Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Выберите тип работыЧасть дипломаДипломная работаКурсовая работаКонтрольная работаРешение задачРефератНаучно - исследовательская работаОтчет по практикеОтветы на билетыТест/экзамен onlineМонографияЭссеДокладКомпьютерный набор текстаКомпьютерный чертежРецензияПереводРепетиторБизнес-планКонспектыПроверка качестваЭкзамен на сайтеАспирантский рефератМагистерская работаНаучная статьяНаучный трудТехническая редакция текстаЧертеж от рукиДиаграммы, таблицыПрезентация к защитеТезисный планРечь к дипломуДоработка заказа клиентаОтзыв на дипломПубликация статьи в ВАКПубликация статьи в ScopusДипломная работа MBAПовышение оригинальностиКопирайтингДругое

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Основные формулы

Момент силы  относительно какой-нибудь оси вращения определяется формулой

где  - расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила.

Момент инерции сплошного однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра

,

где - радиус цилиндра, - его масса.

Момент инерции полого однородного цилиндра (обруча) относительно оси цилиндра

.

Момент инерции однородного шара радиуса относительно оси, проходящей через его центр,

.

Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его середину перпендикулярно его длине ,

.

Если для какого-либо тела известен его момент инерции относительно оси, проходящей через его центр тяжести, то момент инерции относительно любой оси, параллельной первой, может быть найден по формуле Штейнера

,

где - масса тела, - расстояние от центра тяжести тела до оси вращения.

Основной закон динамики вращательного движения при имеет вид

или ,

где  - угловое ускорение, приобретаемое телом под действием вращающего момента , - угловая скорость вращения тела.

Кинетическая энергия вращающегося тела

,

где - момент инерции тела, - его угловая скорость.

Примеры решения задач

1. Через неподвижный блок в виде однородного цилиндра массой m=160 г перекинута невесомая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁=200 г и m₂=300 г. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение a грузов; 2) силы натяжения T₁ и T₂ грузов.

 

Дано: m=160 г=0,16 кг m 1 =200 г=0,2 кг m 2 =300 г=0,3 кг a=? T1=? T2=?

Решение: Направим ось ox вертикально вниз, запишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекции на эту ось: , ,    и  неодинаковы, т.к. : за счет этого обеспечивается вращательный момент, действующий на блок.

 

                              

                          

Согласно основному закону динамики вращательного движения, вращающий момент, приложенный к цилиндру,

. (1)

С другой стороны:

, (2)

R – плечо силы, равное радиусу цилиндра.

По третьему закону Ньютона, с учетом невесомости нити имеем:

 и . Воспользовавшись этим и приравняв (1) и (2), получим:

,

где .

Получим,

.

м/с².

Зная a, найдем T₁ и T₂:

Подставив данные нам значения, найдем силы натяжения нити:

Ответ: м/с², T ₁ =2,3 H , T ₂ =2,44 H.

2. Однородный стержень длиной 1 м и массой 0,5 кг вращается в вертикальной плоскости вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину стержня. С каким угловым ускорением вращается стержень, если на него действует момент силы 98,1 мН∙м²

 

Дано: m=0,5 кг  1 м М = 98,1 мН∙м2 =?

Решение:   Запишем уравнение вращательного движения стержня в проекции на ось х: . Отсюда . Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину, . Тогда . Ответ: .

3. Шар массой 1 кг катится без скольжения, ударяется о стенку и откатывается от нее. Скорость шара до удара о стенку - 10 м/с, после удара – 8 м/с. Найти количество тепла, выделившееся при ударе шара о стенку.

 

Дано: m=1 кг v = 10 c м/с u =8 см/с Q=?

Решение: Будем считать, что движение происходит в горизонтальной плоскости. Обозначим через кинетическую энергию шара до удара. Она складывается из кинетической энергии поступательного движения  и кинетической энергии вращения :   Для шара момент инерции , а угловая скорость . Обозначим через кинетическую энергию шара после удара.  Аналогично , где . Тогда количество тепла Q  равно убыли кинетической энергии Ответ:

3. Горизонтальная платформа массой 100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы с частотой 10 об/мин. Человек массой 60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека – точечной массой.

