Важнейшим недостатком систематических линейных блоковых кодов (СЛБК) является высокая трудоемкость их построения при длине кодо­вой последовательности n≥31 двоичный символ и коррекции ошибок кратностью t_oш≥3 двоичных символа. Поиск более про­стых принципов построения СЛБК привел к открытию нового широкого класса групповых линейных блоковых кодов, полу­чивших название циклических кодов (ЦК).

Циклические коды являются подклассом в классе линейных блоковых кодов. Свое название коды получили из-за основной операции построения кодовых последовательностей ( F_i ( x )) – циклического сдвига (перестановки) двоичных символов разрешенных кодовых последовательностей.

Циклическим кодом называется линейный блоковый код, который представляет собой конечное множество, замкнутое относительно операции циклического сдвига кодовых последовательностей, образующих данный код.

Кодовую последовательность ЦК в общем виде можно записать так:

где х - формальная переменная,

п-1, п-2 ,..., 1, 0 — показатели степеней, в которые возво­дятся основания кодов, и одновременно порядковые номера, ко­торые занимают двоичные символы (разряды) кодовой последовательности, начиная со старшего и заканчивая нулевым;

c_i - коэффициенты формальной переменной, которые могут принимать значения или быть равными логической 1 (ненулевой член F_i ( x )) или логического 0 (нулевой член F_i ( x )). Например,

Представление кодовых последовательностей в виде полиномов позволяет установить однозначное соответствие между ними и свести действия над кодовыми последовательностями к действиям над полиномами: умножение, сложение, деление и вычитание этих полиномов производится по обычным правилам алгебры, но коэффициенты С одинаковыми степенями х суммируются по модулю два.

Уточним сущность понятия циклического сдвига или циклической перестановки двоичных символов кодовой после­довательности.

Пусть  то циклический сдвиг на один разряд дает  Чтобы степень новой кодовой последовательно­сти Fi ( x ) не превышала (п-1), член с_п-1х^п заменяется единицей, поэтому

Например, пусть  при n =7 двоичных символов. (Заметим, что запись кодовой последова­тельности в виде многочлена, а затем перевод ее в двоичную форму записи, не всегда определяет длину кодовой последова­тельности n. Например, при п=5, многочлен F ( x ) = х²+1=101, т.е. n=3, что неверно. В таких случаях надо дописать старшие нулевые символы, т.е. F ( x )= x ² +1=00101, что дает п=5 двоич­ным символам).

Сдвигаем F ( x ) на один разряд (символ) влево, и получаем F ( x ) =1011100=х⁶+ х⁴+ х³+х². Очевидно, что x^l ( x ⁵ + x ³ + x ² + x )= x ⁵ + x ⁴ + x ³ + x ² . Отсюда вытекает второе определение ЦК, а именно, циклический код – это код, для которого циклический сдвиг двоичных символов разрешенной кодовой последовательности влево или вправо на один, два,...., ( k -1) символов вновь приводит к формированию разрешенной кодовой последовательности.

Таким образом, циклическую перестановку двоичных символов разрешенной кодовой последовательности можно рас­сматривать как умножение F ( x ) на х при первом сдвиге, на х² при втором сдвиге и т. д., что можно в общем виде записать или представить так:

Таким образом, можно сделать следующие выводы:

1. ЦК - это такой линейный код, который обладает свойством цикличности кодовых последовательностей, т.е. когда каждая разрешенная кодовая последовательность содержит ее циклическую перестановку;

2. ЦК относятся к групповым линейным кодам, если они образуются путем умножения каждой последовательности равнодоступного (простого) кода, выраженных в виде многочлена Q ( x ) с максимальной степенью ( k -1), на некоторой полином Р(х) степени l=n - k .

Информационный полином: Q(x)=a_k-1x^k-1+ a_k-2x^k-2+…+ a₀x⁰

Порождающий (образующий) полином: P(x)=b_l x^l+ a_{l -1} x^{l -1}+…+ b₀x⁰

Разрешенные кодовые последовательности кода К_раз = 2^к образуют циклическую подгруппу К_общ = 2^п, отличающуюся тем, что все элементы подгруппы имеют общее свойство делимости на полином Р(х), получивший название образующего или порождающего полинома.

