Задумаемся над таким вопросом, можно ли обобщить комплексные числа, например, создать систему с двумя мнимыми единицами и числами вида .
В системе комплексных чисел задана так называемая в алгебре билинейная операция умножения векторов плоскости. Линейное отображение, которое мы раньше ещё называли линейный оператор, переводит 1 вектор в 1 вектор: . Билинейное отображение даёт результат для пары объектов,
. Так как выполняется дистрибутивность, то есть можно раскрыть скобки в случае, когда объект на первом или втором месте есть сумма двух других, то отображение линейно по каждому аргументу, поэтому оно и называется билинейным.
При фиксировании одного из элементов, получается действие только на 2-й элемент, т.е. линейное отображение (линейный оператор) действующий по закону . Например, умножение на
в комплексной плоскости приводит к повороту на 900.
Если линейный оператор задаётся плоской квадратной матрицей порядка n, то для билинейной операции фактически можно построить n линейных операторов: умножение на . Тогда в итоге получается объёмная матрица из n3 элементов.
Например, чтобы задать умножение в комплексной плоскости, надо задать умножения всех базисных элементов друг на друга. Можно это записать в виде символьной таблицы:
1 | ![]() | |
1 | 1 | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Если записать в векторном виде, используя обозначения ,
, то есть не акцентируя на том что это комплексная плоскости, а просто в общем виде как действия с геометрическими векторами плоскости, то таблица запишется так:
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Но можно записать подробнее, учитывая все кординаты (те, которых нет, соответствуют 0):
![]() | ![]() | |
![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() |
Но фактически здесь векторов, а значит
констант. Если откладывать вниз координаты каждого вектора, а в верхнем слое поместить основание матрицы, то получится вот такая 3-мерная матрица:
Рассмотрим две матрицы, являющиеся сечениями - они выделены жёлтым. Это линейный оператор умножения на 1 и умножения на . И здесь одна матрица единичная (задаёт тождественный оператор) а вторая задаёт поворот плоскости на 900.
и
.
Докажем, что невозможно задать 3-мерную систему, так, чтобы при этом соблюдались известные базовые арифметические свойства. Например, докажем, что в 3-мерной системе (и в любой системе нечётной размерности) всегда есть делители нуля.
Теорема. Не существует числовой системы нечётной размерности без делителей нуля.
Доказательство (ДОК 26). Допустим, что существует система с двумя мнимыми единицами, где числа вида . Умножение на 1 сохраняет любой объект. Отразим это в таблице умножения базисных единиц:
1 | ![]() | ![]() | |
1 | 1 | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | * |
![]() | ![]() | * | * |
Здесь осталось 3 элемента, помеченных *, которые ещё надо задать, а именно, . Как бы мы их не задали, в любом случае, умножение на какой-либо фиксированный элемент данной системы - это линейный оператор в 3-мерном пространстве:
. Ему соответствует какая-то плоская матрица из 9 элементов
. Существует её определитель
. Таким образом, можно поставить некое число в соответствие каждой точке пространства. Определитель матрицы умножения на данный элемент отождествляет с элементом данной системы, т.е. с точкой 3-мерного пространства. Таким образом, в 3-мерном пространстве задана непрерывная скалярная функция. Но ведь умножение на противоположный элемент
соответствует оператору, у которого матрица состоит из чисел с противоположным знаком. Это матрица
. Так как она порядка 3, то
, т.к. коэффициент
выносится из каждой строки, а их всего 3, нечётное количество. Соединяя точки
по сфере, получаем дугу, на которой функция изменяется от
до
. Тогда существует какая-то точка
, где данная функция обращается в 0. Таким образом, линейный операторв умножения на
является вырожденным оператором, ведь определитель его матрицы равен 0. А если оператор вырожденный, то существует вектор в пространстве, который отображается в 0. Тогда
. Таким образом,
, но
. То есть, в 3-мерной системе обязательно существуют делители нуля - такие ненулевые элементы, которые при умножении порождают 0.
Аналогичное верно и для любой нечётной размерности, так как для неё .
Кватернионы.
Указанные выше причины не препятствуют построению числовых систем в случае чётной размерности. Так, если сделать по аналогии перехода от действительных чисел к комплексным, удвоить размерность и образовать числа вида из пары комплексных чисел, где второе умножено ещё на какой-то объект
, то получается 4-мерная система с тремя мнимыми единицами и числами вида
, которые называются кватернионами.
При этом это мы изначально называем произведение 1-й и 2-й мнимых единиц некоторой третьей мнимой единицей.
Получается антикоммутативная система с умножением:
,
,
,
,
,
.
. Умножение на 1 сохраняет любой объект неизменным. Получается таблица:
Таблица умножения базисных элементов системы кватернионов.
1 | ![]() | ![]() | ![]() | |
1 | 1 | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Обратите вниание, что законы умножения в системе кватернионов ,
,
легко запомнить, если представить с помощью цикла:
При умножении каждой пары получается следующий, если двигаться строго по часовой стрелке. Ещё обратите внимание, что мнимые единицы системы кватернионов подчиняются таким же законам, как векторное умножение в 3-мерном пространстве. Там тоже ,
,
. Векторное произведение пары векторов есть общий перпендикулярк ним, причём так чтобы получалась правоориентированная тройка. Векторное умножение было придумано Гамильтоном в 1843 году как раз одновременно с системой кватернионов.
Как и для комплексных чисел, здесь есть понятие «сопряжённый кватернион». Если то
. При этом
, то есть можно также ввести понятие модуля кватерниона:
=
.
Подробнее о том, почему получается .
=
=
но система антикоммутативна, т.е.
, поэтому все эти суммы в скобках равны 0, вот и остаётся
.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 256.