Дано:

Решение:   Система «человек- платформа» замкнута в проекции на ось y, т.к. моменты сил тяжестей равны нулю, т.е. Следовательно, можно воспользоваться законом сохранения момента импульса. В проекции на ось

, где - момент инерции платформы с человеком, стоящим на ее краю; - момент инерции платформы с человеком, стоящим в центре,  - угловое ускорение платформы в случае, когда человек стоит на краю платформы; -угловое ускорение платформы в случае, когда человек стоит в центре платформы. Обозначим через R радиус платформы. Определим моменты инерции:   , . Также имеем: , . Подставляя их в предыдущие формулы, имеем Отсюда следует решение задачи: . Ответ: .

4. Имеются два цилиндра: алюминиевый (сплошной) и свинцовый (полый) – одинакового радиуса 6 см и одинаковой массы 0,5 кг. Найти моменты инерции этих цилиндров.

Дано: J1=? J2=?	Решение: Момент инерции алюминиевого цилиндра . Момент инерции свинцового цилиндра  где R 0 – внутренний радиус свинцового цилиндра. Найдем его.
Обозначим через  длины цилиндров, - плотность алюминия,  - плотность свинца. По условию массы обоих цилиндров равны. Поэтому . Отсюда . Тогда момент инерции свинцового цилиндра Ответ: ,

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Горизонтальная платформа массой m=100 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через центр платформы, с частотой =10 об/мин. Человек массой =60 кг стоит при этом на краю платформы. С какой частотой  начнет вращаться платформа, если человек перейдет от края платформы к ее центру? Считать платформу однородным диском, а человека точечной массой. (Ответ: об/мин).

2. Определите момент инерции сплошного однородного диска радиусом R=40 см и массой m=1 кг относительно оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. (Ответ:  J =0,12 кг’м²).

3. Шар радиусом R=10 см и массой m=5 кг вращается вокруг оси согласно уравнению  ( ). Определите момент сил M для t=3 c. (Ответ: ).

4. На однородный сплошной цилиндрический вал радиусом R=50 см намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массой m=6,4 кг. Груз, разматывая нить, опускается с ускорением a=2 м/с². Определите: 1) момент инерции J вала; 2) массу M вала. (Ответ: J=6,25 кг м², M=50 кг).

5. Через неподвижный однородный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой m=0,2 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами m₁=0,35 кг и m₂=0,55 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определить: 1) ускорение a грузов; 2) отношение сил натяжения нити. (Ответ: 1) м/с², =1,05).

6. Какую работу совершает человек при переходе от края платформы к ее центру в условиях задачи 4.3? Радиус платформы равен 1,5 м. (Ответ: (Ответ: А= 162 Дж).

7. Диск массой 2 кг катится без скольжения по горизонтальной плоскости со скоростью 4 м/с. Найти кинетическую энергию диска. (Ответ: Е_к= 24 Дж).

 

Работа и энергия

Основные формулы

Работа силы при перемещении тела может быть выражена следующей формулой , где  - проекция силы на направление пути, - величина участка пути. Интегрирование должно быть распространено на весь путь S. В частном случае постоянной силы, действующей под неизменным углом к перемещению, имеем

,

где  - гол между силой и перемещением.

Работа при упругой деформации определяется формулой

,

где k – коэффициент жесткости пружины.

Работа, совершаемая системой равна изменению энергии системы:

.

Полная механическая энергия системы тел равна сумме ее кинетической и потенциальной энергий:

.

,

.

.

 

Примеры решения задач

1. Какая минимальная работа А совершается при подъеме на крышу веревки длиной l=40 м и массой m=6 кг? В начальный момент вся веревка свешивалась вертикально с края крыши.

 

Дано:    l=40 м m =6 кг А=?

Решение: 1). В тот момент, когда длина вытянутой части веревки равна x, для равномерного подъема . Работа, совершаемая при изменении x от 0 до l, численно равна площади по графику F ( x ):

 

                          

;

 кДж.

