Информатика и вычислительная техника»

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Приходовский М.А.

Математика

Курс лекций

Семестр 3

Учебное пособие

Для специальности

Информатика и вычислительная техника»

Томск

ТУСУР

2018

Электронное учебное пособие составлено и скорректировано с учётом реального проведения лекций на ФСУ в группах 437-1,2,3 осенью 2018 года.

(ДОК №) - доказательства формул или теорем, которые попадают в теооретические билеты.
Оглавление

Глава 1. Криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля...................................................................................... § 1. Криволинейные и поверхностные интегралы 1 рода............ § 2. Криволинейные и поверхностные интегралы 2 рода............ § 3. Элементы теории поля.............................................................. Глава 2. Теория функций комплексного переменного ........... § 1. Действия с комплексными числами......................................... § 2. Функции комплексного переменного...................................... § 3. Дифференцирование комплексных функций......................... § 4. Интегрирование комплексных функций................................. § 5. Интегральная формула Коши .................................................. § 6. Комплексные числа и дифференциальные уравнения.......... § 7. Гиперкомплексные числовые системы. Кватернионы......... Глава 3. Особые точки и вычеты ............................................. § 1. Нули аналитической функции............................................... § 2. Особые точки .......................................................................... § 3. Вычеты..................................................................................... § 4. Приложения вычетов.............................................................. Глава 4. Ряды Фурье ....................................................................

5 5 10 17 33 33 35 41 50 58 70 71 76 76 77 84

Оглавление по номерам лекций

Лекция 1.......................................................................................... Лекция 2.......................................................................................... Лекция 3.......................................................................................... Лекция 4.......................................................................................... Лекция 5.......................................................................................... Лекция 6.......................................................................................... Лекция 7.......................................................................................... Лекция 8.......................................................................................... Лекция 9.......................................................................................... Лекция 10......................................................................................... Лекция 11......................................................................................... Лекция 12......................................................................................... Лекция 13......................................................................................... Лекция 14......................................................................................... Лекция 15......................................................................................... Лекция 16.........................................................................................

5 13 21 32 41 50 58 69 77 86

ЛЕКЦИЯ 1. 05.09.2018

Глава 1.

Криволинейные и поверхностные интегралы, теория поля

ЛЕКЦИЯ 2. 12.09.2018

Пример вычисления поверхностного интеграла 2 рода

Векторное поле , поверхность - эллиптический параболоид , где .

Решение. Вектор нормали в данном случае .

= .

где D - проекция этой части параболоида на плоскость Оху, это круг радиуса 1. Перейдём к полярным координатам.

= = = .

Далее рассмотрим взаимосвязь между двойным интегралом по плоской области и криволинейным интегралом по её границе (формула Грина). Вам давно известна формула Ньютона-Лейбница, выражающая взаимосвязь между интегралом по отрезку и значениями первообразной на его границе (граница состоит из 2 точек). Но подобные взаимосвязи есть также и и между плоской областью и её границей.

Определение. Работа векторного поля по перемещению точки по замкнутой кривой называется циркуляцией.

Обозначение: или .

Для плоского векторного поля верна такая формула. Формула Грина: .

Работа силы по границе области равна двойному интегралу от по этой плоской области.

Доказательство (ДОК 2). Спроецируем область на ось Ох, обозначим границы проекции: точки . Сама граница области тогда условно подразделяется на две линии, снизу , а сверху . Чтобы движение по замкнутому контуру происходило против часовой стрелки, надо по двигаться слева направо, а по справа налево.

Рассмотрим подробнее интеграл от функции по границе области. В соответствии со всем сказанным, он может быть записан так: . Но во втором интеграле можно изменить на , сменив знак.

и их можно объединить

разность, которая внутри интеграла, является результатом применения формулы Ньютона-Лейбница по переменной :

запишем это в виде: .

Но если формула Ньютона-Лейбница применяется к , значит, это первообразная по , а она очевидно, является первообразной от своей производной . То есть:

= а этой как раз и есть двойной интеграл по области D.

= .

Аналогично можно спроецировать область D на ось Оу, допустим проекция займёт некоторый отрезок . Левую и правую линии, составляющие замкнутый контур, обозначим и . Правая здесь будет (она дальше от оси Оу).

