Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Основные формулы

Основной закон динамики (II закон Ньютона): . Если m=const, то , где  - ускорение, приобретаемое телом массой m под действием силы .

Равнодействующая всех сил равна .

Сила трения  где  - сила нормального давления, k – коэффициент трения.

Сила тяжести: .

Вес тела: , где m – масса тела, g – ускорение свободного падения.

Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой Авиитации , где  - гравитационная постоянная, R – расстояние между их центрами.

Сила, вызывающая упругую деформацию х, пропорциональна величине деформации, т.е.

где к- коэффициент деформации.

 

Примеры решения задач

Динамика материальной точки и тела движущегося поступательно

3.1. С какой силой давит на дно лифта человек массой 60 кг, если а) ускорение лифта направлено вверх и б) ускорение лифта направлено вниз? В обоих случаях ускорение равно 1 м/с².

Дано: m =60 кг  а=1м/с2  P -?

Решение: Движется человек вместе с лифтом относительно поверхности   Земли. Масса человека задана, масса лифта – нет, следовательно, при решении можно брать во внимание только человека. Со стороны Земли на человека действует сила тяжести; со стороны опоры (пола лифта) на человека действует сила реакции опоры. Выберем одномерную систему отсчета с осью Oy, направленной вверх.

 

                     

 

                                                                             

Уравнение в векторной форме: .

Согласно третьему закону Ньютона .

Найдем проекции векторов на ось Oy:

 

а). ;

Поскольку N = P, то , следовательно:

.

б). ,

.

Ответ: a). P=660 H; б). P=540 H.

 

2. Тело соскальзывает с наклонной плоскости без начальной скорости. Угол наклона плоскости к горизонту =30 , длина наклонной плоскости l =2 м, коэффициент трения тела о плоскость . С каким ускорением движется тело? Сколько времени длится соскальзывание?

 

Дано: =30    l =2 м a-? t-?

Решение: Обозначим все силы, действующие на тело.

 

                   

Согласно основному закону динамики можно записать уравнение движения тела: .

Выберем систему координат, запишем проекции векторов на оси Ox и Oy:

Ox: ; (1)

Oy: ;

  ;

  ; 

Из уравнения (1) выразим ускорение a:

;

.

Тело движется прямолинейно и равноускоренно, следовательно,

; т.к. =0 (согласно условию задачи «без начальной скорости»)

.

В общем виде выражение для времени запишется в виде:

.

.

Ответ: ; .

 

3. Тело массой m=0,5 кг движется прямолинейно, причем координата тела Х изменяется от времени как , где с=5 м/с² и d=1 м/с³. Найти силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения.

 

Дано:                    Решение:

m=0,5 кг             Отметим силы, действующие на т

  

с=5 м/с²

d=1 м/с³

y

-?                            

                                 

                               

Согласно основному закону динамики (II закону Ньютона) .

, где - действующие на тело силы. Выберем систему координат. Запишем проекции векторов на оси ox и oy:

Ox : ;

Oy :

Ускорение находится как вторая производная от координаты по времени:

 

.

Найдем силу F, действующую на тело в конце первой секунды движения: H.

Ответ: F =2 H.

 

4. К концам шнура, перекинутого через блок, подвешены грузы с массами m ₁ =100 г и m ₂=150 г. Найдите ускорение грузов, силу натяжения шнура Т и показание F динамометра, на котором висит блок.

 

Дано:           Решение:

m ₁ =100 г=0,1 кг Обозначим все силы, которые действуют на систему:

m ₂=150 г=0,1 кг

Т-?

F-?

                                       

 

Благодаря нерастяжимости шнура перемещения обоих грузов одинаковы по величине; значит, одинаковы по величине и их ускорения: . Пренебрегая массами шнура и блока, а также трением в блоке, можно считать силу Т натяжения шнура всюду одинаковой. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов:

;

Найдем проекции на ось y:

(1)

(2)
Вычтем из (1) уравнения (2), найдем ускорение:

Найдем натяжение шнура, для этого к (1) уравнения прибавим (2):

.

