Правила оформлення контрольної роботи
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

ЗМІСТ

ВСТУП.. 4

Правила оформлення контрольної роботи.. 4

1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ.. 5

1.1. Основні поняття. 5

1.2. Поняття оцінки характеристик генеральної сукупності. 8

1.3. Числові характеристики статистичного розподілу. 9

1.4. Метод добутків обчислення вибіркових середнього. 17

2. ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ. 18

2.1. Основні поняття. 18

2.2. Критерій для перевірки гіпотези про імовірність події 19

2.3. Критерій для перевірки гіпотези про математичне сподівання. 21

2.4. Критерій для перевірки гіпотези про порівняння двох дисперсій. 22

2.5. Критерій Пирсона для перевірки гіпотези про вид закону розподілу випадкової величини. 23

2.6. Критерій Колмогорова. 30

3. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ ТА РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ. 34

4. КОНТРОЛЬНА РОБОТА.. 38

5. ЛІТЕРАТУРА.. 50

6. ДОДАТОКИ.. 51


 


ВСТУП

 

У зв'язку зі специфікою навчального процесу студентів соціологічних спеціальностей актуальною є методична розробка за основними темами курсу “Теорія ймовірностей та математична статистика”, яка призначена для теоретичного і практичного вивчення. Знання, отримані при вивченні цього курсу необхідні студентам для освоєння спеціальних дисциплін.

Для закріплення вивченого теоретичного матеріалу, а також для набуття навичок і вмінь практичного використання отриманих знань, студентам пропонується виконати індивідуальну самостійну роботу за курсом.

Вибір варіанта здійснюється таким чином: беремо останню цифру номера з журналу і це Ваш варіант.

Робота, виконана не за своїм варіантом, не приймається.

Правила оформлення контрольної роботи

 

1) Контрольну роботу варто виконувати в окремому зошиті, залишаючи поля для зауважень рецензента.

2) У заголовку роботи потрібно зазначити таке: назву дисципліни, факультет, курс, група, прізвище студента, ім'я та по батькові, номер індивідуального плану. Заголовок роботи треба помістити на обкладинці зошита.

3) Перед розв’язанням кожної задачі потрібно записати цілком її умову.

4) Розв’язання задач варто викладати докладно, пояснюючи дії.

5) Наприкінці виконаної роботи необхідно перерахувати використану для виконання літературу.

Захист індивідуальної роботи проводиться у формі співбесіди за темою роботи.



ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ

Основні поняття

 

Нехай потрібно досліджувати будь-яку ознаку, яка притаманна великій групі однотипних виробів (наприклад: розмір деталей даного типу, вагу виробу тощо)

Сукупність значень ознаки усіх N виробів даного типу називається генеральною сукупністю.

Вибірковою сукупністю, або просто вибіркою, називають сукупність випадково відібраних об'єктів. Ці вибірки реально спостерігаються в експерименті. Кількість цих даних називається об'ємом вибірки. Теоретично вибірка є сукупність незалежних однаково розподілених випадкових величин, розподіл яких співпадає з розподілом генеральної сукупності.

Вибірковий метод полягає в тому, що з генеральної сукупності береться вибірка обсягу п (причому п << N) і визначаються характеристики вибірки, що приймаються в якості наближених значень відповідних характеристик генеральної сукупності.

Вибірки бувають повторні (з поверненням відібраного елемента до генеральної сукупності) та безповторпі (без повернення).

Вибірки розрізняються за способом відбору: простий випадковий відбір (елементи відбирають по одному з генеральної сукупності), типовий відбір (елементи відбирають з деякої частини генеральної сукупності), механічний відбір (елементи відбирають по одному з кожної частини генеральної сукупності), серійний відбір (елементи відбирають серіями).

Різні елементи вибірки називаються варіантами і позначаються . Число, що показує, скільки разів зустрічається варіанта в даній вибірці, називається частотою і позначається . Сума частот дорівнює об'єму вибірки (загальному числу спостережень ). Відношення частоти до об'єму вибірки називається відносною частотою, тобто . Сума відносних частот дорівнює одиниці.

Для проведення статистичного аналізу необхідно вибірки, що розглядаються представити у зручному і сприйнятливому вигляді. Для цього складають статистичний розподіл вибірки.

Припустимо, що вивчається деяка випадкова величина Х, закон розподілу якої невідомий. Над випадковою величиною Х проводиться ряд незалежних спостережень (вимірів). Результати вимірів подають у вигляді таблиці, що складається з двох рядків, у першому із яких указуються номера вимірів i, а у другому – результати вимірів хi :

і 1 2 п
xi x1 x2 xn

Таблицю, що вміщує номера і результати вимірів, називають рядом варіант або статистичним рядом.

Варіаційним рядом вибірки називають засіб її запису, при якому елементи хi (варіанти) розташовані за розміром, тобто записуються в зростаючому порядку. Різниця між максимальним і мінімальним елементами вибірки називається розмахом вибірки. Рівні між собою члени нумеруються в довільному порядку. Ці дії називаються рангуванням статистичних даних.

Нехай у вибірці обсягу п елемент xi зустрічається ni разів. Число ni називається частотою елемента xi. При цьому  де т – число різноманітних варіант ni..

Відношення  називаються відносними частотами і

Статистичним розподілом (розподілом частот) вибірки називають перелік варіант і відповідних їм частот.

Його можна також записати у вигляді послідовності інтервалів і відповідних їм частот. У якості частоти, що відповідає інтервалу, приймають суму частот, що потрапили в цей інтервал, причому якщо при угрупованні значень що спостерігаються, маємо значення, що у точності лежить на межі двох інтервалів, то варто додати до числа ni однієї і іншої груп по 1/2 частоти, що відповідає даному значенню.

З метою наочності будують різноманітні графіки статистичного розподілу і, зокрема, полігон і гістограму.

Полігоном частот називається ломана, відрізки якої з'єднують точки з координатами (x1, n1),...,( xm, nm).

Полігоном відносних частот називають ломану, що з'єднує точки з координатами (x1, w1),...,( xm, wm).

У випадку неперервноі ознаки (наприклад, дальність польоту снаряда) або при великому числі значень ознаки доцільно будувати гістограму частот, для чого інтервал, у якому укладені всі значення ознаки, розбивають на декілька часткових інтервалів довжиною h і знаходять для кожного i-го часткового інтервалу частоту ni, що дорівнює сумі частот варіант, що потрапили в i-й інтервал.