Тогда = = =

= = .

Сложим два полученных равенства и получается двойной интеграл

Пример вычисления работы по единичной окружности от поля

без формулы Грина и по формуле Грина.

Способ 1. Параметрически: , , .

При этом , .

= = = .

Способ 2. . Тогда = = где D - круг радиуса 1. Тогда интеграл от 1 это его площадь. = = .

Элементы теории поля

Скалярное поле, или скалярная функция: .

Векторная функция, которая отображает называется векторным полем.

Заметим, что градиент скалярной функции - это векторная функция:

, ,

То есть, по скалярному полю всегда можно построить некоторое векторное.

Пример: . Тогда .

А вот обратная задача: если даны некоторые 3 скалярные функции, т.е. векторное поле, всегда ли они являются частными производными какой-то единой скалярной функции? Оказывается, нет.

Определение. Если существует такая скалярная функция , что выполняется , , , (то есть их общая первообразная), то векторное поле называется потенциальным, а функция называется потенциалом поля .

Свойство. Если - потенциал, то - тоже потенциал.

Доказательство: , , .

Потенциал определяется с точностью до константы (точно так же как и первообразная). Именно поэтому в физике важна именно разность потенциалов, а не сам потенциал.

Примеры.

Пример не потенциального поля.

. Первообразная от 1 компоненты по это , однако первообразная по от второй компоненты совсем другая:

, они не совпадают.

Пример потенциального поля.

. Его потенциал: .

Далее нам надо научиться выяснять 2 вопроса:

1) выяснять, является ли поле потенциальным.

2) вычислять потенциал, если оно потенциально.

Теорема 1. Криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

Доказательство (ДОК 3).

Необходимость. Пусть интеграл зависит только от начальной и конечной точки, и не зависит от пути, соединяющего точки А,В. Возьмём какой-нибудь замкнутый контур, разобьём его какими-нибудь случайно взятыми точками. Докажем, что циркуляция равна 0.

. Но так как объединение 2 частей в замкнутый контур это , то получается: .

Достаточность.

Пусть для любого замкнутого контура . Если даны какие-то точки А,В, и какие-то две различные линии, соединяющие их, то эти две линии можно объединить в единый замкнутый контур.

что и требовалось доказать.

Теорема 2. Поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути, причём тогда потенциал в любой точке вычисляется в виде где A₀ - некоторая начальная точка, как правило (0,0,0).

Доказательство (ДОК 4).

Необходимость. Если поле потенциально то , ,

а тогда в интеграле получится а по формуле полного дифференциала это но ведь первообразная от производной - это сама функция U, тогда работа поля в итоге равна = то есть зависит только от начальной и конечной точки.

Достаточность.

Если криволинейный интеграл для поля (P,Q,R) не зависит от пути, возьмём начальную точку, например начало координат (0,0,0). Введём некоторую скалярную функцию U(x,y,z) равную работе поля от (0,0,0) до точки А(x,y,z). То есть .

А теперь мы докажем, что именно эта функция является потенциалом.

Составим путь из дуги от 0 до А и дополнительного маленького горизонтального отрезка вдоль оси Ох. Интеграл от 0 до А равен U(А). Интеграл от 0 до А₁ равен U(А₁).

Координаты точек: А (x,y,z) и А₁(x+∆x,y,z) .

Тогда = но в интеграле по отрезку АА₁ меняется только x, при этом y, z константы, то есть dy = 0, dz = 0.

для некоторой промежуточной точки с, где достигается среднее значение.

Тогда , следовательно, = .

Но точка с тоже стремится к х при ∆x →0.

То есть . Итак, .

Аналогично, рассматривая точку А₁ с координатами А₁(x,y+∆y,z) получили бы , а если то А₁(x,y,z+∆z) то . Итак, поле потенциально и U(x,y,z), равная работе силы по перемещению от начальной точки до (x,y,z), является потенциалом.

Следствие. Поле F потенциально циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

ЛЕКЦИЯ 3. 19.09.2018

Итак, в конце прошлой лекции мы доказали, что поле потенциально криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути. Этот критерий позволяет вычислить потенциал, если известно, что поле потенциально, однако практически ничем не поможет выяснить изначально вопрос о том, потенциально ли поле. Ведь кривых, соединяющих две точки А,В бесконечно много, и невозможно вычислить интегралы по всем этим кривым. Поэтому для проверки потенциальности необходим другой критерий.

