(от скалярных функций).
В прошлом учебном году мы изучали формулы длины кривой и площади поверхности. Напомним их, чтобы ввести понятия криволинейных и поверхностных интегралов.
Формула длины явно заданной кривой: .
Для параметрически заданной кривой: .
В трёхмерном пространстве: .
Площадь поверхности.
Для явно заданной поверхности: . Коротко напомним идею вывода этой формулы.
Вектор направлен по касательной в сечении, параллельном оси
, то есть тангенс угла наклона для него это
. Его координаты:
=
. Аналогично вектор
расположен в сечении вдоль оси
, его координаты
, если вынести дельта, то это
. Площадь параллелограмма вычисляется с помощью векторного произведения, она равна модулю векторного произведения.
=
, модуль этого вектора:
.
А в случае параметрического задания поверхности с помощью векторной функции этот определитель приобрёл бы вид
. Этот способ тоже употребляется на практике. Так, например, задать сферу можно с помощью двух параметров, аналогичных широте и долготе на земном шаре. Тогда в формуле площади поверхности под корнем - сумма квадратов трёх миноров, состоящих из частных производных, расположенных в двух нижних строках определителя.
.
Теперь представим следующую ситуацию: проволока или поверхность имеют переменную плотность, и требуется найти массу. Если плотность единичная, то фактически найти длину кривой (или площадь поверхности) это и означает найти данную массу. Но если плотность переменная, то при мелком разбиении нужно на каждом участке надо умножать длину (площадь) соответствующего участка на плотность. Именно такая задача привела к появлению понятий криволинейного и поверхностного интегралов 1-го рода (от скалярных функций).
Определение. Пусть дана некоторая кривая в пространстве . Во всех точках пространства (и в частности, на кривой) задана ограниченная и непрерывная скалярная функция
. Введём разбиение кривой на n частей, длину каждой из них обозначим
. Возьмём на каждой из этих частей по одной точке
. Рассмотрим такую сумму:
(она называется интегральной суммой). Предел таких сумм при
называется криволинейным интегралом 1-го рода (от скалярной функции).
Примечание. следует рассматривать при условии, что разбиение измельчается по всей кривой, т.е.
.
Формулы вычисления криволинейного интеграла 1-го рода.
Обозначение: .
1) Для параметрически заданной кривой в трёхмерном пространстве: .
2) Для параметрически заданной кривой в плоскости: .
На практике это значит, что необходимо все переменные в составе функции
выразить через параметр
, таким образом, функция станет зависеть только одной переменной, получим
, и далее сводится к обычному определённому интегралу от
.
3) Для явно заданной кривой в плоскости: .
Примечание. Если , то из этих получаются прежние формулы длины кривой, указанные в начале лекции.
Пример. Найти массу проволоки, расположенной в виде полуокружности в верхней полуплоскости, если плотность равна .
Решение. Так как все точки расположены на окружности, то лучше задать параметрически: ,
, причём
.
Далее, ,
.
=
=
=
= 2.
Определение. Пусть дана некоторая поверхность в пространстве . Во всех точках пространства (и в частности, на поверхности) задана ограниченная и непрерывная скалярная функция
. Введём разбиение поверхности на n частей двумя семействами линий, площадь каждой части обозначим
. Возьмём на каждой из этих частей по одной точке
. Рассмотрим интегральную сумму:
. Предел таких сумм при
называется поверхностным интегралом 1-го рода (от скалярной функции).
Обозначение
Формулы вычисления поверхностного интеграла 1-го рода.
Для явно заданной поверхности:
.
Для параметрически заданной поверхности правая часть формулы была бы такого вида:
Мы на практике будем, как правило, стараться сводить к явному виду.
Ещё один физический смысл. этот вовсе не обязательно плотность какой-то тонкой пластины. Допустим, что
- уровень радиации, заданный во всех точках пространства. То есть, эта функция может быть задана во всем пространстве, независимо от наличия или отсутствия какой-либо поверхности. Если затем расположить там поверхность, то поверхностный интеграл 1 рода будет показывать, какую суммарную дозу радиоактивности получит эта поверхность.
Пример. Дана функция . Пусть поверхность - верхняя полусфера радиуса 1. Найти поверхностный интеграл 1 рода.
Решение. Верхняя полусфера задаётся в явной форме так:
. Частные производные:
,
.
=
, где
- проекция полусферы на горизонтальную плоскость, то есть круг радиуса 1, а поскольку круг, то выгодно будет перейти к полярным координатам.
=
=
=
. К счастью, интеграл по
здесь даже не пришлось считать, т.к. интеграл по
выделяется отдельным множителем и он равен 0.
Дата: 2018-12-21, просмотров: 270.