Гістограмою частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h, а висоти дорівнюють відношенню  (щільність частоти). Площа i-го часткового прямокутника дорівнює  - сумі частот варіант i-го інтервалу; отже, площа гістограми частот дорівнює сумі всіх частот, тобто обсягу вибірки.

Гістограмою відносних частот називають ступінчасту фігуру, що складається з прямокутників, основами яких є часткові інтервали довжиною h а висоти дорівнюють відношенню  (щільність відносної частоти). Площа гістограми відносних частот дорівнює сумі площ усіх прямокутників, тобто

Емпіричною функцією розподілу називають функцію , яка визначає для кожного значення х відносну частоту події Х<х, тобто  де  – число варіант, менших х, п - обсяг вибірки.

З визначення  випливають такої її властивості:

1) значення емпіричної функції належать відрізку [0;1];

2)  - функція , що не убуває;

3) якщо x1 – найменша варіанта, то  при ;

якщо хk - найбільша варіанта, то  при х > хk;

Емпіричну функцію розподілу можна також визначити як суму відносних частот варіант, менших х.

ПРИКЛАД 1 . При обстеженні студентів першого курсу за віком були зафіксовані наступні дані (табл. 1). Побудувати полігон розподілу.

Таблиця 1.

Розподіл студентів першого курсу за віком

Вік студентів

(варіанты xi)

Число студенів з даним віком

(частоти ni)

Частости (fi)

відносні в %
17 18 19 20 21 22 23 2 15 14 6 6 5 2 0,04 0,30 0,28 0,12 0,12 0,10 0,04 4 30 28 12 12 10 4
Разом 50 1,0 100
Рис.1. Полігон розподілу студентів за віком

У прямокутній системі координат на горизонтальній осі відкладаємо значення ознаки (вік студентів), а на вертикальній осі – частоти (число студентів з даним віком). Отримані крапки з'єднаємо відрізками прямої. Для того щоб фігура була замкнутої, уведемо додатково нові значення ознаки (16 років, 24 роки); відповідні їм частоти, природно, дорівнюють нулю. У результаті одержимо полігон розподілу студентів за віком (мал. 1).

 

ПРИКЛАД 2. Побудуємо гістограму розподілу душ за розміром прирізки в Бєльському повіті Смоленської губернії за даними табл.2. (За браком додаткових даних при побудові графіка скористаємося припущенням, що величина останнього відкритого інтервалу дорівнює величині попереднього).

 

Таблиця 2 Розподіл душ за розміром прирізки в Бєльському повіті Смоленської губернії.
Размір прирізки xi Кількість душ, до ділянок яких зроблені прирізки ni, %
До 10 11-20 21-30 31-40 41-50 Більш 50 24,5 26,7 19,3 9,7 5,8 14,0
Разом 100,0

 

Рис.2. Полігон частот

 

Як уже відзначалося, для інтервального ряду також можна побудувати полігон розподілу. Для цього за значення ознаки приймають середини інтервалів і для отриманого дискретного ряду звичайним способом будують полігон. Результати такої побудови зображені на рис 2.

 

Основні поняття

 

Статистичною гіпотезою називається будь-яке припущення щодо виду або параметрів невідомого розподілу.

Розрізняють прості й складні статистичні гіпотези. Простою називають гіпотезу, яка містить тільки одне припущення. Наприклад, якщо l - параметр показникового розподілу, то гіпотеза  – проста.

Складною називають гіпотезу, що складається з скінченого або нескінченного числа простих гіпотез. Наприклад, гіпотеза  складна та складається з незліченної множини простих гіпотез , де  - будь-яке число більше 5.

Гіпотезу, що перевіряють, називають нульовою (або основною) і позначають . Альтернативною ( або конкуруючою) називають гіпотезу , що є логічним запереченням  і яку ми приймаємо, якщо відкидаємо основну гіпотезу.

Приклад. Нехай Н0 полягає в тому, що математичне сподівання генеральної сукупності а = 3. Тоді ймовірні варіанти Н1: а) а≠3; б) а>3; в) а<3.

При перевірці гіпотез можуть виникнути помилки двох видів. Помилка першого роду полягає в тому, що буде відкинута гіпотеза , коли вона вірна.

Ймовірність помилки першого роду позначають a і називають рівнем значущості критерію.

Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята гіпотеза , коли вона невірна. Ймовірність цієї помилки позначають b .

Ймовірність 1-b  не припуститися помилки другого роду, тобто відкинути гіпотезу , коли вона невірна, називається потужністю критерію. Чим більше потужність критерію, тим менше ймовірність помилки другого роду.

Яка з помилок є на практиці більш небезпечною, залежить від конкретної задачі. Наприклад, якщо перевіряється правильність вибору методу лікування хворого, то помилка першого роду означає відмовлення від правильної методики, що може сповільнити лікування, а помилка другого роду (застосування неправильної методики) чревата погіршенням стану хворого і є більш небезпечної.

Для перевірки нульової гіпотези використовують спеціально підібрану випадкову величину, яку називають статистичним критерієм.

Спостережуваним значенням критерію називається значення критерію, що обчислюється за вибіркою.

Після вибору статистичного критерію множину всіх його можливих значень розбивають на дві області, які не перетинаються. Це область відхилення нульової гіпотези та область прийняття цієї гіпотези. Критичною областю називається сукупність значень критерію, при яких нульову гіпотезу відкидають. Областю прийняття гіпотези називається сукупність значень критерію, при яких нульову гіпотезу приймають.

Основний принцип перевірки статистичних гіпотез: якщо спостере жуване значення критерію належить критичній області, гіпотезу відкидають; якщо спостережуване значення належить області прийняття гіпотези - гіпотезу приймають.

Отже, процес перевірки гіпотези складається з наступних етапів:

1. Вибирається статистичний критерій ДО.

2. Обчислюється його значення, що спостерігається, Кнабл по наявній вибірці.

3. Оскільки закон розподілу ДО відомий, визначається (за відомим рівнем значимості α) критичне значення kкр, що розділяє критичну область й область прийняття гіпотези (наприклад, якщо р(ДО > kкр) = α, то праворуч від kкр розташовується критична область, а ліворуч – область прийняття гіпотези).