Теорема 3. 1) Если поле потенциально то симметрична производная матрица .

2) Если граница области D, в которой задано векторное поле, является односвязным множеством, и симметрична производная матрица , то поле потенциально.

Доказательство (ДОК 5).

1) Необходимость. Пусть поле потенциально. Тогда являются производными от какой-то общей функции , т.е. , . тогда , . Но смешанные частные производные 2-го порядка совпадают, значит, = .

а следовательно, = .

2) Достаточность. Сначала подробнее о том, почему односвязной должна быть даже не сама область, а её граница. Это означает, что внутри плоской области нет пустот, то есть областей, не принадлежащих данному множеству, то есть каждый контур можно стянуть в точку. Например, кольцо само как плоское множество является односвязным множеством, любую пару точек можно соединить какой-либо кривой. Но его граница не является односвязной, а состоит из двух окружностей, и не всякую пару точек на границе можно соединить кривой, лежащей на границе. Например, если А,В на внешней и внутреннней окружности, то соединяющая кривая проходит не только по границе:

Здесь мы будем использовать формулу Грина, которую доказали ранее, а там фактически неявно это и предполагали при записи двойного интеграла, когда для рассматривался отрезок , то есть такая ситуация, как для кольца, не рассматривается, а только множества без внутренних пустот.

Если производная матрица симметрична, то (в других обозначениях = ). Тогда , и двойной интеграл по любой плоской области равен 0: .

Но ведь тогда для любого замкнутого контура получается, что по формуле Грина, если двойной интеграл по его внутренней области 0, то и циркуляция по границе тоже 0:

= 0,

а если для любого контура циркуляция 0, то поле потенциально, что следует из теорем 1 и 2, доказанных ранее.

В 3-мерном случае требуется совпадение трёх пар производных, доказательство показано пока для 2-мерного случая, чтобы использовать формулу Грина. В 3-мерном случае будет использоваться формула Стокса, которую введём чуть позже.

Алгоритм нахождения потенциала.

1. Выяснить потенциальность поля, проверив симметричность производной матрицы (она сотоит из всех частных производных: от всех компонент векторного поля по всем переменным).

2. Найти потенциал, как скалярную функцию, равную криволинейному интегралу от фиксированной точки до произвольной.

Как правило, в качестве «начальной» фиксированной точки рассматривают начало координат, если же в функциях присутствуют к примеру или , то можно взять в качестве начальной точку (1,1) а не (0,0).

Путь от начальной точки до может быть по любой кривой, но практически лучше по ломаной, состоящей из отрезков, параллельных осям координат. Сначала от (0,0) к (x,0) а затем 2-е звено до точки (x,y).

Пример. Доказать, что поле потенциально и найти потенциал.

Решение. Шаг 1. Сначала найдём производную матрицу, вычислив все частные производные по всем переменным:

= . Мы видим, что она симметрична. Значит, поле потенциально.

Шаг 2. Найдём криволинейный интеграл от (0,0) до , соединив с помощью ломаной. Лучше всего даже обозначить конечную точку , чтобы не путать обозначение переменной, по которой ведётся интегрирование, и верхнего предела. Вычислив , затем мы учтём тот факт, что эта точка была произвольной, и сможем записать уже просто .

разбивается на сумму двух интегралов, по каждому участку ломаной, причём на каждом из них обнуляется один из двух дифференциалов: на горизонтальном отрезке меняется только , а тогда , на вертикальном меняется , тогда .

в обоих интегралах формально присутствуют оба слагаемых, но одно из них обнуляется, поэтому выглядит далее так, как будто распределилось по одному слагаемому в каждый интеграл.

в первом фиксировано , а на втором участке переменная уже достигла и далее не меняется, поэтому там .

Для данного конкретного примера получается

= = = .

Итак, , тогда можно сказать, что .

Проверка. , .

Определение. Дивергенция векторного поля.

(сумма элементов главной диагонали производной матрицы). Это скалярная величина.

Определение. Ротор векторного поля.

rot(F) = =

в других обозначениях это выглядит так: .

