Возможны разные подходы к определению понятия интеграла от комплексной функции. Так, например, 
- функции двух переменных, тогда можно вычислять кратные интегралы от них по некоторой плоской области, и объединять результаты в комплексное число вида 
. Однако в качестве основного всё же исторически был принят метод интегрирования по кривой, именно при таком подходе возможно введение понятия первообразной 
, а также получают применение многие факты из теории векторного поля. Итак, определение интеграла и метод его вычисления:
Определение. Пусть в области 
задана некоторая функция 
(не обязательно аналитическая), и в области расположена кусочно-гладкая кривая 
(не обязательно замкнутая). Введём разбиение кривой на n частей с помощью (n-1) внутренних точек. Таким образом, получилась последовательность точек 
, расположенных по порядку на кривой, где 
- начальная и конечная точки. Обозначим 
. Выберем на каждом участке дуги какую-то точку 
и составим интегральную сумму: 
. Предел интегральных сумм при измельчении разбиения, т.е. при 
, называется интегралом от функции 
по кривой 
и обозначается 
.
Метод вычисления. При вычислении необходимо разбить на действительную и мнимую части как функцию, так и дифференциал, затем раскрыть скобки и получить 4 слагаемых. Но их можно объединить по два, в двух из них нет мнимой единицы, а в двух она есть:
= 
.
Таким образом, при вычислении всё сводится к двум криволинейным интегралам 2-го рода от векторных полей 
и 
, а мнимая единица умножается на второй из них, при этом в самих вычислениях она фактически не участвует.
Некоторые свойства.
1. Линейность 
= 
.
2. Если кривая АС разбита на две части некоторой точкой В, то: 
3. 
.
4. Если 
то 
, где 
- длина кривой АВ.
Пример. Вычислить интеграл 
:
А) по прямолинейному отрезку от 0 до 
.
В) по параболе от 0 до 
.
Решение.
А) 
= 
=
, далее вычисляем 2 криволинейных интеграла по отрезку, на котором 
, заменяем 
, 
.
При этом 
. 
= 
= 
.
Б) Исходное раскрытие скобок происходит так же, как и в прошлом случае: 
но теперь линия это не отрезок, заданный явным уравнением 
, а парабола, заданная явным уравнением 
. Поэтому заменяем 
, 
.
= 
=
= 
.
Ответ. по отрезку: 1, по параболе: 
.
Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, но это здесь потому, что функция не аналитическая, она содержит 
, а мы доказывали теорему 4 в конце прошлого § о том, что аналитичность равносильна отсутствию 
в составе функции, то есть тому, что 
.
Теорема 1. Если замкнутый контур, внутри которого во всех точках 
является аналитической, то 
.
(ДОК 17). Доказательство. 
= 
=
в двух этих интегралах - циркуляция двух векторных полей 
и 
, они потенциальны по теореме 2 прошлого §, а тогда циркуляция равна 0, то есть получаем 
.
Теорема 2. Если 
является аналитической во всех точках некоторой области 
, граница которой односвязна, то интеграл от функции 
не зависит от пути, то есть имеет одно и то же значение для любой кривой 
, соединяющей пару точек 
.
(ДОК 18). Доказательство. Аналогично прошлой теореме,
= 
.
Криволинейные интегралы 2 рода от векторных полей 
и 
не зависят от пути, что доказано ранее в главе «теория поля».
Так как для аналитической функции интеграл не зависит от пути, то для аналитической функции оказывается возможным ввести понятие первообразной. Введём в рассмотрение такую функцию: 
которая каждой точке ставит в соответствие интеграл до неё от некоторой фиксированной точки 
. Вводится по аналогии с вычислением потенциала поля, только в данном случае, вычисляются потенциалы двух полей 
и 
. Докажем, что построенная таким образом функция является первообразной.
Теорема 3. Функция 
является первообразной от функции .
(ДОК 19). Доказательство.
Докажем, что производная от 
равна .
По определению производной, 
.
Распишем разность в числителе более подробно.
= 
.
