Тесноту линейной связи между количественными случайными переменными  и  можно оценить по результатам наблюдений с помощью выборочного коэффициента корреляции Пирсона (sample correlation coefficient) (или просто коэффициента корреляции):

.                                             (1.10)

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1) он принимает значения от –1 до +1;

2) если , то линейная связь между переменными  и  считается сильной, при  линейная связь слабая;

3) если , то корреляционное поле наблюдений представляет собой совокупность точек, которые можно расположить на одной прямой; знак «+» свидетельствует о прямой линейной зависимости между переменными  и , а знак «-» об обратной линейной зависимости;

4) при  линейная корреляционная связь отсутствует, а линия регрессии параллельна оси .

Замечание. Выборочный коэффициент корреляции часто используется для определения возможности описания зависимости между переменными  и  с помощью линейной модели (1.1) и в том случае, когда переменная не является в модели случайной величиной. Наличие сильной линейной корреляционной связи обычно является основанием для использования модели (1.1).

С помощью коэффициента корреляции оценку неизвестного параметра  парной линейной регрессионной модели можно выписать в следующем виде:

.

Продолжение примера 1.1. Оценить силу линейной взаимосвязи между  - средней ежегодной прибылью (в %) портфеля ценных бумаг и его риском (в %). С помощью выборочного коэффициента корреляции найти МНК-оценки неизвестных параметров парной линейной регрессионной модели.

Решение. Для нахождения коэффициента корреляции найдем выборочную дисперсию зависимой переменной:

Таким образом, коэффициент корреляции будет равен:

Вывод. Между  - средней ежегодной прибылью портфеля ценных бумаг и его риском  существует сильная линейная прямая взаимосвязь, о чем говорит большое положительное значение коэффициента корреляции.

Найдем МНК-оценки с помощью коэффициента корреляции:

Проверка значимости коэффициента корреляции производится на основе критерия Стьюдента при заданном уровне значимости . При этом проверяется нулевая гипотеза  о том, что генеральный коэффициент корреляции между и  равен нулю (или иначе: коэффициент корреляции генеральной совокупности незначим) (statistically unsignificant) при конкурирующей гипотезе  о том, что генеральный коэффициент корреляции значим (statistically significant).

Для проверки гипотезы используется -статистика, определяемая по формуле

,                                                          (1.11)

и имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Эта формула используется для нахождения значения . Критическое значение  статистики критерия (в данном случае двусторонняя квантиль уровня  распределения Стьюдента с  степенями свободы) находится по табл.2:

                                                           (1.12)

Гипотеза о значимости коэффициента корреляции отклоняется (т.е. принимаем гипотезу ), если .

Продолжение примера 1.1. На уровне значимости  проверить гипотезу о значимости коэффициента корреляции.

Решение. Для проверки гипотезы о значимости коэффициента корреляции вычислим по формуле (1.11) значение статистики критерия:

              .

Используя (1.12), определяем по табл.2 критическое значение статистики критерия:

                        .

Так как фактическое значение статистики критерия больше критического, то гипотезу  отвергаем, принимая . Таким образом на уровне значимости можно утверждать, что коэффициент корреляции значим.