Основные формулы

Закон сохранения импульса материальной точки

Если на материальную точку не действуют силы или они компенсируют друг друга, то ее импульс сохраняется

 - импульс материальной точки.

Согласно основному уравнению динамики материальной точки равнодействующая всех этих сил  равна быстроте изменения импульса материальной точки:

,

где N – количество сил, действующих на материальную точку, i – номер силы,  - величина i- ой силы,  - скорость изменения импульса материальной точки.

При ,  и .

Закон сохранения импульса системы материальных точек

Если система содержит  тел, на которые действуют  сил, то основное уравнение динамики применительно к такой системе примет вид:

.

Основное уравнение динамики системы тел: сумма всех внешних сил, действующих на систему тел, равна скорости изменения суммарного импульса этой системы.

Система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой

, .

Закон сохранения момента импульса

Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:

,

где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А.

Модуль вектора момент импульса

где - угол между векторами  и ,  - плечо вектора   относительно точки О.

Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина  , равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси

.

Закон изменения момента импульса со временем имеет вид:

,

где - момент сил

Производная момента импульса относительно оси равна моменту сил относительно той же оси

.

Момент импульса замкнутой системы сохраняется:

Закон сохранения энергии

В замкнутой системе тел, где между телами действуют только консервативные силы, полная механическая энергия системы сохраняется

Примеры решения задач

1. Граната, летящая со скоростью =10 м/с, разорвалась на два

осколка. Больший осколок, масса которого составляла 0,6 массы всей гранаты, продолжал двигаться в том же направлении, но с увеличенной скоростью u =25 м/с. Найти скорость меньшего осколка.

Дано: =10 м/с   m u =25 м/с =?

Решение: Согласно закону сохранения импульса                            ,      ; м/с.   Ответ:  м/с.

2. Какую скорость  приобретает тележка (см. рисунок), если в нее соскользнет с ледяного холма камень?  Трением можно пренебречь.

Дано:                  Решение:

               Согласно закону сохранения импульса:

M                         ,      

m                Направление скоростей совпадает, тогда:      ,  

H                  , , следовательно,

’- ?

Движение камня прямолинейное равномерное. Согласно второму закону Ньютона уравнение движения запишется в виде:

.

В проекции на ось ox уравнение движения имеет вид:

,

Следовательно,

.

Ответ: .

3. Два железнодорожных вагона массами  и  медленно дви-

жутся в одну сторону со скоростями  и . Вагоны сталкиваются, и пружины буферов расталкивают их так, что удар можно считать упругим. Какова максимальная энергия W упругой деформации пружины?

Дано: W=?	Решение: В момент наибольшего сжатия пружины оба вагона имеют одинаковую скорость , которую можно найти из закона сохранения импульса:        Направление движения вагонов совпадает с направление оси ox:
Согласно закону сохранения энергии: где W – максимальная энергия деформации пружины. Отcюда следует . Ответ: .

4.  Шайба А массы m, скользя по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью v, испытала в точке О ( см. рис. ) упругое столкновение с гладкой неподвижной стенкой. Угол между направлением движения шайбы и нормалью к стенке равен . Найти: а) точки , относительно которых момент импульса  шайбы остается постоянным в этом процессе; в) модуль приращения момента импульса шайбы относительно точки О^’, которая находится в плоскости движения шайбы на расстоянии от точки О.

Решение:

Сила тяжести шайбы компенсируется силой реакции со стороны  поверхности, по которой она скользит: .  Момент силы, действующей на шайбу со стороны стены в момент удара будет равен нулю для всех точек на оси, перпендикулярной поверхности стены и проходящей через точку удара О, так как для этих точек радиус-вектор шайбы в момент удара и сила реакции со стороны стены параллельны друг другу.

Поэтому для всех этих точек , то  остается постоянным.

Момент импульса шайбы относительно точки О^’ непосредственно перед ударом равен

и направлен перпендикулярно плоскости скольжения шайбы вниз.

    Сразу после момент импульса шайбы меняет направление на противоположное, не изменяясь по величине и, поэтому, модуль приращения момента импульса будет равен

.