потому что по свойству 2, в числителе сокращается интеграл по той части, которая от 
до 
, и остаётся только от до 
.
Итак, остаётся доказать равенство: 
, которое можно переписать в виде 
.
Распишем более подробно действительную и мнимую часть как в интеграле, так и в правом пределе.
Проведём исследование 1 из 4 слагаемых, остальные по аналогии.
Если рассматривать в проекции на горизонтальную ось, допустим, что 
фиксировано, то:
что эквивалентно
.
Но так как для непрерывной функции действительного переменного верна теорема о среднем, т.е. такое свойство: 
, то в данном случае можно утверждать, что существует такая точка 
, что выполняется 
, причём при 
точка 
, ведь она находится на отрезке, который стягивается в одну точку, в свою левую границу.
. Итак, мы исследовали 1-е слагаемое из 4-х, остальные аналогично, причём везде используются только функции действительного переменного, просто одни из них умножаются на 
в итоговой записи, а другие нет. Но для каждого элемента при этом можно использовать теорему о среднем как для действительной функции.
Теорема 4. Для аналитической на кривой функции верна формула Ньютона-Лейбница: 
.
(ДОК 20). Доказательство. По построению первообразной,
и 
.
Но тогда 
= 
а тогда по 3-му свойству
это 
, что равно интегралу по кривой, проходящей от 
до 
(через точку ).
Тогда = 
= 
т.к. по свойству 2, их можно объединить. Итак, 
= .
Пример. Вычислить 
от 0 до 
двумя способами:
А) без формулы Б) по формуле Ньютона-Лейбница.
Решение.
А) = 
= 
Пусть точки 0 и 
соединены по прямой 
(вспомним, что интеграл не зависит от пути, поэтому можем соединить их как удобнее для вычислений). Тогда 
, 
, и
= 
= 
= .
Б) По формуле: 
= 
= 
= 
= 
.
Пример. Вычислить 
, где 
- окружность радиуса 
вокруг точки
Решение.
Способ 1. Представим функцию в виде 
. Движение по окружности можно задать формулами:
В этом случае 
. Тогда
= 
=
, домножим на сопряжённое, 
=
= 
=
= 
=
= 
.
Способ 2. Представим 
= 
=
. Тогда 
.
= 
= 
= .
ЛЕКЦИЯ 7. 17.10.2018
Интегральная формула Коши
Заметим, что в последнем примере в конце прошлой лекции сократилось и ответ вообще не зависел от - радиуса окружности. То есть получается, при уменьшении или увеличении окружности ничего не изменится, если та же самая точка разрыва остаётся внутри, а замкнутый контур стягивается к ней, оставляя снаружи область аналитичности. Этот факт докажем в общем случае.
Теорема 1. (Интегральная теорема Коши).
Пусть некоторый замкнутый контур, 
- n замкнутых непересекающихся контуров, лежащих внутри . Функция является аналитической на всех этих контурах, а также внутри 
, но вне 
. Тогда 
.
Доказательство (ДОК 21).
Для того, чтобы лучше понять идею доказательства, рассмотрим сначала ситуацию, когда внутри расположен один контур 
, то есть оласть аналитичности - кольцо. Можно взять какую-либо пару точек на и 
соответственно (чтобы точкибыли максимально близко напротив друг друга) и соединить их отрезком. Тогда для комбинированого контура, состоящего из 4 частей: 
, 
, 
, 
внутренняя область, похожая на кольцо с разрезом, это область аналитичности. Мы один раз обходим этот контур, двигаясь по внешнему против часовой стрелки, поэтому и обозначено 
, затем переходя на внутренний контур по , затем двигаясь по внутреннему в противоположном направлении ( 
), и возвращаясь по 
снова на внешний контур. Чертёж:
Но если комбинированный контур окружает область аналитичности, то интеграл по нему равен 0.
.
При этом интегралы по 
и 
и так взаимно уничтожаются, поэтому 
. Но если сменить направление движение по внутреннему контуру 
, то интеграл по нему сменил бы знак, тогда: 
.
