Проверка статистических гипотез о коэффициентах множественной линейной регрессии осуществляется также, как и в случае парной, с помощью -статистик, которые в условиях справедливости нулевой гипотезы имеют распределения Стьюдента с  степенями свободы.

Проверка гипотезы о статистической значимости параметров регрессии.

На формальном языке проверяется нулевая гипотеза  (коэффициент регрессии не значим) против конкурирующей  (коэффициент регрессии значим).

Проверка этой гипотезы производится аналогично проверке для модели парной линейной регрессии. Для решения этой задачи используется -статистика вида:

.                                 (2.8)

По этой формуле находится расчетное значение статистики . Все остальные действия проводятся по той же схеме, что и при проверке гипотезы о значении коэффициента. То же самое можно сказать и о проверке гипотезы при наличии односторонней альтернативы.

Продолжение примера 2.1. На уровне значимости 0,05 проверить гипотезы о значимости коэффициентов регрессии.   

Решение. Рассмотрим последовательно решение задачи для каждого из трех коэффициентов.

1.  (коэффициент регрессии незначим),

 (коэффициент регрессии значим).

Расчетное значение -статистики по формуле (2.8) равно: .

Критическая значение статистики определяем по табл. 3:

.

Поскольку , то гипотезу о значимости параметра регрессии  следует принять.

2. ,

.

Расчетное значение -статистики по формуле (2.8) равно: .

Критическое значение статистики то же, что и в предыдущем случае. Поскольку , то параметр модели значим на уровне значимости 0,05.

3. ,

.

Расчетное значение -статистики по формуле (2.8) равно: .

Поскольку , то гипотезу  следует принять, т.е. нет оснований отклонить эту гипотезу: параметр регрессии  не значим.

По коэффициентам регрессии обычно невозможно определить, какой их факторов оказывает наибольшее влияние на зависимую переменную, так как коэффициенты регрессии между собой несопоставимы (они, как правило, имеют различную размерность).

Различие в единицах измерения отсутствуют у частных средних коэффициентов эластичности. Частный коэффициент показывает на сколько процентов в среднем изменяется зависимая переменная с увеличением на 1% определенного фактора  при фиксированном значении других факторов. Его значение рассчитывается по формуле

                                                                                (2.9)

где  — среднее значение изучаемого фактора .

Сопоставление эффектов влияния на результат различных факторов может быть осуществлено также с помощью стандартизованных коэффициентов регрессии (или бэта — коэффициентов). Бэта-коэффициент  показывает на сколько величин  изменится в среднем зависимая переменная  при увеличении только одной -й объясняющей переменной на .

                                                                                  (2.10)

Бэта-коэффициенты определены только для модели со свободным членом (2.2), и конструктивно могут быть найдены с помощью соотношения:

,     (2.11)

в котором  - выборочная корреляционная матрица независимых переменных .

Бэта-коэффициенты позволяют записать оценку функции множественной линейной регрессии в нормированной форме:

.     (2.12)

Продолжение примера 2.1. Найти частные коэффициенты эластичности и стандартизованные коэффициенты регрессии. Сделайте вывод о силе влияния факторов  и на результирующую переменную .

Решение. Проведем вспомогательные вычисления:

      .

Найдем частные коэффициенты эластичности (2.9):

Вывод. При увеличении только количества работающих ( ) на 1% и неизменном  средний объем продаж услуг ( ) увеличится на 2,03%., а при увеличении объема основных производственных средств ( ) на 1% и неизменном  средний объем продаж услуг ( ) увеличится на 0,67%.

Определим стандартизованные коэффициенты регрессии (2.10):

Вывод . При увеличении только количества работающих ( ) на 1 величину . (при неизменном ) средний объем продаж услуг ( ) увеличится на.0,53 величин , а при увеличении объема основных производственных средств ( ) на 1 величину  (при неизменном ) средний объем продаж услуг ( ) увеличится на 0,46 величин .

На основании рассчитанных коэффициентов можно сделать вывод, что величина, характеризующая количество рабочих  сильнее влияет на объем продаж , чем объем основных производственных средств .