответствия < Р, А, В > и < F1, 141, В1 > называются равными тогда и только тогда, когда А = „41 , В = В1 и F F1 . Запись F : А В означает, что F является соответствием из А в В (т.е. F С А х В).

Если (а, Ь) ? , то Ь называют образом элемента а при соответствии . Вместо записи (а, Ь) ? часто используется aFb или а Ь .

Таким образом, множество 1' можно рассматривать как некоторое множество стрелок, начало которыс принаДлежит области отправления соответствия, а конец — области прибытия.

Если множества А и В зафиксированы, то для задания соответствия из А в В достаточно определить множество Для этого следует указать правило, позволяющее для каждого элемента а ? А выписать множество всех его образов при данном соответствии.

1. пусть А = {1, 2, а), (2, а), (2, Р)} 2. Пусть А, В такие же, как и в предыдущем пункте. Тог да то же множество 1⁷ может быть указано как множествс стрелок (рис. З).

З. Пусть А = В = N— множество положительных це. лых чисел. Множество есть область истинности предиката  с— делитель у ” , т.е. F = — делитель у}

Рис. З

2. Отображение (функция)

В общей ситуации не каждый элемент из области отправления соответствия обязан иметь образ или, напротив, он может иметь более одного образа.

Если каждый элемент области отправления соответствия имеет единственный образ, то такое соответствие называется отображением, или функцией.

Для отображений принята специальная терминология: область отправления именуется областью опреДеления, а область прибытия — областью значений.

Подчеркнем, что отображение f : Х У определено лишь в том случае, когда каждый элемент с ? Х имеет во множестве У единственный образ у у

Это обстоятельство записывается в виде равенства у f(c) , которое обозначает, что ”элемент у есть образ эле мента с при отображении f “ или ”элемент с есть прообраз элемента у при отображении f

Отметим, что в общем случае для соответствия F использование равенства у Р(с) может привести к противоречию.

Например, если при соответствии F : Х У элемент е Х имеет два различных образа Ш, У2 ? У , то запись = Р(с) и У2 Р (с) приводит к абсурду У1 г: У2 .

Если множество G С Х , то через f(G) обозначается множество образов всех элементов множества G:

                   f(G) = {у е       е с; (у f( ^z ))}.

Множество f(G) называется образом множества (7 при отображении f .

П р и м е р. Пусть отображение .f : R R определяется  {c l 1 2}. Тогда f(G) -

З. Сужение отображения. График.

Последовательность

Пусть имеем отображение .f : Х У, и пусть (7 С Х

Тогда отображение f всякому элементу из G ставит в соответствие некоторый элемент из У , стало быть, оно определяет отображение fG : G У .

Отображение fG в этом случае называют сужением отображения f на множество (7 (рис. 4).

Рис. 4

П р и м е р 1. Отображение f(c) = 2 ³ , определенное для ? Z, есть сужение на Z отображения f(c) — — с^з множества

Множество пар {с, f(c)}, являющееся подмножеством про^Изведения Х ХУ, называется графиком функции f(c) (рис. 5).

Рис. 5

П р и м е р 2. Множество пар {с, 2² } являющееся подмножеством произведения R² = R х R , составляет график показательной функции f(c) 2^с (рис. 6).

2
О	х

Рис. 6

Возьмем N— множество натуральных чисел, в качестве У — произвольное множество.

Отображение f : N У называется последовательностью элементов из У .

Таким образом, последовательность f связывает каждое натуральное число п с некоторым элементом Л) из У

Последовательность .f будем обозначать f = {f1, .f2' • • • или сокращенно .f = {fn} . Здесь символы Л являются образами чисел из N. Например, запись f = {щ} означает последовательность рациональных чисел вида {1, 12 , 1

4. Типы отображений

Пусть f : Х У — отображение. Тогда каждому элементу с е Х соответствует единственный элемент у У , с другой стороны, элемент у е У может быть образом нескольких элементов из Х .

Например, значение —6 служит для функции у г: с образом значений —3, 1, 2. Множество элементов с Х , имеюших в качестве образа при отображении f один и тот же элемент у ? У , называется множеством прообразов элемента у и обозначается f-1 (y) •

Пусть (В) обозначается множество всех прообразов элементов, принадлежащих множеству В ,

т.е.

               f -1 (B) =    Х, f(c) е Щ.

1. Отображение f : Х У называется сюръективным, или сюръекцией, или отображением на множество У , если каждый элемент у ? У из области его значений имеет хотя. бы один прообраз, т.е. множество не пусто для всякого элемента у е У.

