Когда мы вычисляем предел в точке , он может быть конечным, бесконечным либо не существовать. Аналогично этому, подобные ситуации могут быть и при вычислении предела  при . Бесконечность не является точкой в плоскости, тем не менее, тип такого объекта как «бесконечно-удалённая точка» можно тоже классифицировать как и типы особых точек, с помощью предела.

       Существует геометрическая модель, в которой бесконечно-удалённая точка присутствует на равных с другими точками. Поместим сферу над плоскостью в начало координат. Если от верхней точки S провести любую наклонную прямую, то она 1 раз пересечётся со сферой и 1 раз с плоскостью. Таким образом, каждой точке комплексной плоскости можно однозначно поставить в соответствие точку на сфере. При этом единственная точка, для которой нет образа на плоскости - это точка S. Она соответствует горизонтальной касательной, и можно поставить ей в соответствие «бесконечно удалённую точку».

Классификация  как особой точки происходит аналогично, как и было для точки :

Название	Устранимая особая точка	Полюс	Существенно-особая точка
При каком условии			не существует
Пример	=	=	=

Только в данном случае наоборот, полюс если степень m в числителе, а не в знаменателе. Например, для  полюс порядка m.

В задачах можно делать замену  и таким образом сводить изучение  к изучению поведения функции в точке .

Пример. Определить тип точки  для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого функция изменит вид так:  =  =  .

Попутно заметим, что  а значит и  - полюс 3-го порядка.

Для точки , соответствующей , видим нуль 3-го порядка в числителе и 5-го порядка в знаменателе. Сократив дробь, можно получить . Тогда видно, что  полюс 2-го порядка, а значит,  полюс 2-го порядка.

Пример. Определить тип точки  для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого функция станет , то есть  полюс порядка m, значит  полюс порядка m.

Пример. Определить тип точки  для .

Решение. Сделаем замену , т.е. После этого .

Если устремить  к 0 со стороны положительной полуоси, то получается . Если со стороны отрицательной полуоси, то . А если со стороны мнимой оси, то предел вообще не существует: при , , и при этом , при этом  = , т.е. при  не существует предел ни действительной, ни мнимой части. Итак, приближаясь к (0,0) на плоскости с разных сторон, получаем разные результаты, а при приближении по некоторым траекториям предел даже не существует. Вывод: предел в точке  не существует,  а значит  это существенно-особая точка.

Вычеты

Определение. Пусть  замкнутый контур, внутри него точка , на самом контуре и внутри него нет особых точек, кроме . Тогда интеграл  называется вычетом функции  в точке  и обозначается .

Теорема 1. Вычет функции равен коэффициенту  в разложении в ряд Лорана. .

Доказательство. В § 5 прошлой главы («интегральная формула Коши») доказывали теорему 5 о разложении в ряд Лорана, и получили, в частности, . А правое выражение это и есть вычет.

Теорема 2. Если  - правильная точка или устранимая особая точка, то .

Доказательство. Если , а для правильной или устранимой особой точки  по теореме 2 прошлого параграфа, то .

Теорема 3. Если  простой полюс (т.е. 1-го порядка) то верна формула вычисления вычета:  = .

Доказательство (ДОК 31). Можно доказать двумя методами:

1) с помощью ряда Лорана 

2) с помощью интегральной формулы Коши.

Способ 1. Рассмотрим ряд Лорана. Если полюс 1-го порядка, то крайняя отрицательная степень равна , то есть ряд имеет такой вид:

Домножим на , чтобы выразить крайний коэффициент .

Теперь все слагаемые стремятся к 0 при , кроме .

, при этом из теоремы 1 известно, что .

Тогда  = .

Способ 2. Если  полюс 1-го порядка, то функцию можно представить в виде: , тогда верно . В то же время по интегральной формуле Коши: .Тогда .

 = =   = .

Что и требовалось доказать.