Глава 3. Особые точки и вычеты

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Нули аналитической функции.

Определение. Точка называется нулём функции , если .

Мы сначала изучим нули функции, для того, чтобы затем изучить более подробно типы точек разрыва. Если является нулём для то в этой же точке предел равен .

Вспомним, что в 1 семестре было ещё название «бесконечно-малая» и «бесконечно-большая» функция в точке. Бесконечно-малые могли быть разных порядков. Есть и здесь аналогичное более подробное определение, различающее порядки бесконечно малых:

Определение. Точка называется нулём порядка m функции , если и функция представима в виде , где .

Кстати, здесь ещё можно напомнить, что для многочленов тоже было известно понятие корня кратности m, и аналогия тут прямая.

Теорема 1. (О виде ряда Тейлора в окрестности нуля порядка m).

Если нуль порядка m функции , то ряд Тейлора имеет вид

т.е. начинается именно со степени m.

Доказательство (ДОК 27). Если , где , то ряд Тейлора функции обязательно начинается с константы, а иначе не было бы . Тогда:

что и приводит к виду

Теорема 2. (Об изолированности нулей).

Если является нулём порядка m функции , то существует окрестность , не содержащая других нулей этой функции.

Доказательство (ДОК 28). Если является нулём порядка m функции , то . Первый множитель обращается в 0 только в самой точке и нигде больше. Второй в точке отличен от 0. Но , а так как эта функция аналитическая и значит, непрерывная, то существует окрестность , в которой т.е. не обращается в 0 ни в одной её точке. Итак, есть произведение двух множителей, где первый равен 0 только в , а второй нигде в окрестности . Таким образом, в произведение обращается в 0 только в .

Следствие 1. Если существует последовательность нулей функции, сходящаяся к , то в некоторой окрестности .

ЛЕКЦИЯ 9. 31.10.2018

Особые точки

Определение. Точка называется правильной точкой функции , если является аналитической в , и особой точкой, если она не является аналитической в .

Определение. Точка называется изолированной особой точкой, если в некоторой её окрестности нет других особых точек.

Существует такая классификация особых точек в зависимости от предела .

Название	Устранимая особая точка	Полюс	Существенно-особая точка
При каком условии			не существует
Пример ( )	=	=	=

Теорема 1. Точка является нулём функции она является полюсом функции .

Доказательство. Точка является нулём функции функция представима в виде , причём

. Это эквивалентно тому, что =

, где , а предел знаменателя равен 0. Это означает, что .

В связи с этим, естественным образом возникает определение полюса порядка : точка называется полюсом порядка m для функции , если для функции она является нулём порядка m.

Теорема 2.

(О взаимосвязи типа особой точки и строения ряда Лорана).

1). устранимая особая точка остутствует главная часть ряда Лорана.

2) полюс главная часть ряда Лорана содержит конечное количество слагаемых.

3) существенно-особая точка главная часть ряда Лорана содержит бесконечное количество слагаемых.

Доказательство (ДОК 29). Напомним строение ряда Лорана в окрестности точки в общем случае:

Пункт 1) Если присутствует хотя бы одна отрицательная степень, то не будет конечным числом. Таким образом, если то , причём .

И обратно, если то , потому что , ведь каждое слагаемое кроме стремится к 0.

Пункт 2) Точка является полюсом порядка m эквивалентно тому, что , где функция в числителе имеет ненулевой предел, поэтому её разложение в ряд имеет вид:

Тогда =

то есть крайняя отрицательная степень это именно число если порядок полюса m.

В главной части может быть не ровно m слагаемых, а какие-то пропущены (коэффициенты 0) но крайнее левое имеет именно степень, равную .

И обратно, если крайняя левая степень , то можно представить в виде

т.е. , и тогда точка является полюсом.

Пункт 3) Если точка является существенно-особой, но при этом допустить, что главная часть ряда Лорана состоит из нулевого либо из конечного количества слагаемых, то согласно предыдущим пунктам, получали бы противоречие: точка или устранимая, или полюс, и не является существенно-особой. Таким образом, из того, что она существенно-особая, логически следует бесконечность главной части ряда. И обратно, если главная часть бесконечна, то невозможно допустить, что точка полюс или устранимая, иначе сразу получалось бы противоречевое условие, что главная часть конечна.

Пример. Найти все особые точки и указать их тип для .

Решение. Преобразуем знаменатель: =

= . В знаменателе 3 нуля, причём каждый 1-го порядка, а именно . Следовательно, для функции 3 полюса 1-го порядка: .

Пример. Указать тип всех особых точек для функции:

Решение. В знаментателе нули 1-го, 2-го и 3-го порядка, а именно, точки 2,3 и 4. Тогда для : полюс 1-го порядка,

полюс 2-го порядка, полюс 3-го порядка.

Теорема 3. Если , причём точка является нулём порядка m для функции , и нулём порядка n для функции , то при точка устранимая или правильная точка, а при полюс порядка для функции .

Доказательство (ДОК 30). Если - нуль порядка m и n соответственно для числителя и знаменателя, то = = где для каждой из двух функций. Тогда можно обозначить и в итоге , это и означает, что полюс порядка .