Таким образом, интегралы по и 
одинаковы, то есть можно без изменения результата уменьшить область, стянув её к точке разрыва, оставив снаружи какую-то часть области аналитичности.
Если внутри несколько контуров, внутри которых нарушена аналитичности или даже существование функции, то применяется похожая схема рассуждений, только надо поочерёдно соединить отрезком 
с 
, затем 
с 
и так далее, до номера n.
Теорема 2. (Интегральная формула Коши).
Пусть 
является аналитической на контуре и внутри него, точка 
лежит внутри 
. Тогда 
.
Доказательство (ДОК 22).
В рассмотренном примере в конце прошлой лекции мы вычислили 
, то есть верно 
. Но мы можем домножить это равенство на любую комплексную константу, и тогда: 
. Впрочем, тогда это же верно и для константы 
: получаем 
. Мы получили выражение, очень похожее на то, которое надо доказать, но ещё не то: ведь здесь в числителе константа, а не функция. Вот если мы теперь ещё и докажем, что 
, или то же самое, что 
, то требуемое утверждение будет верно.
Рассмотрим функцию 
. Это функция, которая участвует в определении предела, ведь 
.
Таким образом, 
, то есть 
имеет конечный предел в точке 
, а это значит, что она ограничена в окрестности этой точки, 
. По теореме 1 (интегральная теорема Коши), интеграл по 
можно заменить на интеграл по любой малой окружности 
радиуса 
, лежащей внутри , результат при этом не изменится. Тогда 
= 
, где 
- максимальное значение модуля функции, 
- длина кривой, по которой происходит интегрирование. Но ведь по теореме 1 это должно быть верно для какого угодно малого . То есть 
меньше или равен любой бесконечно-малой величины. Тогда этот интеграл равен 0. То есть 
= 
= . Значит, 
, а тогда:
, т.е. 
доказано в итоге.
Интегральная формула Коши позволяет быстро вычислять интегралы по контуру вокруг точки разрыва, фактически не проводя подробное интегрирование. Достаточно убрать из знаменателя ту скобку 
, которая соответствует этой точке разрыва, подставить в остальную функцию 
и домножить на 
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Внутри окружности радиуса 1,5 всего одна из двух точек разрыва функции, вторая снаружи. Обозначим в качестве 
функцию без 
, как будто на 
делим чуть раньше, а на 
позже.
= 
, где 
это то, что именно обозначается в интегральной формуле Коши.
Тогда 
= 
= 
= 
. \
Ответ. 
.
Теорема 3. (Обобщённая интегральная формула Коши).
Пусть является аналитической на контуре 
и внутри него, точка 
лежит внутри . Тогда 
.
Доказательство (ДОК 23).
Продифференцируем по параметру 
правую и левую часть равенства в исходной интегральной формуле Коши.
.
= 
= 
= 
= 
.
Таким образом, 
.
Следующая производная от 
равна
= 
. Аналогично следующая (тертья от исходной функции) равна 
, далее по индукции для n-й производной получим 
= 
. Тогда 
.
Рассмотрим примеры, похожие на предыдущий, но в которых будет 2 или 3 степень скобки . По обобщённой интегральной формуле Коши, если скобка во 2 степени, надо не просто убрать её из знаменателя, а после этого ещё и один раз продифференцировать оставшуюся функцию, и лишь затем подставлять 
. А если 3 степень, то 2 раза продифференцировать, но с 3-й степени начинает ещё и изменяться коэффициент из-за того, что он уже не равен 1, а будет 
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Пример. Вычислить 
.
Решение. 
= 
= 
=
= 
= 
= 
.
Ответ. 
.
Далее докажем с помощью интегральной формулы Коши, что верно разложение в ряд Тейлора не только для функций действительного переменного (1 семестр), но и для комплексных функций.
Теорема 4. (Теорема о разложении в ряд Тейлора).
Пусть является аналитической в окрестности точки .
Тогда она представима в виде степенного ряда:
, где 
.
Доказательство (ДОК 24).