Для нахождения силы упругости F _упр пружины динамометра надо рассмотреть силы, действующие на блок:

                                                                                

                                         

Из условия равновесия блока получаем, что F _упр =2T=2,4 H.

Ответ: a =2 м/с², T =1,2 H , F _упр =2,4 H .

 

5. В показанной на рисунке системе , m ₁=2 кг, m ₂=1 кг. Коэффициент трения между первым грузом и наклонной плоскостью . Грузы опускают без начальной скорости. А). Найдите ускорение a системы грузов и силу натяжения нити T . Б). Как изменится ответ, если коэффициент трения станет равным 0,3?

 

 

Дано: m 1=2 кг m 2 =1 кг а) a -? T -? Б) a -? T -?

Решение: Рассмотрим движение каждого груза отдельно, указав предварительно все действующие на Аждый груз силы. Второй закон Ньютона для первого груза, т.е. его динамическое уравнение имеет вид: .

 

                          

     

Проецируя это уравнение на выбранные оси ОХ₁ и OY₁, получаем:

Из второго уравнения полученной системы находим, что

,

поэтому

.

Подставим значение силы трения в первое уравнение системы, имеем

, (1)

Запишем второй закон Ньютона для второго груза, проецируя его на ось OY₂:

, (2)

Сложим уравнения (1) и (2), учитывая, что , получим:

,

Откуда:

,

.

Из уравнения (2):

,

.

Б). ,

.

Ответ: а) а=0,42 м/с², T =9,58 H , б) а=0 м/с², T =9,8 H .

 

Задача 6. На двух параллельных пружинах одинаковой длины висит стержень, весом которого можно пренебречь. Коэффициенты деформации пружин равны соответственно  и . Длина стержня равна расстоянию между пружинами L =10 см. В каком месте стержня надо подвесить груз, чтобы стержень оставался горизонтальным?

 

Дано: L =10 см l 1 =? L 2 =?	Решение:
Чтобы система находилась в равновесии, т.е. чтобы стержень был в горизонтальном положении, необходимо выполнение двух условий: ,            (1) .               (2) В проекции на ось х уравнение (1) имеет вид: .                    (3) Отсюда .                (4) Моменты сил относительно точки А: . Тогда из уравнения (2) Учитывая решение (4), имеем . Так как , Ответ:

 

 

Динамика криволинейного движения материальной точки

Основные формулы

Второй закон Ньютона для вращательного движения материальной точки: , где линейная скорость,  - угловая скорость, R – радиус кривизны траектории в данной точке.

 

Примеры решения задач

7. Определить силу давления лыжника массой 70 кг на снег при равномерном движении со скоростью 20 м/с: а) на горизонтальном участке дороги; б) на середине вогнутого участка; в) на середине выпуклого участка. Радиус кривизны криволинейных участков 80 м. Силой трения пренебречь.

 

Дано: m= 70 кг =20 м/с R =80 м P-?

Решение: Во всех трех случаях на лыжника действуют две реальные  силы: сила тяжести и сила реакции опоры, которые направлены по вертикали в противоположные стороны. Динамическое уравнение движения в векторном виде: .

 

                       

Ось y направим вертикально вверх (рисунок а). Когда лыжник движется равномерно по горизонтальному участку, он не испытывает никаких ускорений в вертикальном направлении, тогда:

откуда

По третьему закону Ньютона лыжник действует на снег силой P , равной по величине N и противоположной ей по направлению, т.е.

.

Двигаясь равномерно по вогнутому участку (рисунок б), лыжник испытывает центростремительное ускорение, направленное по радиусу к центру окружности. В этом случае уравнение движения примет вид:

.

Отсюда, аналогично случаю а) найдем:

.