Ответ: а) Относительно всех точек на оси, перпендикулярной поверхности стены и проходящей через точку удара О;

б)

5. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) – одинакового радиуса 6 см и одинаковой массы 0,5 кг. Поверхности цилиндров окрашены одинаково. Как, наблюдая поступательные скорости цилиндров у основания наклонной плоскости, можно различить их? За какое время каждый цилиндр катится без скольжения с наклонной плоскости? Высота наклонной плоскости 0,5 м, угол наклона плоскости 30⁰, начальная скорость каждого цилиндра равна нулю.

Дано: R 1 = R 2 = R =6 см m =0,5 кг h=0 , 5 м   t 1 =? t 2 =?

Решение: В отсутствие трения систему можно считать замкнутой. Каждой из тел в начальный момент обладает потенциальной энергией . Затем она преобразуется в кинетическую энергию поступательного движения  и кинетическую энергию вращательного движения .

Таким образом, по закону сохранения полной механической энергии имеем . . Тогда Что позволяет определить скорость . Так как скатывание цилиндров происходит под действием постоянной силы, то , Отсюда с учетом указанных выше формул имеем . Таким образом, чем больше мемент инерции тела, тем больше и вренмя скатывания. Так как для алюминиевого цилиндра  то Аналогично для свинцового (полого) цилиндра  Тогда Ответ: 0,78 с; 0,88 с.

6. Тело массой 1 кг скользит сначала по наклонной плоскости высотой 1 м и длиной склона 10 м, а затем по горизонтальной поверхности. Коэффициент трения на всем пути равен 0,05. Найти: а) кинетическую энергию тела у основания плоскости; б) скорость тела у основания плоскости; в) расстояние, пройденное телом по горизонтальной поверхности до остановки.

Дано: m =1 кг h =1 м l =10 м к=0,05 Ек=? v =? S=?

Решение:

По закону изменения полной механической энергии , где  - работа внешних сил. . В верхней точке , у основания Следовательно, т.е. потенциальная энергия тела при соскальзывании с наклонной плоскости переходит в кинетическую энергию и в работу против сил трения. ; . . а) б) в) Кинетическая энергия, которую имеет тело у основания наклонной плоскости, переходит в работу против сил трения на горизонтальной поверхности, т.е.  Отсюда Ответ:

Задачи для самостоятельного решения

1. Тело массой m=1 кг, движущееся горизонтально со скоростью =1 м/с, догоняет второе тело массой M=0,5 кг и неупруго сталкиваются с ним. Какую скорость получат тела, если: а) второе тело стояло неподвижно; б) второе тело двигалось со скоростью u=0,5 м/с в том же направлении, что и первое тело; в) второе тело двигалось со скоростью u=0,5 м/с в направлении, противоположном направлению движения первого тела. (Ответ: а) u=0,67 м/с; б) u=0,83 м/с; в) u=0,5 м/с).

2. Пушка массой M=800 кг выстреливает ядро массой m=10 кг с начальной скоростью =200 м/с относительно Земли под углом к горизонту. Какова скорость u отката пушки? Трением можно пренебречь. (Ответ: м/с).

3. Шар массой m, движущийся со скоростью , налетел на покоящийся шар массой  и после упругого удара изменил направление своего движения на угол . С какими скоростями движутся шары после удара? (Ответ:  под углом 30  к начальной скорости первого).

4. За счет чего увеличивается потенциальная энергия поднимающегося воздушного шара?

5. Груз массой 25 кг висит на шнуре длиной 2,5 м. На какую наибольшую высоту можно отвести в сторону груз, чтобы при дальнейших свободных колебаниях шнур не оборвался? Прочность шнура на разрыв 550 H. (Ответ: h=1,5 м).

6. Шарик массы m=1 кг бросили под углом 60⁰ к горизонту с начальной скоростью 36 км/ч. Найти модуль вектора момента импульса шарика относительно точки бросания в зависимости от времени движения. Вычислить L  в вершине траектории. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. (Ответ: ).

7. Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составаляющей угол 8⁰ с горизонтом,  а затем по горизонтальной поверхности. Найти коэффициент трения на всем пути, если известно, что тело проходит по горизонтальной поверхности то же расстояние, что и по наклонной плоскости до остановки. (Ответ: 0,06).

8. Камень брошен со скоростью 15 м/с под углом 60⁰  кинетическую, потенциальную и полную энергию камня: а) через 1 с после начала движения; б) в высшей точке траектории. (Ответ: 6,6 Дж; 15,9 Дж; 22,5 Дж б) 5,6 Дж; 16,9 Дж).