4. Якщо обчислене значення Кспост попадає в область прийняття гіпотези, то нульова гіпотеза приймається, якщо в критичну область – нульова гіпотеза відкидається.

Розрізняють різні види критичних областей:

· правобічну критичну область, обумовлену нерівністю K > kкр ( kкр > 0);

· лівосторонню критичну область, обумовлену нерівністю K < kкр ( kкр < 0);

· двосторонню критичну область, обумовлену нерівностями K < k1, K > k2 (k2 > k1).

Потужністю критерію називають імовірність потрапляння критерію в критичну область за умови, що вірна конкуруюча гіпотеза. Після вибору рівня значимості варто будувати критичну область так, щоб потужність критерію була максимальною.

 

Критерій Колмогорова

 

Критерій призначений для зіставлення двох розподілів: а) емпіричного з теоретичним; б) одного емпіричного розподілу з іншим емпіричним розподілом.

Критерій дозволяє знайти точку, у якій сума накопичених розбіжностей між двома розподілами є найбільшої й оцінити вірогідність цієї розбіжності. Найчастіше застосуються для перевірки простої гіпотези Н0 про те, що незалежні однаково розподілені випадкові величини Х1, Х2, …, Хп мають задану безупинну функцію розподілу F(x).

Гіпотези:

 розходження між двома розподілами недостовірні;

 розходження між двома розподілами достовірні (судячи з точки максимально накопиченої розбіжності між ними).

Обмеження критерію. Критерій вимагає досить великої вибірки при зіставленні двох емпіричних розподілів (більше чи дорівнює 50). При зіставленні емпіричного розподілу з теоретичним допускається n більше чи дорівнюючі 5.

Алгоритм розрахунку абсолютної величини різниці d між емпіричним і рівномірним розподілами.

1.  Занести в таблицю найменування розрядів і відповідні їм емпіричні частоти (перший стовпець).

2. Підрахувати відносні емпіричні частоти для кожного розряду за формулою: , де:  – емпірична частота по даному розряду, n – загальна кількість спостережень. Занести результати в другий стовпець.

3. Підрахувати накопичені емпіричні частоти за формулою:

,

де  – частота, накопичена на попередніх розрядах;

j – порядковий номер розряду;

 – емпірична частота даного j-го розряду.

Занести результати в третій стовпець таблиці.

4.  Підрахувати накопичені теоретичні частоти для кожного розряду за формулою:

,

де:  – теоретична частота, накопичена на попередніх розрядах;

j – порядковий номер розряду;

 – теоретична частота даного розряду. Занести результати в четвертий стовпець таблиці.

5. Обчислити різниці між емпіричними й теоретичними накопиченими частотами за кожнім розрядом.

6. Записати в п'ятий стовпець абсолютні величини отриманих різностей (без обліку їхнього знака). Позначити їх як d.

7. Визначити по п'ятому стовпці найбільшу величину різниці .

8. Обчислити величину . Виходячи з таблиць, визначити при заданому рівні надійності  зі співвідношення  табличне значення критерію . Якщо отримане емпіричне число  перевищують критичне  – розходження достовірні.

ПРИКЛАД 9. Визначити параметри емпіричного й теоретичного розподілів та за допомогою критерію Колмогорова оцінити близькість емпіричного розподілу до нормального при рівні значимості .

Вихідні дані дано втаблиці.

Таблиця 12

306- 311 311- 316 316- 321 321- 326 326- 331 331- 336 336- 341 341- 346 346- 351 351- 356
19 34 38 33 38 17 11 6 2 2

 

За допомогою методу умовних моментів визначаємо середню величину  і середньоквадратичне відхилення . Розрахунки представлені в наступній таблиці

Таблиця 13

Середина інтервалу
306-311 311-316 316-321 321-326 326-331 331-336 336-341 341-346 346-351 351-356 19 34 38 33 38 17 11 6 2 2 308,5 313,5 318,5 323,5 328,5 333,5 338,5 343,5 348,5 353,5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 -76 -102 -76 -33 0 17 22 18 8 10 304 306 152 33 0 17 44 54 32 50
Разом 200     -212 992

Умовні моменти

Вибіркові середня і середньоквадратичне відхилення

 

Розрахуємо теоретичні частоти (див. наступну таблицю). Для цього визначаємо нормовані відхилення  (графа 4), по додатку встановлюємо значення функції  (графа 5), розраховуємо теоретичні частоти по формулі

За даними розглянутого приклада

Таблица 1 4

Уточ-нена

теор. частота

Накопичена

частота

Фак-тична Теоре-тична
296-301 301-306 306-311 311-316 316-321 321-326 326-331 331-336 336-341 341-346 346-351 351-356 - - 19 34 38 33 38 17 11 6 2 2 -24,7 -19,7 -14,7 -9,7 -4,7 -0,3 5,3 10,3 15,3 20,3 25,3 30,3 -2,52 -2,01 -1,50 -0,99 -0,48 -0,03 -,54 1,05 1,56 2,07 2,58 3,10 0,0167 0,0529 0,1296 0,2444 0,3565 0,3988 0,3448 0,2299 0,1182 0,0468 0,0143 0,0033 - - 13 25 36 41 35 24 12 5 1 - 2 6 13 25 36 41 35 24 12 5 1 - - - 19 53 91 124 162 179 190 196 198 200 2 8 21 46 82 123 158 182 184 199 200 200 2 8 2 7 9 1 4 3 4 3 2 0

 

З огляду на те, що теоретичні частоти можуть бути тільки цілими числами, округляємо їх і знаходимо суму, що дорівнює 192. Таким чином, має місце розбіжність сум теоретичних частот (192) і фактичних (200). У даному випадку така розбіжність може бути пояснено відмінністю крайніх теоретичних частот від нуля. Тому теоретичну криву треба продовжити. У нашому прикладі нормальна крива може бути продовжена убік від'ємних відхилень від середньої. Робимо розрахунок теоретичних частот для перших двох інтервалів і одержуємо значення частот, що дорівнюють 2 і 6. Далі визначаємо накопичені фактичні й теоретичні частоти. Розраховуємо різницю між ними й встановлюємо максимальну розбіжність  (п'ятий інтервал). Обчислюємо величину

 

За даними таблиці додатка знаходимо при рівні значимості 0,05

 табличне значення критерію . Так як  (0,636<1,36), то гіпотеза про нормальний розподіл досліджуваної ознаки приймається.