Таким образом, ротор - это некоторое новое векторное поле из 3 компонент, построенное с помощью исходного векторного поля.

Определение. Если ротор = 0 то поле называется безвихревым.

Обратим внимание, что при определении дивергенции используются 3 частных производных, которые расположены в производной матрице по диагонали: дифференцируется i-я компонента по i-й переменной, а при определении ротора - только производные компонент по «чужим» номерам переменных, таких 6 из 9 в производной матрице:

Причём, 3-я координата ротора это та разность, которая уже использовалась в формуле Грина. Если поле плоское, а именно , то отлична от 0 только лишь третья компонента, а именно та, которая была в формуле Грина.

Пример, демонстрирующий геометрический смысл ротора.

Рассмотрим векторное поле .

= .

т.е. если векторы в плоскости соответствуют вращению против часовой стрелки, то ротор направлен вверх.

Пусть две из трёх компонент векторного поля равны 0. Например, или или . Тогда все векторы направлены в одну сторону. Например, рассмотрим . Тогда векторное поле выглядит примерно так:

То есть, фактически здесь информацию содержит только скалярная функция , все векторы направлены по одной линии и отличаются лишь длиной. Тогда поток поля через поверхность можно вычислить через двойной интеграл , где D это проекция поверхности на плоскость 0xy, ведь в формуле: =

компоненты равны 0. Аналогично, если есть только одна ненулевая компонента то получится , а если то . Но ведь любой вектор в пространстве можно представить в виде суммы трёх векторов, параллельных осям. Таким образом, и векторное поле можно разложить на сумму 3 компонент, а именно . Тогда поверхностный интеграл 2 рода можно вычислить с помощью суммы трёх двойных интегралов по трём проекциям на координатные плоскости соответственно, т.е. верна ещё и такая формула:

= (*)

Пусть теперь L - замкнутая пространственная кривая, S - поверхность, натянутая на эту кривую, т.е. кривая является краем поверхности, для наглядности представьте например, окружность и полусферу, то есть, S не обязано лежать в плоскости. Да впрочем, и сам замкнутый контур L тоже не обязан лежать в плоскости. Так, например, гнутое железное колесо является хоть и замкнутой, но не плоской кривой. Циркуляция по контуру L выражается через поверхностный интеграл по S, а именно, равна потоку ротора через S. Эта взаимосвязь выражена в формуле Стокса, которая является обобщением формулы Грина на пространственный случай.

Формула Стокса. .

Кратко рассмотрим идею доказательства формулы Стокса. Надо рассмотреть 3 проекции на координатные плоскости. При подробной записи формулы Стокса, если расшифровать подробно все 3 координаты ротора и кроме того, применить при этом формулу (*) выведенную чуть выше, получим:

= .

Обратим внимание, что 3-е слагаемое в точности такое, как в формуле Грина. Если рассмотреть проекция векторного поля на координатную плоскость 0xy, а именно для поля , доказательство в точности такое, как было для формулы Грина, что приведёт к слагаемому

. Если то же самое сделать в двух других координатных плоскостях, 0xz и 0yz, то получим два других слагаемых.

Из формулы Стокса следует, что и в 3-мерном случае потенциальность векторного поля эквивалентна симметричности производной матрицы:

Действительно, если 3 пары частных производных совпадают: то ротор равен 0, а значит и поток ротора равен 0, но тогда по формуле Стокса и циркуляция равна 0, из чего следует потенциальность поля (чуть раньше это было выведено из формулы Грина для 2-мерного поля). Итак, эквивалентны такие 3 условия:

Симметрична производная матрица поле потенциально.

Пример. Доказать, что поле потенциально и найти потенциал.

Решение.

Сначала найдём матрицу из всех 9 частных производных.

= . Матрица симметрична, это в то же самое время означает, что ротор равен 0. Поле потенциально.

Вычислим криволинейный интеграл по ломаной,соединяющей точки и .

= = = = .

Тогда = .

Проверка:

= , = , = .

Рассмотрим ещё одну разновидность формул, взаимосвязывающих интеграл по границе и внутренней части области.

ЛЕКЦИЯ 4. 26.09.2018

Глава 2.

Доказательство (ДОК 9).

