Теорема 8. (Основная теорема о вычетах)

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Если является аналитической на некотором замкнутом контуре и в односвязной области внутри него, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то

Доказательство (ДОК 36). По интегральной теореме Коши (стр. 58), интеграл по контуру равен сумме интегралов по n контурам внутри него.

Тогда . Но каждое слагаемое в этой сумме - интеграл по контуру вокруг одной особой точки, делённый на

, а по определению это и есть вычет в данной точке .

Вот и получается, что интеграл равен такой величине: умножить на сумму вычетов.

Теорема 9. Если является аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением конечного количества изолированных особых точек, то .

(Сумма вычетов во всех конечных особых точках + вычет в бесконечности равно 0).

Доказательство (ДОК 37). Если в плоскости конечное количество особых точек, то среди них есть самая далёкая от начала координат. Тогда их все можно включить в круг некоторого радиуса. Ограничим все n особых точек замкнутым контуром настолько большого радиуса , чтобы все они лежали внутри круга .

По определению вычета в , = ,

а по прошлой теореме 8, = .

Получается, что вычет в противоположен сумме всех вычетов в конечных особых точках. Складывая эти 2 равенства, мы как раз и получим .

В следующем примере будет видно разнообразие способов вычисление вычета в : и по доказанным формулам, и с помощью перехода к конечным точкам, и с помощью коэффициента из ряда Лорана.

Пример. Найти .

Способ 1. С помощью формулы из теоремы 6.

Так как то устранимая точка. Тогда можно вычислить по формуле: . Итак, =

= = =

= .

Обратите внимание, что по определению вычет это интеграл по ограниченному контуру, т.е. он не может получиться равным . При правильном вычислении производной, степени числителя и знаменателя уравниваются и предел получается конечный.

Способ 2. С помощью теоремы 9 (через конечную точку).

Заметим, что в знаменателе только , т.е. эта функция имеет всего лишь одну конечную особую точку. Тогда:

= . То есть надо найти вычет в точке 2 и сменить знак. = = = 2. Поэтому . Получается такой же ответ, как и прошлым методом.

Способ 3. С помощью ряда Лорана.

Разложим в ряд Лорана в области . При этом надо воспользоваться формулой суммы бесконечной убывающей прогрессии: . Так как (рассматриваем окрестность бесконечности, а не нуля) то надо, чтобы получалось , оно по модулю меньше 1. Но ни в коем случае не .