Двигаясь равномерно по выпуклому участку (рисунок в), лыжник, как и в случае б), испытывает центростремительное ускорение, направление по радиусу к центру окружности. Уравнение движения примет вид:

.

Отсюда, аналогично предыдущим случаям, найдем:

.

Ответ: а) , б) , в) .

 

8. Шарик, подвешенный на нити длиной l, равномерно движется по окружности в горизонтальной плоскости. При этом нить все время образует с вертикалью угол  (такую систему называют коническим маятником). Найдите период T  вращения шарика.

 

Дано:                   Решение:

l                 Обозначим все силы, которые действуют на тело

         Согласно второму закону Ньютона:   

T  =?          .

                   

Спроецируем это уравнение на выбранные направления oy и ox :

ox : , (1)

oy: .     (2)

Из треугольника АВС следует, что , следовательно, .

С другой стороны, , где . Тогда .

Разделим почленно уравнение (1) на (2):

При равномерном движении шарика по окружности его период вращения определяется следующим образом:

.

Подставим выражение для  в уравнение для T , получим:

.

Ответ: .

 

Задачи для самостоятельного решения

1. На однородный стержень длиной l действуют две растягивающие силы  и , приложенные к его концам. С какой силой F растянут стержень в сечении, находящемся на расстоянии x от точки приложения силы ? (Ответ: ).

2. На гладком столе лежат два связанных бруска массами и . К одному из них приложена горизонтальная сила F=2H/ Найдите силу T натяжения нити, если сила приложена: а). к первому бруску; б). ко второму бруску.

(Ответ: а) , б) ).

3. Тело соскальзывает с наклонной плоскости без начальной скорости. Угол наклона плоскости к горизонту , длина наклонной плоскости l =2 м, коэффициент трения тела о плоскость . С каким ускорением движется тело? Сколько времени длится соскальзывание? (Ответ: ).

4. Если наклонить доску под углом  к горизонту, кирпич будет двигаться по ней практически равномерно. За какое время t кирпич проедет всю доску, если наклонить ее под углом ? Длина доски равна l. (Ответ: ).

5. Через блок, укрепленной на ребре призмы, перекинута нить с грузами на концах. Найдите ускорение грузов а и силу натяжения нити Т.Трением можно пренебречь. (Ответ: ).

6. На наклонной плоскости с коэффициентом трения k лежит тело массой М .Нарисовать график зависимости силы трения, действующей на тело, в зависимости от угла наклона  наклонной плоскости. (Ответ: ).

7. Наклонная плоскость, образующая угол 25  с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время 2 с. Определить коэффициент трения о плоскость. (Ответ: ).

8. При падении тела с большой высоты его скорость при установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время, в течение которого , начиная с момента начала падения, скорость становится равной половине установленной. Силу сопротивления воздуха принять пропорциональной скорости тела. (Ответ: ).

9. К концам однородного стержня приложены две противоположно направленные силы: 40Н и 100Н. Определить силу натяжения стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в отношении 1:2. (Ответ: ).

10.  Грузы m ₁=1 кг и m ₂=2 кг движутся вдоль вертикальной оси с помощью системы одинаковых блоков и невесомой и нерастяжимой нити. С каким ускорением движется первое тело? (Ответ: ).

11.  Определить жесткость системы из двух пружин, если жесткость одной из них равна 2 кН/м, а другой – 6 кН/м: а) при их последовательном соединении, б) при их параллельном соединении (Ответ: 1,5 кН/м; 8 кН/м)

 

11. Шарик массой 200 г, подвешенный к потолку на нити длиной 1 м, описывает в горизонтальной плоскости окружность, имея при этом постоянную скорость. Определить скорость шарика и период его вращения по окружности, если нить составляет с вертикалью угол 60 . (Ответ: , ).

12. Космическая ракета летит на Луну. В какой точке прямой, соединяющей центры масс Луны и Земли, ракета будет притягиваться Землей и Луной с одинаковой силой? (Ответ: .)