Очевидно, что отображение' f : Х У является сюръекцией тогда и только тогда, когда ЛХ) = У . Заметим, что в этом утверждении равенство ЛХ) = У можно заменить равносильным ему равенством: (У) = Х.

а) Пусть Х = У R . Отображение f , определяемое формулой f(c) = 52 + 1 , задает сюръективное отображение множества Х на множество У.

б) Пусть Х У R . Отображение f, определяемое формулой f(c) с^з , есть отображение R на R , поскольку лю^бое действительное число является кубом некоторого действи^тельного числа. Напротив, если Х = У Z , то отображение — с^з множества Z в Z уже не будет сюръекцией, поскольку целое число может не быть кубом целого числа. Например, (2) О

в) Пусть снова Х У = R . Отображение f, определяемое формулой f(c) — 2 ² , есть отображение в У . Это отображение не сюръективно, т.к. отрицательные числа из У не имеют прообразов при отображении f.

2. Говорят, что отображение f : Х —; У является взаимнооднозначным или инъективным, если образы любых двух различных элементов с1, ? Х различны, т.е. из неравенства ст 22 вытекает f(C1) f(C2) .

З. Отображение f : Х У называют биективным или биекцией, если оно оДноеременно инъективно и сюръективно, т.е. если каждый элемент У является образом некоторого единственного элемента из Х.

Отображение, заданное на рисунках:

— сюръективно, но не инъективно; инъективно, но не является сюръекцией; биекция; не обладает ни одниМ из указанных свойств.

о

    а)                                                  6)в)г)

Рис. 7

Отображение f : Х У, определенное равенством f(c) = с, называется тожДественным, и обозначается: 1х : Х —»

 Х . Если Х С У , то отображение f : Х —» У, определенное равенством f(c) с, называют тсаноничестсой инъекцией.

 5. Композиция отображений, обратимые отображения

Пусть Х, У, 7— множества f : Х У и : У —» 7, — отображения. Отображение h : Х 7), определяемое формулой называется композицией, или суперпозицией, или произв еДением отображений f и g и обозначается через go f

В том случае, когда f и g именуются функциями, g о f называется сложной функцией.

Теорема 1. Композиция отображениб облаДает слеЭуюЩИ.ИИ свойствами:

1) если f : Х У , g : У —4 Z и h : Z и^л — отображениз, то (hog) of = Но (go f) (ассоциативность композиции);

2) Для любого отображения : Х —» У имеют место равенства f о 1х f и 1у о f Л

пусть f : Х      У,   : У а : Z      и^л, т.е. X4y4Z3W, то        (go f).

Действительно, для любого ? Х имеем:

((hog) о f) (с) = (h о 9) (f(c)) = h(g (f(c)))

т.е. (ф og) о Л (с) —                                   и значит (h о g) о f

Пусть f : Х У— отображение. Тогда е Х (f о = = f(c) , т.е. fo 1х = f.

Аналогично доказывается равенство 1у о f = f.

Замечание. Композиция отображений в общем случае не обладает коммутативностью, существуют отображения f и р , что произведения f о р и р о f одновременно определены, но не равны между собой, f о р 74 р о Л

Например, пусть f : R R , f(c) 2 ² , 9 : R R, sinc . Тогда (р о = — sin . С другой стороны, (f о sin² с. Очевидно, что sinc ² и sin² с— различные функции, т.е. р о .f f о р.

Отображение .f : А В называется обратимым, если

существует отображение р : В А такое, что

pof= 1 А и Г о р = 1в.

Отображение р , удовлетворяющее равенства (*), называется обратным к отображению

Критерием обратимости отображения служит теорема 2.

Теорема 2. Отображение обратимо тогДа и только тогДа, когДа оно биективно.

Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть f : А В— обратимое отображение. Тогда, по определению, существует отображение р : В А такое, что выполняются оба равенства

Покажем, что отображение f сюръекчпивно. Пусть Ь ? В. Тогда, используя равенство р о f = 1 в, получим f (p(b)) = откуда следует, что p(b) — прообраз элемента Ь при отображении f . Следовательно, f— сюръективно.

Докажем инъективность отображения f. Пусть с1, 22 ? ? А и 74 22 . Допустим, что f(C1) f(C2) . Тогда р (f(Z'l)) = , т.е. (ро ) = (ро Поскольку р о f 1 А, то предыдущее равенство может быть записано в виде 1А(С1) 1А(С2), т.е. 21 что противоречит предположению. Поэтому f(C1) 74 f(Z2) и, следовательно, f— инъективно. Таким образом, f— биекция.

Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть f : А В— биективное отображение. Тогда ввиду сюръективнос.ти отображения

В (f -1 (b) О)

В силу инъективности f для любого элемента Ь ? В множество Г ¹ (Ь) не может содержать более одного элемента и. следовательно, оно одноэлементно.

В силу этого в дальнейшем Для любого биективного отображения f под символом (Ь) условимся понимать не множество, а элемент, из которого состоит это множество.

Тогда соответствие р из В в А, при котором образом произвольного элемента Ь е А является элемент (Ь) ? А есть отображение.

Теперь для доказательства обратимости отображения f достаточно проверить справедливость равенств

1. Пусть а А . Тогда

                  (ро     = р (f(a))       (f(a))

т.е. pof= 1 А .

2. Далее, пусть Ь В . Тогда, по определению, p(b)

, откуда f (p(b)) f (f -1 (b)) — Ь. Следовательно, f о р = 1 в . Таким образом, f — обратимо.

Теорема доказана.

Следствие. Если отображение f : А В обратимо, то оно имеет еДинственное обратное тс нему отображение.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть отображение f : А —4 В— обратимо. Тогда, в силу теоремы 2, отображение f— биективно. Обозначим через : В А отображение, обратное к f, построенное в доказательстве теоремы 2, т.е. 91 (Ь) = (Ь) для любого Ь ? В.

Пусть 92 : В А — произвольное отображение, обратное к f . Тогда 910f = 1 А, f0P1 1 в и = 1 А, f0P2 = 1 в.

Используя эти равенства и ассоциативность композиции отображений (теорема 1), получим

92(Ь) = (92 о = (92 о (f о 91) ) (Ь) = ((92 о f) о (ь) = (1А о г: 91 (Ь) для произвольного Ь ? В

   Таким образом, 92     . Следствие доказано.

Это следствие дает основание ввести станДартное обозначение отображения, обратного к данному:

если f биективно, то через обозначается отображение, обратное к f .

Напомним, что для любого элемента Ь ? В, по определению,  (Ь) — есть прообраз Ь при отображении f.

Таким образом, равенства

.f —1   1 А fof 1в являются определяющими для отображения —1

У п р а ж н е н и я:

1. Пусть f : Х У — отображение. Докажите справедливость следующих импликаций:

(а) А С В ЛА) С Л В) для любых подмножеств А и В множества Х

(Ь) С С D (С) С для любых подмножеств С и D множества У.

2. Пусть f : Х У — отображение, А и В- произвольные подмножества множества Х. Докажите справедливость следующих соотношений:

ф) ЛА п В) = ЛА) п ЛВ); (с) ЛА) ЛА \ В).

З. f : Х —» У— инъекция, А С В С Х. Докажите, что

4. Пусть f : Х У — отображение, С и D— произвольные подмножества множества У. Докажите справедливость следующих равенств:

(а) f-1 (C u D) f -1 (D); ф) f-1 (C f -i (C) f -l (D); (с) f-1 (C) \ f-1 (D).

5. Пусть f : А В— отображение. Доказать равносиль ность следующих утверждений:

(а) f— сюръективно;

(с) и ? в (f-1 (b) 0) .

6. пусть fi : R + R,       : R — R (i — 1, 2, З) и для любого

Л (с) Зс + 1, 91 (с) = 22 3 f2(c) 2с — 1, Р2(с) — f3(c) = 5, рз(с) = tgc

Найти композиции Л о pt• и р; о Л

7. Пусть А =

Построить р о .f и f о р .

8. Пусть f : А В— отображение. Докажите, что f является биекцией тогда и только тогда, когда множество (Ь) одноэлементно для любого Ь е В.

9. Докажите, что отображение f : А В инъективно тогда и только тогда, когда для любого элемента, Ь ? В множество (Ь) либо пусто, либо одноэлементно.

10. Какие из отображений, указанных в упражнении 6, сюръективны, инъективны, биективны?

11. Докажите, что всякая возрастающая (убывающая) функция действительного переменного является инъекцией.

12. Два отображения называются однотипными, если оба они одновременно инъективны, сюръективны, либо биектив-

Докажите, что композиция двух однотипных отображений является отображением того же типа.

13. Докажите, что если отображение f обратимо, то обратное к нему отображение биективно и имеет место равенство (f ) 1

14. Докажите, что если композиция fop инъективна (сюръективна), то один из сомножителей f либо р также инъективен (сюръективен).

