Частные случаи приведения произвольной пространственной системы сил

Случай 1. Пусть дана произвольная система сил, для которой второй инвариант отличен от нуля: (RM0)0, а следовательно , и первый инвариант отличен от нуля:

R ≠ 0.

Раскладываем главный момент на две составляющие: по направлению главного вектора и перпендикулярно главному вектору.

По существу пару с моментом  M 0  раскладываем на две пары с моментами M 1П и  M 2П ,  M 0=  M 1П + M 2П  (рис.36).

Для пары с моментом  M 2П подберем плечо таким образом , чтобы модуль сил пары был равен модулю главного вектора. Это можно сделать на основании третьей теоремы об эквивалентных парах. На основании второй теоремы об эквивалентных парах эту пару повернем в ее плоскости так, чтобы одна из сил пары была направлена прямо  противоположно главному вектору, т.е. пару с моментом M 2П представим так 


R - R

O O

На основании второй аксиомы статики система сил   

 

На основании третьей аксиомы статики ее можно отбросить. Таким образом, в этом случае произвольная система сил эквивалентна одной силе R и паре с моментом M 1П, коллинеарным силе R.

Запишем приведенное доказательство

 

 

Определение 1. Совокупность силы и пары, момент которой коллинеарен силе, называется динамой или динамическим винтом.

По определению MП =  pR, где   p- параметр динамы.

Различают правую динаму   p>0 (рис.37) и левую динаму p <0 (рис.38).

 

     Рис.37                                               Рис.38

 

 

Определение 2. Центральной осью произвольной системы сил называется геометрическое место центров приведения, относительно которых главный момент коллинеарен главному вектору или равен нулю.


MN = pR.

Согласно этому определению точка О1 принадлежит центральной оси. Если взять любую точку  N, которая находится на линии действия главного вектора R, проходящего через точку О1 , то эта точка N также будет принадлежать центральной оси, так как главный момент относительно этой

 точки  будет равен

                                              M N = M 0 - M П2 .

 

Следовательно, если второй инвариант произвольной системы сил отличен от нуля, то такая система сил приводится к динаме, расположенной вдоль центральной оси.

Уравнение центральной оси произвольной системы сил

При приведении произвольной системы сил к точке О мы получили главный вектор R и пару с моментом  MП = M 0 .

Выберем систему координат О XYZ.

Рис.39

 

 

Возьмём произвольную точку N(x,y,z) на центральной оси (рис.39). Из определения центральной оси следует MN = pR. Запишем зависимость между главными моментами произвольной пространственной системы сил относительно двух точек  O и N.

 


M o = M N +[ ON ∙ R ], откуда MN = M o - [ ON ∙ R ].

 

С другой стороны, M N = PR, следовательно, Mo-[ ON ∙ R] = pR ,

где Mo = M x i + M y j + M z k .

Векторное произведение и [NO ∙ R] запишем в виде символического определителя третьего порядка

 

                            i     j      k

M x i + M y j + M z k - x      y     z =pR .

                           Rx Ry Rz

 

 

Спроецируем последнее равенство на оси координат.

 

M x- ( yR z- zR y) = pR x; M y - ( zR x- xR z) = pR y; M z - ( xR y- yR x) = pR z.

 

Предполагая, что RX, RY и RZ отличны от нуля, и поделив последние равенства соответственно на R X, RY и RZ получим,

 

              M x-( yR z- zR y)   M y-( zR x- xR z) Mz-( xR y- yR x)                        (30)

                              R x               R y               R z

 

Это уравнение является  уравнением центральной оси произвольной системы сил.

Случай 2. Пусть произвольная система сил такова, что первый инвариант отличен от нуля, а второй инвариант равен нулю :   0,  ( ) = 0.

Это возможно в двух случаях:

а) M 0 = 0.

 Если M 0 = 0, то система сил эквивалентна одной силе, равной сумме всех сил системы и проходящей через точку О, т.е. система сил приводится к равнодействующей  R = F v, проходящей через точку О.

 


б) M00, M 0 R .

Если  M 0 R то пару с моментом  M 0 можно представить как,


где                      ..

 

Так как система                        , то ее можно отбросить. Следовательно, система

 

сил будет эквивалентна одной силе, проходящей через точку  О 1, т.е. система сил

приводится к равнодействующей R=  F, проходящей через точку О 1.

 

Итак,  если первый инвариант отличен от нуля, а второй инвариант равен нулю, то произвольная система сил приводится к равнодействующей, расположенной вдоль центральной оси.

 

Случай 3. Пусть произвольная пространственная система сил такова, что главный вектор равен нулю и главный момент относительно произвольной точки отличен от нуля R = 0, M 0 0. Очевидно, что в этом случае  система сил приводится к паре сил, причем   MП= M 0 .

 

Случай 4. Если произвольная пространственная система сил такова, что главный вектор равен нулю и главный момент относительно произвольной точки равен нулю 

R = 0,  M 0 = 0, то она находится в равновесии. Эти условия будут как достаточными, так и необходимыми для равновесия.

Сводная таблица результатов приведения пространственной системы    

         сил к    простейшему (каноническому) виду

Математические характеристики системы сил, приложенной к свободному абсолютно твердому телу

  Заключение о системе сил
    0   ( ) 0 Система сил приводится к динаме
0   ( ) = 0   Система сил приводится к равнодействующей, приложенной       в  точке О или О
=0   0 Система сил приводится к паре сил
=0    = 0 Система сил эквивалентна нулю, т.е.  находится в равновесии

 

 5.5. Алгоритм решения задач на приведение  пространственной системы сил    к простейшему (каноническому) виду

1. Изобразить в масштабе и обозначить все силы, приложенные к материальному объекту.

2. Выбрать оси декартовой прямоугольной правой системы координат O xyz.

3. За центр приведения принять начало координат т. O.

4. Вычислить проекции главного вектора системы сил на оси координат, найти его модуль и направляющие косинусы. Изобразить на рисунке в масштабе, приложив в точке О.

  RX = ∑X ;                               ;   RY = ∑Y ;                               ;   RZ = ∑Z ;                              ;    
  R = √R2 X + R2 Y + R2 Z  .  

 

 

5. Вычислить главные моменты системы сил относительно координатных осей x, y, z , начала координат т. O., и направляющие косинусы главного момента Mo. Изобразить их на  рисунке в масштабе, приложив в точке О.

 

 

               MX = ∑momX F ,                                ;

 

      MY = ∑momY F ,                                  ;

 

       MZ = ∑momZ F ,                                ;

 

                          M 0 = √M 2 X + M 2 Y + M 2 Z .

        

 

     6.    Вычислить величину второго инварианта и определить, к какому

                  простейшему виду приводится данная система сил:

 

                  ( RM o) = R x M x + R y M y + R z M z = …

 

 

      7.Вычислить наименьший главный момент системы сил

 

                         M 1П =                                          = …

 

                 Если система сил приводится к динаме или к равнодействующей,

                 то далее найти уравнение центральной оси (30.). Затем определить

                 (если это необходимо) точки пересечения центральной оси с

                 координатными плоскостями, построить эту ось и изобразить

                 динаму или равнодействующую вдоль центральной оси.

 






Дата: 2018-11-18, просмотров: 539.