В ЛБК сумма по модулю два любого конечного числа разрешенных кодовых последовательностей также является разрешенной кодовой последовательностью. Поэтому, выбрав k исходных разрешенных кодовых последовательностей, которые называют базисными и суммируя их посимвольно в i различных сочетаниях, можно построить все  разрешенных кодовых последовательностей.

Чтобы каждое сочетание порождало новую разрешенную последовательность и чтобы в конечном итоге их общее число равнялось 2^к необходимо, чтобы выполнялись следующие условия (правила):

1) исходные (базисные) кодовые последовательности должны выбираться различными;

2) нулевая кодовая последовательность (состоящая из одних 0) не должна выбираться;

3) исходные кодовые последовательности должны быть линейно-независимыми и образовывать алгебраическую группу по отношению к операции суммирования по модулю два и в том смысле они являются групповыми кодами;

4) вес (число 1) каждой исходной кодовой последовательности должен быть не менее d₀ и в общем случае вес кодовой последовательности равен числу ненулевых символов;

5) вес приписываемой проверочной части строки к исходной информационной части строки должен быть не менее d₀-1;

6) кодовое расстояние между любыми парами исходных кодовых последовательностей должен быть не менее d₀;

7) минимальное кодовое расстояние d₀ ЛБК равно наименьшему кодовому расстоянию из всей совокупности полученных кодовых расстояний (d) при попарном суммировании по модулю два двоичных символов сравниваемых последовательностей. Минимальное кодовое расстояние d₀ также будет определять и минимальный вес кодовых последовательностей конкретного, т. е. проектируемого или выбираемого кода (W_min=d₀).

Задание линейных кодов с помощью порождающих и проверочных матриц

Линейные коды задаются с помощью порождающей G (x) и проверочной H ( x ) матриц. Эти матрицы связаны основным уравнением кодирования:

G ( x ) × H ( x ) ^T =0.

Матрица G ( x ) содержит k строк и n столбцов, ее элементами являются нули и единицы. В качестве строк матрицы G ( x ) выбираются любые ненулевые линейно независимые n-значные векторы, отстоящие друг от друга не менее чем на заданное кодовое расстояние d ₀.

Векторы v ₁, v ₂, …, v_k называются линейно независимыми, если выполняется условие

c ₁ v ₁ + c ₂ v ₂ +…+ c_k v_k = 0,

где с _i={0, 1}, а сложение выполняется по модулю два. То есть, каким бы образом мы не суммировали различные строки матрицы G ( x ), не получим суммы, равной нулю. Все множество кодовых слов состоит из строк порождающей матрицы и всевозможных комбинаций этих строк, т.е. суммы по модулю два всех строк матрицы G ( x ) сначала попарно, затем по три и так далее до суммы всех k строк.

С точки зрения алгебры все кодовые слова образуют некоторое векторное пространство, базисом которого являются строки матрицы G ( x ).

Поскольку линейно независимые векторы могут быть выбраны произвольным образом, то, очевидно, можно построить множество матриц G ( x ) с одним и тем же кодовым расстоянием d ₀.

Свойство линейной независимости векторов инвариантно относительно двух следующих операций (выполняя эти две операции, кодовое расстояние не меняется):

1) возможна произвольная перестановка строк и столбцов в матрице G ( x );

2) замена i-й строки на сумму i-й и j-й строк и т. д. (эту операцию нельзя осуществлять со столбцами матрицы G( x )).

Производя вышеуказанные операции, любую произвольную матрицу G ( x ) можно привести к так называемому приведенно -ступенчатому (каноническому) виду:

k

где I_k – единичная подматрица размерностью k × k ,

H^{* T} – транспонированная проверочная матрица (транспонировать – значит поменять местами строки и столбцы).

Исходя из основного уравнения кодирования, проверочная матрица имеет вид

                                         

Пример:

Возьмем порождающую матрицу кода (7,4). В этой матрице количество строк равно 4 (k=4), а количество столбцов 7(n=7).

        1 0 0 0 1 0 1                                                  

G(x)=0 1 0 0 1 1 1                                                  

        0 0 1 0 1 1 0                                                  

        0 0 0 1 0 1 1                                                  

Для того чтобы построить проверочную матрицу, необходимо транспонировать подматрицу G(x)^* и к ней приписать единичную матрицу размером l × l. Проверочная матрица будет иметь размер l×n, l = n-k=7-4=3, т.е. матрица Н(x) имеет размер 3×7. 

          1 1 1 0 1 0 0                                              

H(x)=0 1 1 1 0 1 0                                                  

          1 1 0 1 0 0 1