Кодовая последовательность ЦК при заданной порождающей матрице Gk , n ( x ) и заданном информационном блоке Q ( x ) формируется по правилу , т. е. произведения вектора-строки Q ( x ), содержащего k информационных двоичных символов, на порождающую матрицу G ( x ) размером k×n. При этом, если используется каноническая (приведенно-ступенчатая) G ( x ), то будут формироваться кодовые последовательности систематического разделимого ЦК. Порождающая матрица G ( x ) строится довольно просто, если задан образующий полином Р(х) и длина кодовой последовательности п.
Пример: Сформировать кодовую последовательность ЦК с параметрами , если , Q(x)=x+1.
Переводим Р(х) из записи в форме полинома в двоичную форму записи, т.е. Далее формируем первую строку порождающей матрицы G5,10(х) следующим образом: двоичную последовательность 110101 дополняем справа четырьмя нулями; в результате получаем разрешенную кодовую последовательность вида 1101010000 длиной n=10 двоичных символов. Следующий шаг - выполнение (k-1)=(5-l)=4 циклических сдвига двоичных символов первой строки G ( x ).
В результате получаем следующую порождающую матрицу
F(x)=Q(x)*P(x)=(x+1)(x5+x4+x2+1)=x6+x5+x3+x+x5+x4+x2+1=x6+x4+x3+x2+x+1 (0001011111)
или
1101010000
0110101000
F(x)=Q(x)*G5,10(x)=00011* 0011010100 = 0001011111
0001101010
0000110101
Пример: Рассмотрим способ формирования кодовых последовательностей ЦК с использованием единичной матрицы и остатков от деления
Для рассмотрения сущности формирования кодовых последовательностей ЦК используем данные предыдущего примера.
Так как k = 5, то используем следующие единичные векторы:
Записываем Q 1 ( x )... Q 5 ( x ) в виде единичной подматрицы размером (5x5).
Далее определяем проверочные символы: каждой строки по следующей методике: делим и берем остатки от деления для первой строки – от первого такта деления, т.е. R 1 ( x ), для второй строки – после двух тактов деления, т. е. R 2 ( x ) и т. д. Полученные символы дописываем к соответствующим строкам единичной подматрицы:
10000 10101
01000 11111
F(x)=Q(x)*G5,10(x)=00011* 00100 01011 = 0001110000
00010 00011
00001 10011
Назначение и способы построения провероч ной матрицы циклического кода
Проверочные матрицы Hl , n ( x ) ЦК могут использоваться для выбора как способов кодирования информации, так и алгоритмов декодирования. Проверочные матрицы ЦК могут быть построены с использованием порождающей матрицы Gk , n ( x ), единичной матрицы проверок и проверочного полинома h ( x ).
Сущность способа построения проверочной матрицы Нl,n ( x ) c использованием канонической порождающей матрицы Gk,n(x) состоит в следующем.
Пусть задана следующая каноническая порождающая матрица ЦК с параметрами ( n , k , do )=(7,4,3) вида:
1000 101
G4,7(x) = 0100 111
0010 110
0001 011
Первый столбец проверочной матрицы Н3,7(х) для данного кода записываем, используя проверочные символы первой строки G 4,7 ( x ), а второй, третий и четвертый столбцы H 3,7 ( x ) формируем путем записи проверочных символов второй, третьей и четвертой строк G 4,7 ( x ) и далее записываем три столбца единичной подматрицы. В результате получаем следующую проверочную матрицу:
а1а2а3а4 b1b2b3
1110 100
H3,7(x) = 0111 010
1101 001
Ненулевые символы строк проверочной матрицы определяют позиции информационных символов, участвующие в формировании проверочных уравнений. Так для построенной проверочной матрицы H 3,7 ( x ) можно сформировать следующие три проверочных уравнения: b1= а1Åa2Åa3, b2= а2Åa3Åa4, b3= а1Åa2Åa4.
Принцип построения проверочной матрицы с использованием единичной подматрицы и остатков от деления аналогичен принципу построения порождающей матрицы. Количество остатков от деления хп+1 на Р(х) должно быть равно количеству строк единичной подматрицы.
Сущность принципа построения проверочной матрицы ЦК с использованием проверочного полинома h ( x ) состоит в следующем. Первоначально определяем проверочный полином как отношение хп+1 на Р(х), т.е. Полученный полином переводим в двоичную форму записи, записываем в виде первой строки проверочной матрицы Н l , k (х) и дополняем нулями до количества столбцов, равное п. Далее выполняем ( l -1) циклический сдвиг двоичных символов первой строки.
