Произвольная пространственная система сил
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Главный вектор и главный момент произвольной пространственной системы сил

Произвольная пространственная система сил – это такая система сил, линии действия которой произвольно расположены в пространстве

Главный вектор пространственной системы сил определяется так же, как в плоской статике: это вектор R, равный векторной сумме всех сил системы:

  R = F 1 + F 2 + … F n = F n . (25)

 

Модуль R главного вектора пространственной системы сил вычисляется по следующим формулам:

 

  R = √R 2 X + R 2 Y + R 2 Z, (26)

где

  Rx = Xv = ∑x ; Ry =  Yv = ∑y ;                                                                          (27) Rz =   Zv = ∑z .                                  

1
2

Рис.33

Главным моментом системы сил называется вектор M 0, равный сумме  моментов (векторных) всех сил, вычисленных относительно некоторого центра (точки О) (рис.33):

  M 0 =    mom 0 F v . (28)

 

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор M0 при изменении положения центра О может в общем случае изменяться.

Величина главного момента M0 системы сил относительно центра O (начала координат) и его проекции на оси координат вычисляются по формулам:

  MX = momX F v ; MY = momY F v ; MZ = momZ F v ;   M0 = √M 2X + M 2Y + M 2Z.   (29)

 

Для простых случаев проекции главного момента системы сил относительно координатных осей и начала координат  могут определяться геометрически.

Пример.

К вершинам куба (рис.34) с длиной ребра a приложена система четырех сил, действующих вдоль ребер куба и имеющих одинаковые модули: F1=F2=F3=F4=F.

Определить главный вектор этой системы сил и её главный момент относительно вершины О.

Рис.34.

Решение. Выберем декартову прямоугольную правую систему координат O xyz, оси которой ориентированы вдоль ребер куба.

Силы F 3, F 4 образуют пару сил с моментом M 34, направленным в положительном направлении оси Ox (точка приложения вектора M 34 может быть выбрана произвольно) и равным по модулю M 34 = F·a. Следовательно, силы F 3 и F 4 можно не учитывать при вычислении проекций главного вектора R.

 

Вычислим проекции главного вектора R на оси координат и его модуль:

 

RX = F 1x + F 2x = 0 - F 2 = -F;

RY = F 1y + F 2y = 0;

RZ = F 1 z + F 2 z = F + 0 = F .

R = ( RX + RY + RZ )1/2 =√2 F .

 

Определим геометрически проекции главного момента M 0 на оси координат (напомним, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости), проецируя на оси координат M 34:

 

MX = MX( F 1 ) + MX( F 2 ) + ( M 34 )X= 0 + 0 + M34 = F a;

MY = MY( F 1 ) + MY( F 2 ) + ( M 34 )Y = 0 + 0 + 0 = 0;

MZ = MZ( F 1 ) + MZ( F 2 ) + ( M 34 )z = 0 + F·OA + 0 = F a;

Модуль главного момента равен:

 

                                M 0 = √ M 2 X + M 2 Y + M 2 Z =√2 F· a.

 

Таким образом, для заданной системы сил её главный вектор R и главный момент M 0 относительно точки О равны по модулю R=√2 F; M0=√2 F·a, лежат в плоскости Oxz и образуют с осью Oz углы в 45° (см. рис.34).

 

5.2. Теорема о приведении произвольной пространственной системы сил

 

Под приведением в механике понимают замену данной системы сил простейшей ей эквивалентной.

Произвольная пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна в общем случае силе, равной сумме всех сил системы и приложенной в произвольно выбранном центре приведения и паре сил, момент которой равен сумме моментов всех сил системы вычисленных относительно этого центра приведения.

Доказательство.

Пусть произвольная пространственная система сил:

 


                                                    F1 , F2 … Fn

A1, A2 … An .

 

приложена к абсолютно твердому телу (рис.35). Примем произвольную точку О за центр приведения. В точке О на основании второй и третьей аксиом статики добавим  к данной системе сил уравновешенную систему сил подобную данной. Силы, приложенные в точке О, образуют систему сходящихся сил, которую в общем случае приводим к одной силе, равной их сумме. Оставшиеся силы образуют n пар сил, действия которых заменяем одной парой с моментом, равным сумме моментов этих пар.

      

                              Рис.35                                                           Рис.36

 

Запишем приведенное доказательство:


R = F 1 + F 2 + … F n = F v     -  главный вектор.


MП=   mom0 F v = M 0    -  главный момент.

5.3.Инварианты произвольной системы сил

Величины, которые остаются неизменными при каком-либо преобразовании, называются инвариантами по отношению к этому преобразованию.

Под инвариантами системы сил  понимают величины, которые не изменяются при перемене центра приведения этой системы.

Первый инвариант – векторный инвариант - главный вектор произвольной системы сил не зависит от выбора центра приведения.

R = F v.

Второй инвариант – скалярный инвариант – скалярное произведение главного вектора на главный момент, вычисленный относительно произвольной точки не зависит от выбора центра приведения.

( R MN) = ( RMM) .




Дата: 2018-11-18, просмотров: 293.