 

 

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

 

ЗАДАЧА 1. Задано вибірку, що отримана для дискретної випадкової величини. Обробивши її, побудувати:

1) варіаційний ряд;

2) статистичний розподіл вибірок у частотах і відносних частотах;

3) полігон частот;

4) знайти чисельні характеристики вибірки:

· вибіркову середню

· статистичні моду Мо і медіану Ме

· статистичні дисперсію  і середньоквадратичне відхилення

№1

12 6 8 10 4 9 8 12 9 12 8 7 14 7 16 5 11 7 4 5 8 5 8 4 7 9 9 6 9 5

 

№2

2 4 8 5 9 3 5 9 4 10 15 9 5 10 5 7 7 12 8 6 13 9 5 11 9 13 11 12 8 4

 

№3

5 10 7 7 8 10 13 7 10 5 7 10 10 11 9 16 12 10   7 5 13 7  12 6 13 12 13 12 8 14

 

№4

13 19 8 12 15 15 13 12 17 13 17 15 19 14 13 15 13 18 13 8 8 9 14 16 9 14 19 15 12 11

 

№5

8 10 8 8 7 5 3 6 9 6 9 8 8 4 15 5 7 4 10 10 5 3 6 11 7 6 9 8 11 11

 

 

№6

3 0 1 1 2 2 2 0 1 1 1 1 0 4 3 1 1 3 3 1 2 1 1 3 4 3 3 2 2 2

 

№7

2 3 1 4 3 1 1 2 1 2 3 4 1 4 3 5 3 4 1 2 5 4 2 4 4 3 3 4 5 4

 

№8

2 2 1 1 3 1 3 2 0 2 3 3 2 1 1 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 3 3

 

№9

3 2 3 4 2 2 2 3 2 1 3 1 2 2 2 1 2 1 4 2 3 3 3 1 1 2 4 2 3 2

 

№10

3 2 1 3 1 2 1 1 4 2 1 3 3 4 2 2 2 4 3 1 1 4 3 3 1 0 3 2 3 4

 

ЗАДАЧА 2. Задано вибірку, отримана для безупинної випадкової величини, Обробивши її, побудувати:

1) варіаційний ряд.

2) виконати інтервальну угруповання даних.

3) побудувати гістограму відносних частот.

4) знайти чисельні характеристики вибірки:

· вибіркову середню

· статистичні моду Мо і медіану Ме

· статистичні дисперсію  і середньоквадратичне відхилення .

№1

1,65 7,86 6,96 4,95 1,88 0,23 0,39 5,16 0,71 5,56 0,73 23,92 3,01 6,79 3,49 1,11 8,72 24,08 0,62 2,06 7,93 4,96 6,67 2,57 0,98 12,32 1,65 3,03 7,32 0,42

 

№2

7,43 6,44 17,77 7,74 19,52 5,97 4,75 31,92 4,27 39,68 1,37 17,13 3,31 0,55 1,01 6,83 1,31 6,45 0,69 3,56 9,15 9,89 2,10 9,46 1,67 0,08 0,44 6,25 0,90 9,30

 

№3

0,16 0,77 6,57 0,61 9,10 26,43 6,73 0,86 8,44 0,91 2,56 3,41 13,74 3,99 1,77 18,34 6,16 1,01 11,63 6,86 19,76 12,44 14,18 4,78 0,53 0,42 5,83 1,85 1,92 3,17

 

№4

12,93 26,27 3,21 11,19 0,87 4,66 11,37 14,37 18,65 10,07 50,78 19,96 12,64 3,04 0,73 16,04 2,81 23,90 1,74 27,30 20,94 28,65 22,97 6,65 35,39 5,19 24,64 0,31 2,60 9,54

 

№5

12,88 8,71 9,64 12,31 10,26 12,48 17,49 4,42 4,65 14,71 10,15  11,69 7,42 20,38 13,61 8,60 9,68 10,92 15,35 7,08 6,05 21,58 5,39 9,87 14,28 6,23 8,94 19,51 3,61 10,18

 

№6

0,40 1,75 0,47 1,57 2,07 0,73 3,86 5,27 0,43 2,25 2,05 1,50 1,23 3,67 1,34 1,54   2,49 1,15 0,67 1,31 1,95 1,77 0,50 0,49 0,40 1,94 0,91 8,60 1,91 3,59

 

№7

1,50 0,93 1,40 0,41 0,54 0,47 5,19 1,04 0,31 1,56 0,52 0,61 2,04 1,15 1,20 1,43 0,71 1,32 0,90 0,72 0,85 0,56  1,98 0,50 0,71 0,32 0,38 0,36 0,56 2,17 1,44

 

№8

-3,29 0,18 4,02 11,38 5,74 9,11 11,17 0,44 9,79 -0,27 -5,55 2,37 6,66 -2,12 3,99 0,67 -1,74 3,69 1,65 3,61 7,72 5,13 5,87 8,62 1,39 4,00 1,67 3,37 7,29 0,62

 

№9

3,63 9,34 15,16 -6,46 -13,19 -7,92 7,06 12,34 14,46 -15,45 11,51 1,62 15,04 -7,90 -6,04 8,35 11,70 4,69 -3,47 0,44 -4,24 3,57 14,35 7,89 5,56 14,43 5,56 6,76 -4,17 3,01

 

№10

-5,52 13,13 -14,81 21,07 13,98 8,87 -0,63 9,14 7,35 -2,35 5,98 16,67 13,92 21,64 0,18 -0,62 8,72 13,94 2,72 13,74 -0,96 18,34 7,88 0,13 -8,66 16,50 27,44 -6,34 -0,34 18,58

 

ЗАДАЧА 3. Задано вибірку, Необхідно:

1) побудувати статистичну функцію розподілу . Записати її аналітичне вираження. Побудувати графік.