Рассмотрим окрестность точки и какую-нибудь точку 
, лежащую внутри неё. Пусть граница окрестности - кривая 
, а точку на ней обозначим 
.
Можно записать интегральную формулу Коши для точки в таком виде: 
(здесь и 
имеют такой же смысл, как ранее было и ).
Изучим дробь 
подробнее. Можно прибавить и отнять :
= 
а дальше преобразовать к виду суммы геометрической прогрессии, чтоб воспользоваться тем фактом, что 
. Причём выносить за скобку в знаменателе надо именно такой из двух блоков, чтобы получилось 1 и нечто меньшее по модулю, чем 1. Учитывая, что на границе, а внутри контура, то ближе к , чем . Поэтому 
, т.е. 
Тогда = 
= 
=
. Подставим это выражение в интегральную формулу Коши вместо 
. Тогда 
= 
= 
.
Оставим внутри знака интеграла только те множители, которые зависят от . Получим 
но оставшийся внутри суммы интеграл можно преобразовать по обобщённой интегральной формуле Коши из теоремы 3, ведь если 
то 
.
Тогда 
= 
.
Получилось разложение в ряд Тейлора с коэффициентами 
.
Теорема 5. (Теорема о разложении в ряд Лорана).
Пусть 
является аналитической в некотором кольце с центром , тогда она представима в виде ряда 
.
Доказательство (ДОК 25).
Обозначим внутреннюю и внешнюю границы кольца через 
и 
. Возьмём произвольную точку в кольце. Окружим её контуром 
малого радиуса, так, чтобы он не пересекался с 
и 
.
По теореме 1, 
, впрочем, тогда
. Но третий интеграл по контуру , внутри которого только одна точка нарушения аналитичности функции 
, а именно точка . Тогда третий интеграл сразу можно по интегральной формуле Коши представить в виде значения функции:
.
Тогда 
.
В каждом из интегралов преобразуем выражение с помощью геометрической прогрессии. В первом из них почти как в предыдущей теореме, потому что 
, т.е. 
. А вот во втором, преобразование будет чуть иначе, потому что для точки 
, наоборот, 
и соответственно, 
.
Если 
: = 
= 
= 
= .
Если 
: = = 
=
= 
= 
.
Тогда 
=
В первой части снова по обобщённой интегральной формуле Коши,
а во 2 части сделаем сдвиг индексов на 1 пункт.
=
.
Мы получили такую структуру ряда, где представлены все целые степени, и положительные, и отрицательные:
,
а если бы мы ещё сделали замену индекса 
для 2 части, чтобы подчеркнуть, что там именно отрицательные степени, то получили бы
где 
т.е. коэффициенты при отрицательных степенях во 2 части приобрели бы точно такой же вид, как и в 1 части, с той разницей лишь, что 
с отрицательной степенью в знаменателе, хоть и формально написан в знаменателе, но реально располагается в числителе. Так, например,
, 
.
ЛЕКЦИЯ 8. 24.10.2018
Сначала рассмотрим ещё некоторые примеры на интегральную формулу Коши, которую мы доказали на прошлой лекции.
Пример. Вычислить 
.
Решение. Здесь степень множителя в знаменателе равна 2. Есть всего одна точка разрыва, а именно 
. Конкретизируем обобщённую интегральную формулу Коши для этого случая.
, при n = 1 получается
= 
.
Отсюда следует, что 
Тогда 
= 
= 
= 
.
Ответ. .
Пример. Доказать, что 
= 0 для любого целого числа 
.
Решение. Здесь по обобщённой интегральной формуле Коши при любом n получается, что 
. Затем любая производная от константы есть 0. Поэтому результат всегда 0.
Впрочем, если бы мы вычисляли даже старым способом без интегральной формулы Коши (как в конце лекции 6 на странице 56), то получалось бы 
= 
= 
=
но оба интеграла здесь равны 0, потому что 
целое число, а значит, на отрезке 
один или больше полных периодов, что приводит к нулевому интегралу. И лишь при 
результат получается (а это было в примере на стр. 56 в конце лекции 6).
Дата: 2018-12-21, просмотров: 315.