Обобщение любой функции на случай комплексного переменного можно проводить с помощью рядов. Поскольку существует любая степень мнимой единицы , например , , , и т.д. то этот подход возможен. Вспомним разложение экспоненты в ряд Тейлора.

Тогда вычислим =

теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .

но ведь в 1 и 2 скобках стоят разложения и . Итак, , что и требовалось доказать.

Теперь для любого числа можно вычислить :

= = = = .

Для сопряжённого числа можно вычислить аналогично:

= = = = .

(здесь воспользовались чётностью cos и нечётностью sin).

Получается, сопряжение под знаком экспоненты приводит

Доказательство (ДОК 10).

Рассмотрим для действительного числа и покажем, что данные функции, а именно и , приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус.

1) = = =

2) = = =

Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости.

Пример. .

Вычислим: = = .

Логарифм комплексного числа.

Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:

Доказательство (ДОК 11).

это означает так как синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного . Это равенство уже очевидно, так как это и есть тригонометрическая форма комплексного числа.

Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.

Пример. Вычислить .

Здесь , . Поэтому = .

Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее.

Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:

Пример. Вычислить .

= . Последовательность значений такова: каждая соседняя пара отличается на по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .

1) При фиксированном модуле исходного числа и увеличении его аргумента, эта последовательность точек плывёт вверх, при полном повороте на как раз следующая точка попадёт на место предыдущей.

2) При фиксированном аргументе исходного числа и увеличении его модуля, эта последовательность точек плывёт вправо, если исходная точка внутри единичной окружности то множество значений логарифма в левой полуплоскости, так как , а если вне единичной окружности, то в правой полуплоскости.

Динамическая анимация, показывающая поведение значений в зависимости от колебаний модуля или аргумента , показана в следующем обучающем видеоролике:

http://www.youtube.com/watch?v=LKFFn-TSLd0

Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует .

Пример. Вычислим .

Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли

. Тогда = = т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.

Для всякой функции можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде

. Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.

Пример. Разложить на действительную и мнимую часть, изобразить искажения плоскости при переходе .

1) = = = .

Таким образом, , .

Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом изменяется от до , пусть движение задано с помощью параметра :

Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости .

Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой:

. Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше.

На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы:

Пример. Разложить на действительную и мнимую часть.

Используем то, что нашли ранее: , тогда

= = .

Здесь

Пример. Разложить на действительную и мнимую часть.

По формуле Эйлера: = = = = , тогда , .

Изучим деформации плоскости при действии линейной функции вида , где коэффициенты , это тоже некоторые комплексные числа. При этом очевидно, что приводит к сдвигу плоскости на вектор , поэтому сначала более подробно изучим именно без сдвига.

= . Но такое отображение можно представить с помощью линейного оператора:

= .

Введём величину , тогда существует какой-то угол , для которого , . Причём заметим, что это именно , для исходного комплексного числа.

Тогда матрица линейного оператора имеет вид: то есть это композиция растяжения и поворота плоскости, причём поворот на угол , а растяжение или сжатие на .

(ДОК 12). Доказать что линейное отображение в комплексной плоскости есть композиция растяжения, поворота и сдвига.

На этом чертеже показано, как изменяется плоскость при линейном отображении. Красным веделено горизонтальное направление, после отображения оно повёрнуто.

Замечание. Отображение соответствует зеркальному отражению плоскости, т.е. оно не сводится к композиции поворота и растяжения.

ЛЕКЦИЯ 5. 03.10.2018

Доказательство. (ДОК 15).

Запишем 2 условия Коши-Римана. Одно продифференцируем по переменной , а второе по :

Сложим теперь эти 2 равенства, но при этом смешанные производные 2 порядка от при этом совпадают, они вычитаются и дают 0.

. Итак, .

Теперь снова запишем условия Коши-Римана, 1-е дифференцирует по , а второе по .

Теперь вычтем из 1-го равенства 2-е.

, тогда .

□

Пример. = . Здесь для не верно уравнение Лапласа: .

Теорема 4. Условия Коши-Римана эквивалентны условию .

Доказательство (ДОК 16). Вспомним, что можно выразить через таким образом: , . Сделаем это в функциях .

= .

Таким образом, функция стала выражена через два аргумента , а значит, можно искать частную производную по .