2). Можно вычислить работу по подъему тела следующим образом:

,

- изменение высоты центра тяжести тела (в данном случае ).

Ответ:  кДж.

 

2. Камень массой М=10 кг поднимают на высоту h=10 м, прикладывая постоянную силу F=200 H. Какую работу совершает эта сила? Чему равно изменение потенциальной энергии ?

 

Дано:         М=10 кг         h =10 м F =200 H                                  =?

Решение: Камень при подъеме приобретает, помимо потенциальной энергии, кинетическую энергию , так что .             кДж  кДж. Ответ:  кДж.

 

3. Мяч радиусом 10 см плавает в воде т так, что его центр масс находится на 9 см выше поверхности воды. Какую работу надо совершить, чтобы погрезить мяч в воду до диаметральной плоскости?

Дано: R =10 c м Н=9 см А=?

Решение:

На рисунке указаны силы, действующие на мяч: - сила тяжести и - сила Архимеда. Мяч плавает, если эти силы равны, т.е. , . (1) Здесь  - объем шарового сегмента высотой h, находящегося в воде при равновесии, m- масса мяча. Очевидно, что Погрузим мяч в воду на глубину х под действием силы . Пусть при этом  - объем шарового сегмента высотой h +х, находящегося в воде при равновесии. Тогда результирующая сила, выталкивающая мяч из воды, будет , где сила Архимеда в этом случае имеет вид . Следовательно, . Здесь - объем шарового слоя высотой х, причем . Как видно из двух последних формул, сила является переменной от х, поэтому работа, которую надо совершить при погружении мяча до диаметральной плоскости будет Ответ: 0,74 Дж.

 

4. Найти работу, которую надо совершить, чтобы сжать пружину на 20 см, если известно, что сила сжатия пропорциональна сжатию и жесткость пружины 2,94 кН/м.

 

Дано: L =20 см ~ l k =2,94 кН/м A=?

Решение: Работа, совершаемая при сжатии пружины, определяется формулой Ответ:

 

6. Автомобиль массой 2 т движется в гору с уклоном 4м на каждые 100 м пути. Коэффициент трения - 0,08. Найти работу, совершаемую двигателем на пути 3 км, и мощность, развиваемую двигателем, если известно, что этот путь был пройден за время, равное 4 мин. 

Дано:  т	Решение:
В случае равномерного движения автомобиля . Тогда согласно второму закону Ньютона сила тяги двигателя ; . Работа силы F на пути S Мощность двигателя Ответ: ; .

 

Задачи для самостоятельного решения

1. Санки массой M =20 кг поднимают по гладкому склону на высоту h=2,5 м, прикладывая силу F=120 Н, направленную вдоль склона. Санки движутся с ускорением . Какую работу А совершает сила F при подъеме. Чему равно изменение потенциальной энергии  санок? Чему равна кинетическая энергия  санок на вершине горы? (Ответ: ).

2. Бассейн площадью S=100 м  заполнен водой до уровня h=2 м и разделен пополам подвижной вертикально перегородкой так, что она разделила площадь бассейна в отношении 1:3. Какую работу A пришлось при этом совершить? Вода не проникала через перегородку и не переливалась через край бассейна. (Ответ:  кДж).

3. Вагон массой m=20 т, двигаясь равнозамедленно с начальной скоростью =54 км/ч, под действием силы трения F=6 кH через некоторое время останавливается. Найти работу силы трения и расстояние, которое вагон пройдет до остановки. (Ответ: A _тр =2,25 МДж, S =375 м).

4. Шар диаметром 30 см плавает воде. Какую работу надо совершить, чтобы погрузить шар в воду на глубину 5 см глубже? Плотность материала шара 500 кг/м³.(Ответ: 0,84 Дж)

5. Какую мощность развивает двигатель автомобиля массой 1000 кг, если известно, что автомобиль едет с постоянной скоростью 36 км/ч: л) по горизонтальной дороге; б) в гору с уклоном 5 м на каждые 100м пути; в) под гору с тем же уклоном? Коэффициент трения равен 0,07.

(Ответ: 6,9 кВт, 11,8 кВт, 2 кВт).