В качестве образующего полинома используются полиномы, обладающие следующими свойствами:

1. образующий полином Р(х) должен быть делителем двучлена х^п+1;

2. образующий полином не должен раскладываться на сомножители более низких степеней, и должен делиться без ос­татка на самого себя и на 1, т.е. на х°;

3. максимальная степень образующего полинома должна быть равной l = n - k , т.е. соответствовать количеству прове­рочных символов используемого кода.

Свойства циклических кодов

ЦК обладают всеми свойствами СЛБК, а также имеют, ряд дополнительных свойств.

К основным свойствам ЦК относятся:

1. Вес разрешенной кодовой последовательности w_кп≥d₀;

2. Вес проверочной части разрешенной кодовой по­следовательности w_пр.ч.≥d₀-1;

3. Сдвиг кодовых символов разрешенной кодовой после­довательности влево или вправо на один, два,..., ( k -1) символ вновь приводит к разрешенной кодовой последовательности. Ес­ли же при циклическом сдвиге всегда будет получатся кодовая последовательность нового кода, то такой код будет называться квазициклическим; данные коды имеют несколько большую корректирующую способность и сложность реализации, чем ЦК;

4. Разрешенная кодовая последовательность без ошибок Fp'(x) при делении на полином Р(х) дает нулевой остаток ≠0 при наличии ошибок;

5. Сумма по модулю два символов двух, трех,..., (k-1) разрешенных кодовых последовательностей вновь образует разрешенную кодовую последовательность;

6. Двучлен вида х^п+1 должен делиться на порождающий полином Р(х) без остатка и результат дает проверочный полином h ( x ) =(х^п+1)/Р(х. Произведение h ( x )* P ( x )=хⁿ+1=0, а пото­му полиномы h ( x ) и Р(х) рассматривается как ортогональные и операция деления (х^п+1)/Р(х) используется в основе построения алгоритмов декодирования;;

7. Двучлен ЦК вида х^п-1 можно разложить на множители

Пример:. Разложить двучлен х^п-1=х⁷-1 на множители.

Из данного выражения видно, что можно образовать шесть делителей для двучлена х⁷-1, путем комбинирования полученных трех сомножителей. Следовательно, для двучлена x ⁷ -1 существует шесть разных двоичных линейных ЦК со следующими образующими полиномами и параметрами:

 – простой код: l , k , n и t_исп ( t _исп -кратность исправленных ошибок) - измеряются в двоичных символах;

ЦК, задаваемые образующими полиномами Р₁(х), P ₂ ( x ) и Р₃(х), относятся к классу ЦК Хэмминга. ЦК, задаваемые поли­номами Р₄(х), P ₅ ( x ) и Р₆(х), являются двойственными кодами Хэ мминга и называются кодами максимальной длины.

Корректирующая способность групповых СЛБК зависит от вида (структуры) образующе­го полинома, т.е. от количества ненулевых членов данного по­линома и его максимальной степени l = n - k . В соответствии с этим можно отметить следующие свойства ЦК:

а) обнаруживающих ошибки:

- ЦК, образующий полином которого имеет более одного члена и не имеет общего множителя х, обнаруживает все одиноч­ные ошибки и любое нечетное число ошибок. Простейшим обра­зующим полиномом ЦК, обладающими данными свойствами, является полином вида Р(х)=1+х;

- ЦК, образующий полином которого имеет вид р(х)=1+х^с, обнаруживает любое нечетное число ошибок. До­казательство этого утверждения становится ясным, если обра­зующий  полином  представить  в  следующем  виде

б) обнаруживающих и корректирующих ошибки: в виду того, что полином Р(х)=1+х^с нацело делится на 1+х, то согласно предыдущему свойству ЦК обеспечивает обнаружение любого нечетного количества ошибок;

- ЦК, образующий полином которого имеет максималь­ную степень l =п-к, обнаруживает любой пакет ошибок длиной  и менее двоичных символов или корректирует паке­ты ошибок длиной двоичных символов;

- количество пакетов длиной l +1,  не обнаруживаемых ЦК, составляет части всех пакетов (l+1) двоичных симво­лов.

Количество пакетов ошибок длиной более l +1, необнаруживаемых ЦК, составляет часть всех пакетов ошибок длиной от ( l +2) до n двоичных символов включительно. 

Способ построения кодовых последовательно­ стей с