2) виконати інтервальну оцінку параметрів розподілу:

· Математичного сподівання ,

· Середньоквадратичного відхилення

(Довірчу імовірність  прийняти рівної 0,95)

 

№1

2 5 7 9 11 13 17
11 15 9 13 25 17 10

 

№2

12 14 18 21 25 27 31
10 15 22 31 24 14 9

 

№3

1 3 7 9 11 14 21
36 32 21 19 15 22 34

 

№4

3 5 6 8 11 12 15
22 31 24 23 28 32 19

 

№5

2 5 7 9 13 16 18
18 14 13 19 22 34 45

 

№6

1 4 5 8 10 13 15
34 43 25 29 34 28 30

 

№7

4 5 7 8 9 11 13
21 23 24 19 17 22 25

 

№8

4 6 8 12 14 15 17
11 12 9 16 19 21 15

 

№9

1 3 5 9 11 14 17
24 25 33 21 17 15 22

 

№10

2 3 4 6 7 9 10
34 31 27 24 22 17 13

 

ЗАДАЧА 4. Задано вибірку, отримана для безупинної випадкової величини X. Обробивши її, записати гіпотезу про вид закону розподілу. Перевірити гіпотезу, використовуючи критерій Пірсона

№1.

(2;4) (4;6) (6;8) (8;10) (10;12) (12;14) (14;16)
49 35 24 17 9 5 1

 

№2.

(0;3) (3;6) (6;9) (9;12) (12;15) (15;18) (18;21)
13 8 12 10 9 11 10

 

№3.

(0;5) (5;10) (10;15) (15;20) (20;25) (25;30) (30;35)
2 16 34 35 31 13 1

 

№4.

(1;3) (3;5) (5;7) (7;9) (9;11) (11;13) (13;16)
65 50 37 21 12 4 2

 

№5.

(0;4) (4;8) (8;12) (12;16) (16;20) (20;24) (24;28)
37 43 34 41 45 39 42

 

№6.

(-1;1) (1;3) (3;5) (5;7) (7;9) (9;11) (11;13)
4 12 24 37 19 9 2

 

№7.

(-6;-3) (-3;0) (0;3) (3;6) (6;9) (9;12) (12;15)
44 25 18 11 4 2 1

 

№8.

(-5;-1) (-1;3) (3;7) (7;11) (11;15) (15;19) (19;23)
4 16 28 35 31 19 6

 

№9.

(2;4) (4;6) (6;8) (8;10) (10;12) (12;14) (14;16)
27 31 29 33 30 24 22

 

№10.

(0;3) (3;6) (6;9) (9;12) (12;15) (15;18) (18;21)
3 8 22 43 29 11 5

ЗАДАЧА 5. Задано вибірку, що отримана для дискретної випадкової величини X. Перевірити гіпотезу про вид закону розподілу, використовуючи критерій Пірсона (a = 0,05).

№1. Розподіл Пуассона.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 269 175 41 9 4 2

 

№2. Біноміальний розподіл.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 2 4 15 51 17 8

 

№3. Розподіл Пуассона.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 301 132 54 10 2 1

 

№4. Біноміальний розподіл.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 3 6 18 47 19 7

 

№5. Розподіл Пуассона.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 285 144 39 12 4 2

 

№6. Біноміальний розподіл.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 6 11 25 67 21 14

 

№7. Розподіл Пуассона.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 315 196 58 17 0 3

 

№8. Біноміальний розподіл.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 3 7 22 65 19 13

 

№9. Розподіл Пуассона.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 244 131 55 19 7 4

 

№10. Біноміальний розподіл.

 

xi 0 1 2 3 4 5
ni 3 7 22 64 19 11

 

ЗАДАЧА 7. За даними таблиці визначити параметри емпіричного й теоретичного розподілів і за допомогою критерію Колмогорова оцінити близькість емпіричного розподілу до нормального.

 

№1.

 

110- 115 115- 120 120- 125 125-130 130-135 135- 140 140- 145 145- 150 150-155
20 62 144 170 188 176 124 74 24

 

№2.

 

0- 20 20- 40 40- 60 60- 80 80- 100 100- 120 120- 140 140- 160 160- 180
30 80 200 400 470 360 180 50 25

 

№3.

 

6,65- 6,70 6,70- 6,75 6,75- 6,80 6,80- 6,85 6,85- 6,90 6,90- 6,95 6,95- 7,00 7,00- 7,05 7,05- 7,10
5 17 24 54 52 23 18 7 4

 

№4.

 

3,0- 3,6 3,6- 4,2 4,2- 4,8 4,8- 5,4 5,4 6,0 6,0- 6,6 6,6- 7,2 7,2- 7,8 7,8- 8,4
2 8 35 43 22 15 5 4 2

 

№5.

 

5- 10 10- 15 15- 20 20- 25 25- 30 30- 35 35- 40 40- 45 45- 50
7 8 15 18 19 14 10 6 3

 

№6.

 

2- 4 4- 6 6- 8 8- 10 10- 12 12- 14 14- 16 16- 18 18- 20
5 15 25 30 50 28 30 20 7

 

№7.

 

125- 175 175- 225 225- 275 275- 325 325- 375 375- 425 425- 475 475- 525 525- 575
12 24 28 28 20 16 15 12 12

 

№8.

 

2- 5 5- 8 8- 11 11- 14 14- 17 17- 20 20- 23 23- 26 26- 29
25 25 70 120 187 130 80 20 8

 

№9.

 

7- 9 9- 11 11- 13 13- 15 15- 17 17- 19 19- 21 21- 23 23- 25
40 60 75 95 125 88 80 50 37

 

№10.

 

2- 4 4- 6 6- 8 8- 10 10- 12 12- 14 14- 16 16- 18 18- 20
7 18 35 45 50 40 30 15 10

 

ЗАДАЧА 8. В таблицях наведено дані, що характеризують залежність змінної y від змінної x . На підставі цих даних: а) знайти вибіркове рівняння лінійної регресії, що описує кореляційну залежність y від x; б) обчислити вибіркові коефіцієнти кореляції й детермінації.