15. Пусть f и g— обратимые отображения. Докажите, что если их композиция f о g существует, то (f о g)—1

6. Бинарные и п -арные отношения

В математике мы часто используем термины, которые характеризуют некоторые связи межау парами объектов в опреДеленном поряДке. Например, ” меньше“ включается“ , ” делится на параллельно“ и т. д. Ниже мы увидим, что каждый из этих терминов является конкретизацией более широкого — бинарное отношение

Для того, чтобы увидеть подходы к определению этого понятия, обратимся сначала к примеру.

Пусть А {1, 2, 6} . Тогда свойство ” меньше“ выДеляет в Декартовом кваДрате „4² подмножество S = {(1, 2), (1, 6), состоящее из тех и только тех пар чисел, у которых первое число меньше второго. Аналогично подмножество

сарактеризует свойство “Делимости” чисел на множестве А А именно, число с Делит у тогДа и только тогДа, когДа

Таким образом, если множество F известно заранее, то для положительного ответа на вопрос ” является ли число а делителем Ь ?” достаточно убедиться в том, что (а, Ь) ( Этим рассуждением мы вплотную приблизились к понятию бинарного отношения.

Определение. Любое подмножество S С „4 ² Декартова кваДрата множества А называется бинарным отношением, опреДеленным на множестве А .

Из определения соответствия вытекает, что бинарное отношение на множестве А может быть опреДелено как соответствие из А в А.

Если пара (с, у) ? S , где с, у (- А , то говорят, что элементы с и у находятся в отношении S . Вместо записи (с, у) ? S используется также cSy или S(c, у)

Отметим некоторые наиболее распространенные способы заДания бинарныс отношений:

1) Бинарное отношение может быть задано перечислением его элементов.

Например, как уже отмечалось, множество , заданное равенством , определяет бинарное отношение делимости“ на множестве А = {1 , 2, 6}

2) Бинарное отношение можно рассматривать как область истинности Двухместного преДиката.

Например, отношение 1⁷ , о котором говорится в пункте 1) совпадает с областью истинности предиката

” с делит

З) Бинарное отношение как частный случат) соответствия может быть заДано с помощью стрелок .

Например, отношение F , определенное равенством может быть задано следующим образом:

Рис. 8

Такой рисунок часто называют Диаграммой или графом отношения F .

Диаграмма бинарного отношения 1⁷ состоит из точек, изображающих основное множество А и стрелок, соеДиняЮ?.цис ис. При этом стрелка с началом с и концом у присутствует в диаграмме тогда и только тогда, когда (с, у) F Диаграмма чаще всего используется для задания бинарных отношений на конечных множествах.

4) В случае, когда бинарное отношение задается на множестве действительных чисел R , множество принадлежащих ему пар может быть изображено точками плоскости. Это дает геометрическую иллюстрацию соответствующего отношения.Напримео, множество пар (с, у), для которых выполняется отношение с > у, представляет множество точек плоскости, лежащих под прямой у = (см. рис. 9).

Рис. 9

Подмножество Д С Х х Х, составленное из всех пар равных между собой элементов, называется Диагональю множества Х х х, т.е.

Из определения вытекает, что отношение S(c, с), определяемое множеством Д, является равенством.

В предыдущем примере (рис. 9) диагональю Д множества S х S будет множество точек прямой у = с.

Заметим, что понятие бинарного отношения может быть распространено на более общую ситуацию. Для этого достаточно в определении бинарного отношения заменить слова ” декартов квадрат“ словами ” декартова степень

Определение. Пусть А — множество и п — произвольное натуральное число. ТогДа любое подмножество S С А^П Декартовой степени множества А с показателем п называется п -арным отношением на множестве А .

В частности, при п = 2 получаем определение бинарного отношения. При п = 1 отношение называется унарным.

Отметим далее, что в математических рассуждениях слова п -арное отношение и п -местный преДикат часто используются как СИНОНИМЫ.

Проиллюстрируем эту связь для случая п = 2

Как мы уже отмечали, область истинности любого Двусместного преДитсата Р(с, у) является бинарным отношением. Обратно, если S — бинарное отношение на множестве А,

т. е. S С А х А, то, определив Р(с, у) как предложение “пара (с, у) принадлежит множеству S “, мы получим предикат, обласТЬ истинности которого совпадает с исходным бинарным отношением S .

Таким образом, называя бинарное отношение преДикатом, мы поДразумеваем при этом Двусместный преДикат, областью истинности которого является Данное отношение. Это соглашение относится и к произвольным п -арным отношеНИМ.