Пример: Построить проверочную матрицу ЦК с параметрами
Решение:
1) определяем проверочный полином
2) переводим h ( x ) в двоичную форму записи h(x) – 11101;
3) записываем 11101 в виде первой строки Н3,7(х) и дополняем справа двумя нулевыми символами до n=7;
4) выполняя (l-1)=(3-1)=2 циклических сдвига двоичных символов первой строки Н3,7(х) строим проверочную матрицу Н3.7(х) следующего вида:
Проверочные уравнения: b1= а1Åa2Åa3,
b2= а2Åa3Åa4,
b3= а3Åa4Åb1= а3Åa4Å а1Åa2Åa3= а1Åa2Åa4.
Способ формирования кодовых последователь ностей циклического кода с использованием образующего полинома
Данный способ формирования кодовых последовательностей ЦК находит широкое применение на практике в виду его существенной простоты. При построении ЦК с использованием образующего полинома Р(х) могут быть сформированы кодовые последовательности как систематических, так и несистематических кодов.
При формировании кодовых последовательностей несисте матического ЦК необходимо выполнить умножение передаваемого информационного блока Q ( x ) степени ( k -1) на порождающий полином P ( x ) с приведением по модулю два коэффициентов при слагаемых с одинаковыми показателями степеней. Таким образом, Fi ( x )= Q ( x )* P ( x ).
Пример: Сформировать кодовую последовательность несистематического ЦК с параметрами если
Решение:
1) выбираем информационный блок Q ( x ) следующего вида
2) формируем кодовую последовательность по правилу
F(x)=Q(x)*P(x)=(x4+x2+x)(x5+x4+x2+x+1)= x9+x8+x7+x6+x (1111000010)
В данной кодовой последовательности нет четкого деления на блоки информационных и проверочных символов.
Сущность построения систематического ЦК с использованием образующего полинома состоит в следующем:
1) передаваемый информационный блок из k двоичных символов представляется многочленом Q ( x ) степени ( k - l );
2) многочлен Q ( x ) умножается на член Р(х) с максимальной степенью xl = xn - k , т.е. Q ( x ) × xl , что эквивалентно приписыванию к Q ( x ) со стороны младших разрядов l = n - k нулевых двоичных символов (разрядов);
3) выполняется деление произведения Q ( x ) × xl на образующий полином Р(х) до получения остатка R(х) со степенью меньшей максимальной степени образующего полинома Р(х). Данный остаток R(х) представляет собой сформированные проверочные символы;
4) дописать остаток R(х) к произведению Q ( x )* xl . Следовательно, процесс формирования кодовой последовательности ЦК c использованием образующего полинома можно записать так:
Пример:. Сформировать кодовую последовательность систематического ЦК с параметрами ( n , k , do ) – (13,8,5).
Решение:
а) так как k=8, то выбираем информационный многочлен а максимальную степень образующего полинома принимаем равной l=n - k=13-8 =5. Выбираем табулированный образующий, полином вида Р(х)=х5+х3+1;
б) далее в соответствии с вышерассмотренными операциями получаем:
в) следовательно,
F(x) = Q(x)×xl +R(x) = х12+ х10+ х9+ х7+ х5+ х4+ х2 = 1011010110100.
Многотактные фильтры
Многотактный фильтр – устройство состоящее из некоторого числа элементов задержки и логических элементов, связанных между собой.
Значение выходного сигнала в некоторый момент t может зависеть от значения входного сигнала в этот момент, а также от значения входных и выходных сигналов в предшествующие моменты.
Многотактный фильтр называется линейным, если отклик фильтра на сумму входных сигналов равен сумме откликов на каждый из входных сигналов в отдельности.
Многотактные фильтры являются синхронными устройствами, т.к. значения всех запоминаемых символов изменяются в один и тот же момент t, называемый тактом, т.е. фиксированный отрезок t, на который элементы задержки задерживают поступающий на вход сигнал, следовательно, выходной сигнал элемента задержки на i-ом такте совпадает с входным на (i-1) такте (предыдущем).
С помощью многотактных линейных фильтров производится:
1. вычисление остатков от деления,
2. умножение сообщения на образующий полином.
Многотактный фильтр, имеющий один вход и один выход и не имеющий цепи обратной связи, производит операцию умножения.
На рисунке приведен пример структурной схемы умножения информационного полинома (на схеме обозначен А(х)) на порождающий полином (на схеме обозначен S(х)). На рисунке а приведена схема с вынесенными сумматорами, а на рисунке б со встроенными.
Рис. Структурные схемы для умножения полинома на полином
Многотактный фильтр, имеющий один вход и один выход, а также цепь обратной связи, выполняет операцию деления полиномов.
На рисунке приведен пример структурной схемы для деления на порождающий полином S(х). Схема для выполнения деления может быть, как и для умножения, реализована в двух вариантах: на регистрах с вынесенными сумматорами (рис. а) и встроенными сумматорами (рис. б)
Рис. Структурные схемы для деления на многочлен S ( x )=1+ x + x 4
Дата: 2018-12-28, просмотров: 656.