№1

 

Y

X

4 9 14 19 24 29
20 1 8 - - - -
30 - 9 3 - - -
40 - 4 5 46 - -
50 - - - 6 8 -
60 - - - - 4 6

 

№2

 

Y

X

10 15 20 25 30 35
6 3 5 4 - - -
8 - 2 1 3 - -
12 - 4 40 8 - -
16 - - - 5 7 5
20 - - - - 7 10

 

№3

 

Y

X

6 12 18 24 30 36
4 4 1 3 - - -
9 - 5 9 - - -
14 - - 18 6 9 -
19 - - 4 3 10 -
24 - - - - 1 10

 

№4

 

Y

X

5 10 15 20 25 30
6 1 4 - - - -
10 - 5 9 - - -
14 - - 38 6 9 -
18 - - 4 3 10 -
22 - - - - 1 10

№5

 

Y

X

8 14 20 26 32 38
5 8 3 4 - - -
10 - - 11 38 - -
15 - - 6 1 4 -
20 - - - 7 1 -
25 - - - - 9 8

№6

 

Y

X

3 8 13 18 23 28
1 1 3 6 - - -
6 - 4 7 - - -
11 - - 50 9 1 -
16 - - 2 8 2 -
21 - - - 1 3 3

 

№7

 

Y

X

7 10 13 16 19 22
2 3 5 - - - -
4 - 15 9 - - -
6 - - 23 6 1 -
8 - - - 12 7 -
10 - - - - 14 5

 

№8

 

Y

X

2 7 12 17 22 27
20 4 1 3 - - -
30 - 5 6 - - -
40 - - 7 40 8 -
50 - - - 9 1 3
60 - - - - 9 4

 

№9

 

Y

X

10 20 30 40 50 60
1 2 2 3 - - -
6 - 4 4 5 - -
11 - - 40 11 21 -
16 - - - 1 2 3
21 - - - - - 4

 

№10

 

Y

X

1 4 7 10 13 16
9 7 3 - - - -
13 - 10 23 5 - -
17 - - 5 43 8 -
21 - - - - 9 6
25 - - - - - 6

 


 


ЛІТЕРАТУРА

1. Гмурман В.Е. Теория верностей и математическая статистика. Учебн. пособие для вузов. – 7-е издание – М.: Высш. шк., 1999. – 479 с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории верностей и математической статистике. Учебн. пособие для студ. вузов. – 5-е издание – М.: Высш. шк., 2000. – 400 с.

3. Ю.Д.Заворотнев, А.С.Крахмаль, Е.Б.Лещинский. Курс лекций по вероятностно-статистическим методам в психологи / Часть 1. Основы теории вероятностей и математической статистики // Учебное пособие. – Донецк: Норд-Пресс. – 275 с. 

4. Практикум з теорії ймовірностей та математичної статистики: Навч. посіб. для студ. вищ. навч. зал. / Р.К.Чорней, О.Ю.Дюженкова, О.Б.Жильцов та ін.; За ред. Р.К.Чорнея. – К.: МАУП, 2003. – 328 с.

5. Теория верностей и математическая статистика. Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш.Кремер, Б.А.Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фурман; Под ред.. проф. Н.Ш.Кремера. – М.: ЮНИТИ, 2000. – 407 с.

6. Жлуктенко B.I. Наконєчний С.І. Теорія ймовірностей із елементами математичної статистики. – К., УМКВО, 1991.

7. Жлуктенко B.I., Наконєчний C.I. Практикум з курсу "Теорія ймовірностей і математична статистика". – К.: КІНГ, 1991.

8. Заворотнєв Ю.Д., Крахмаль А.С., Маєвський B.C. Теорія ймовірностей. Навчальний посібник. Макіївка, 1996.

9. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: Наука, 1971.

 


 


ДОДАТОКИ

 

Таблиця 1. Значення функції

 

0,00  01  02 03 04 05 06 07 08 09 0,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0,20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 0,39894 39892 39886  39876  39862  39844  39822  39797  39767  39733 39695  39654  39608  39559  39505  39448  39387  39322  39253  39181 39104  39024  38940  38853  38762  38667  38568  38466  38361  38251 38139  38023  37903  37780  37654  37524  37391  37255  37115  36973 0,40 41  42  43  44  45  46  47  48  49 0,50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 0,60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 0,70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 0,36827  36678  36526  36371  36213  36053  35889  35723  35553  35381 35207  35029  34849  34667  34482  34494  34105  33912  33718  33521 33322  33121  32918  32713  32506  32297  32086  31874  31659  31443 31225  31006  30785  30563  30339  30114  29887  29659  29430  29200 0,80  81  82  83   84  85  86  87  88  89 0,90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 1,00  01  02  03  04  05  06  07  08  09 1,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0,28969  28737  28504  28269  28034  27798  27562  27324  27086  26848 26609  26369  26129  25888  25647  25647  25164  24923  24681  24439 0,24197  23955  23713  23471  23230  22988  22747  22506  22265  22025 21785  21546  21307  21069  20831  20594  20357  20121  19886  19652 1,20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 1,30  31  32  33 34  35  36  37  38  39 1,40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 1,50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 0,19419  19186  18954  18724  18494  18265  18637  17810  17585  17360 17137  16915  16694  16474  16256  16038  15822  15608  15395  15183 14973  14764  14556  14350  14146  13943  13742  13542  13944  13147 0,12952  12758  12566  12376  12188  12001  11816  11632  11450  11270 1,60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 1,70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 1,80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 1,90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 0,11092  10915  10741  10567  10396  10226  10059  09893  09728  09566 09405  09246  09089  08933  08780  08628  08478  08329  08183  08038 07895  07754  07614  07477  07341  07206  07074  06943  06814  06687 06562  06438    06316  06195  06077  05959  05844  05730  05618  05508 2,00  01  02  03  04  05  06  07  08  09 2,10  11  12  13  14 2,15  16  17  18  19 2,20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 2,30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 0,05399    05292  05186  05082  04980  04879  04780  04682  04586  04491 04398  04307  04217  04128  04041  03955  03871  03788  03706  03626 03547  03470  03394  03319  03246  03174  03103  03034  02965  02898 02833  02768  02705  02643  02582  02522  02463  02406  02349  02294

 

 


Продовження таблиці 1 значень функції

2,40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 2,50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 2,60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 0,02239 02186 02134 02083 02033 01984 01936 01888 01842 01797 01750 01709 01667 01625 01585 01545 01506 01468 01431 01394 01358 01323 01289 01256 01223 01191 01160 01130 01100 01071 2,70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 2,80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 2,90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 0,01042 01014 00987 00961 00935 00909 00885 00861 00837 00814 00792 00770 00748 00727 00707 00687 00668 00649 00631 00613 00595 00578 00562 00545 00530 00514 00499 00485 00470 00457 3,00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 3,10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 3,20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 0,00443 00430 00417 00405 00393 00381 00370 00358 00348 00337 00327 00317 00307 00298 00288 00279 00271 00262 00254 00246 00238 00231 00224 00216 00210 00203 00196 00190 00184 00178 3,30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 3,40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 3,50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 0,00172 00167 00161 00156 00151 00146 00141 00136 00132 00127 00123 00119 00115 00111 00107 00104 00100 06097 00094 00090 00087 00084 00081 00079 00076 00073 00071 00068 00066 00063 3,60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 8,70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 3,80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 0,00061 00059 00057 00055 00053 00051 00049 00047 00046 00044 00042 00041 00039 00038 00037 00035 00034 00033 00031 00030 00029 00028 00027 00026 00025 00024 00023 00022 00021 00021 3,90 91 92 93 94 95 96 97 98  99 0,00020 00019 00018 00018 00017 00016 00016 00015 00014 00014

 

Таблиця 2. Значення функції

 

0,00  01  02  03  04  05  06  07  08  09 0,10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 0,20  21  22  23  24  25  26  27  28 29 0,30  31  32 33  34  35  36  37  38  39 0,00000  00399  00798  01197  01595  01994  02392  02790  03188  03586  03983  04380  04776  05172  05567  05962  06356  06749  07142  07535 07926  08317  08706  09095  09483  09871  10257  10642  11026  11409 11791  12172  12552  12930  13307  13683  14058  14431  14803  15173 0,40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 0,50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 0,60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 0,70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 0,15542  15910  16276  16640  17003  17364  17724  18082  18439  18793 19146  19497  19847  20194  20540  20884  21226  21566  21904  22240 22575  22907  23237  23565  23891  24215  24537  24857  25175  25490 25804  26115  26424  26730  27035  27337  27637  27935  28230  28524 0,80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 0,90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 1.00  01  02  03  04  05  06  07  08  09 1,10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 0,28814  29103  29389  29673  29955  30234  30511  30785  31057  31327 31594  31859  32121  32381  32639  32894  33147  33398  33646  33891 34134  34375  34614  34850  35083  35314  35543  35769  35993  36214 36433  36650  36864  37076  37286  37493  37698  37900  38100  38298 1,20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 1,30  31  32  33  34  35  36  37  38  39 1,40  41  42  43  44  45  46  47  48  49 1,50  51  52  53  54  55  56  57 58  59 0,38493  38686  38877  39065  39251  39435  39617  39796  39973  40147 40320  40490  40658  40824  40988  41149  41309  41466  41621  41774 41924  42073  42220  42364  42507  42647  42786  42922  43056  43189 43319  43448  43574  43699  43822  43943  44062  44179  44295  44408 1,60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 1,70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 1,80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 1,90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 0,44520  44630  44738  44845  44950  45053  45154  45254  45352  45449 45543  45637  45728  45818  45907  45994  46080  46164  46246  46327 46407  46485  46562  46638  46712  46784  46856  46926  46995  47062 47128  47193  47257  47320  47381  47441  47500  47558  47615  47670 2,00  01  02  03  04  05  06  07  08  09 2,10  11  12  13  14  15  16  17  18  19 2,20  21  22  23  24  25  26  27  28  29 2,30  31  32  33  34  35  36  37  38 39 47725  47778  47831  47882  47932  47932  48030  48077  48124  48169 48214  48257  48300  48311  48382  48422  48461 48500  48537  48574 48610  48645  48679  48713  48745  48778  48809  48840  48870  48899 48928  48956  48983  49010  49036  49061  49086  49111  49134  49158

 

Продовження таблиці 2 значень функції

 

2,40  41  42  43  44  45  46  47  48 49 2,50  51  52  53  54  55  56  57  58  59 0,49180  49202  49224  49245  49266  49286  49305  49124  49343  49361 0,49379  49396  49413  49430  49446  49461  49477  49492  49506  49520 2,60  61  62  63  64  65  66  67  68  69 2,70  71  72  73  74  75  76  77  78  79 0,49534  49547  49560  49573  49585  49598  49609  49621  49632  49643 0,49653  49664  49674  49683  49693  49702  49711  49720  49728  49736 2,80  81  82  83  84  85  86  87  88  89 2,90  91  92  93  94  95  96  97  98  99 0,49744  49752  49760  49767  49774  49781  49788  49795  49801  49807 0,49813  49819  49825  49831  49836  49841  49846  49851  49856  49861 3,0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 4,0 4,5   5,0 0,40865  49903  49931  49952  49966  49977  49984  49989  49993  49995 499968   499997   499999

 

 


Таблиця 3. Критичні точки розподілу

 


Таблиця 4. Значення функції Колмогорова.

 

1 2 3 4 5 6
    0,33 0,34 0,35 0,35 0,37 0,38 0,39 0,40 0,41 0,42 0,43 0,44 0,45 0,46 0,47 0,48 0,49 0,50 0,51 0,52 0,53 0,54 0,55 0,56 0,57 0,58 0,59 0,60 0,61 0,62 0,63 0,64 0,65 0,66 0,67 0,68 0,69 0,70 0,71 0,72 0,73 0,74 0,75 0,76 0,77 0,78 0,79 0,80 – – 0,0001 0,0002 0,0003 0,0005 0,0008 0,0013 0,0019 0,0028 0,0040 0,0055 0,0074 0,0097 0,0186 0,0160 0,0200 0,0247 0,0300 0,0361 0,0428 0,0503 0,0585 0,0674 0,0772 0,0876 0,0987 0,1104 0,1228 0,1357 0,1492 0,1632 0,1778 0,1927 0,2080 0,2236 0,2396 0,2558 0,2722 0,2888 0,3055 0,3223 0,3301 0,3560 0,3728 0,3896 0,4064 0,4230 0,4395 0,4559 0,81 0,82 0,83 0,84 0,85 0,85 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,92 0,93 0,94 0,95 0,96 0,97 0,98 0,99 1,00 1,01 1,02 1,03 1,04 1,05 1,06 1,07 1,08 1,09 1,10 1,11 1,12 1,13 1,14 1,15 1,16 1,17 1,18 1,19 1,20 1,21 1,22 1,23 1,24 1,25 1,26 1,27 1,28 1,29 1,30 0,4720 0,4880 0,5038 0,5194 0,5347 0,5497 0,5645 0,5791 0,5933 0,6073 0,6209 0,6343 0,6473 0,6601 0,6725 0,6846 0,6994 0,7079 0,7191 0,7300 0,7406 0,7508 0,7608 0,7704 0,7798 0,7889 0,7976 0,8061 0,8143 0,8222 0,8300 0,8374 0,8445 0,8514 0,8580 0,8644 0,8706 0,8765 0,8829 0,8878 0,8930 0,8981 0,9030 0,9076 0,9121 0,9164 0,9206 0,9245 0,9283 0,9319 1,31 1,32 1,33 1,34 1,35 1,36 1,37 1,38 1,39 1,40 1,41 1,42 1,43 1,44 1,45 1,46 1,47 1,48 1,49 1,50 1,51 1,52 1,53 1,54 1,55 1,56 1,57 1,58 1,59 1,60 1,61 1,63 1,65 1,80 1,85 1,90 1,95 2,00 2,05 2,10 2,15 2,20 2,25 2,30 2,35 2,40 2,50 3,00 0,9354 0,9387 0,9418 0,9448 0,9478 0,9505 0,9531 0,9557 0,9580 0,9603 0,9625 0,9646 0,9665 0,9684 0,9702 0,9718 0,9734 0,9750 0,9764 0,9778 0,9791 0,9803 0,9815 0,9826 0,9836 0,9846 0,9855 0,9864 0,9873 0,9880 0,9914 0,9938 0,9956 0,9969 0,9979 0,9985 0,9990 0,9993 0,9996 0,9997 0,9998 0,9998 0,9999 0,99995 0,99997 0,99998 0,99999 0,99999

 

Таблиця 5 . Значення

 

n

g

n

g

0,95 0,99 0,999 0,95 0,99 0,999
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2,78 2,57 2,45 2,37 2,31 2,26 2,23 2,20 2,18 2,16 2,15 2,13 2,12 2,11 2,10 4,60 4,03 3,71 3,50 3,36 3,25 3,17 3,11 3,06 3,01 2,98 2,95 2,92 2,90 2,88 8,61 6,86 5,96 5,41 5,04 4,78 4,59 4,44 4,32 4,22 4,14 4,07 4,02 3,97 3,92 20 25 30 35 40 45 50 60 70 80 90 100 120 ¥   2,093 2,064 2,045 2,032 2,023 2,016 2,009 2,001 1,996 1,991 1,987 1,984 1,980 1,960 2,861 2,797 2,756 2,720 2,708 2,692 2,679 2,662 2,649 2,640 2,633 2,627 2,617 2,576 3,883 3,745 3,659 3,600 3,558 3,527 3,502 3,464 3,439 3,418 3,403 3,392 3,374 3,291

 

 

Таблиця 6. Значення критерію Фішера (F-критерію) для рівню значимості p = 0,05. f1 – число ступіней свободи більшої дисперсії, f2 - число ступіней свободи меншої дисперсії

 

 

f 1

f 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15
1 161.45 199.50 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 245.95
2 18.51 19.00 19.16 19.25 19.30 19.33 19.35 19.37 19.38 19.40 19.43
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.70
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6.00 5.96 5.86
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.62
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.10 4.06 3.94
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.51
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.50 3.44 3.39 3.35 3.22
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.01
10 4.96 4.10 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.85
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.20 3.09 3.01 2.95 2.90 2.85 2.72
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3.00 2.91 2.85 2.80 2.75 2.62
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.53
14 4.60 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.70 2.65 2.60 2.46
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.90 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.40
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.35
17 4.45 3.59 3.20 2.96 2.81 2.70 2.61 2.55 2.49 2.45 2.31
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.27
19 4.38 3.52 3.13 2.90 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.23
2 0 4.35 3.49 3.10 2.87 2.71 2.60 2.51 2.45 2.39 2.35 2.20

 


 

 

Методичні вказівки

 

Методичні вказівки до виконання індивідуальних робіт з дисципліни “Теорія ймовірностей та математична статистика” для студентів спеціальності “Соціологія”. Частина 2.

 

 

Укладачі:  

 





ЗМІСТ

ВСТУП.. 4

Правила оформлення контрольної роботи.. 4

1. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОЇ СТАТИСТИКИ.. 5

1.1. Основні поняття. 5

1.2. Поняття оцінки характеристик генеральної сукупності. 8

1.3. Числові характеристики статистичного розподілу. 9

1.4. Метод добутків обчислення вибіркових середнього. 17

2. ПЕРЕВІРКА СТАТИСТИЧНИХ ГІПОТЕЗ. 18

2.1. Основні поняття. 18

2.2. Критерій для перевірки гіпотези про імовірність події 19

2.3. Критерій для перевірки гіпотези про математичне сподівання. 21

2.4. Критерій для перевірки гіпотези про порівняння двох дисперсій. 22

2.5. Критерій Пирсона для перевірки гіпотези про вид закону розподілу випадкової величини. 23

2.6. Критерій Колмогорова. 30

3. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ ТА РЕГРЕСІЙНИЙ АНАЛІЗ. 34

4. КОНТРОЛЬНА РОБОТА.. 38

5. ЛІТЕРАТУРА.. 50

6. ДОДАТОКИ.. 51


 


ВСТУП

 

У зв'язку зі специфікою навчального процесу студентів соціологічних спеціальностей актуальною є методична розробка за основними темами курсу “Теорія ймовірностей та математична статистика”, яка призначена для теоретичного і практичного вивчення. Знання, отримані при вивченні цього курсу необхідні студентам для освоєння спеціальних дисциплін.

Для закріплення вивченого теоретичного матеріалу, а також для набуття навичок і вмінь практичного використання отриманих знань, студентам пропонується виконати індивідуальну самостійну роботу за курсом.

Вибір варіанта здійснюється таким чином: беремо останню цифру номера з журналу і це Ваш варіант.

Робота, виконана не за своїм варіантом, не приймається.

Правила оформлення контрольної роботи

 

1) Контрольну роботу варто виконувати в окремому зошиті, залишаючи поля для зауважень рецензента.

2) У заголовку роботи потрібно зазначити таке: назву дисципліни, факультет, курс, група, прізвище студента, ім'я та по батькові, номер індивідуального плану. Заголовок роботи треба помістити на обкладинці зошита.

3) Перед розв’язанням кожної задачі потрібно записати цілком її умову.

4) Розв’язання задач варто викладати докладно, пояснюючи дії.

5) Наприкінці виконаної роботи необхідно перерахувати використану для виконання літературу.

Захист індивідуальної роботи проводиться у формі співбесіди за темою роботи.



Дата: 2019-02-02, просмотров: 601.