Вспомним формулу полной производной (из 1 семестра) для случая композиции типа : . Найдём производные от по этим методом, причём здесь тоже промежуточные переменные .

, .

При этом такие компоненты как и можно найти

из формул , , а именно :

= , = . Таким образом,

, .

Тогда = =

= =

= .

Выполнение условий Коши-Римана

в данном случае как раз и эквивалентно тому, что в обеих скобках нули, то есть .

□

Итак, как видим, наличие в составе функции приводит к недифференцируемости. Впрочем, то же верно и при наличии или , в составе которых есть элемент .

ЛЕКЦИЯ 6. 10.10.2018

Решение.

А) = =

, далее вычисляем 2 криволинейных интеграла по отрезку, на котором , заменяем , .

При этом . = = .

Б) Исходное раскрытие скобок происходит так же, как и в прошлом случае: но теперь линия это не отрезок, заданный явным уравнением , а парабола, заданная явным уравнением . Поэтому заменяем , .

= =

= .

Ответ. по отрезку: 1, по параболе: .

Как видим, в зависимости от формы кривой могут получиться разные ответы, но это здесь потому, что функция не аналитическая, она содержит , а мы доказывали теорему 4 в конце прошлого § о том, что аналитичность равносильна отсутствию в составе функции, то есть тому, что .

Теорема 1. Если замкнутый контур, внутри которого во всех точках является аналитической, то .

(ДОК 17). Доказательство. = =

в двух этих интегралах - циркуляция двух векторных полей и , они потенциальны по теореме 2 прошлого §, а тогда циркуляция равна 0, то есть получаем .

Теорема 2. Если является аналитической во всех точках некоторой области , граница которой односвязна, то интеграл от функции не зависит от пути, то есть имеет одно и то же значение для любой кривой , соединяющей пару точек .

(ДОК 18). Доказательство. Аналогично прошлой теореме,

= .

Криволинейные интегралы 2 рода от векторных полей и не зависят от пути, что доказано ранее в главе «теория поля».

Так как для аналитической функции интеграл не зависит от пути, то для аналитической функции оказывается возможным ввести понятие первообразной. Введём в рассмотрение такую функцию: которая каждой точке ставит в соответствие интеграл до неё от некоторой фиксированной точки . Вводится по аналогии с вычислением потенциала поля, только в данном случае, вычисляются потенциалы двух полей и . Докажем, что построенная таким образом функция является первообразной.

Теорема 3. Функция является первообразной от функции .

(ДОК 19). Доказательство.

Докажем, что производная от равна .

По определению производной, .

Распишем разность в числителе более подробно.

= .

потому что по свойству 2, в числителе сокращается интеграл по той части, которая от до , и остаётся только от до .

Итак, остаётся доказать равенство: , которое можно переписать в виде .

Распишем более подробно действительную и мнимую часть как в интеграле, так и в правом пределе.

Проведём исследование 1 из 4 слагаемых, остальные по аналогии.

Если рассматривать в проекции на горизонтальную ось, допустим, что фиксировано, то:

что эквивалентно

Но так как для непрерывной функции действительного переменного верна теорема о среднем, т.е. такое свойство: , то в данном случае можно утверждать, что существует такая точка , что выполняется , причём при точка , ведь она находится на отрезке, который стягивается в одну точку, в свою левую границу.

. Итак, мы исследовали 1-е слагаемое из 4-х, остальные аналогично, причём везде используются только функции действительного переменного, просто одни из них умножаются на в итоговой записи, а другие нет. Но для каждого элемента при этом можно использовать теорему о среднем как для действительной функции.

Теорема 4. Для аналитической на кривой функции верна формула Ньютона-Лейбница: .

(ДОК 20). Доказательство. По построению первообразной,

и .

Но тогда = а тогда по 3-му свойству

это , что равно интегралу по кривой, проходящей от до (через точку ).

Тогда = = т.к. по свойству 2, их можно объединить. Итак, = .

Пример. Вычислить от 0 до двумя способами:

А) без формулы Б) по формуле Ньютона-Лейбница.

Решение.

А) = =

Пусть точки 0 и соединены по прямой (вспомним, что интеграл не зависит от пути, поэтому можем соединить их как удобнее для вычислений). Тогда , , и

= = = .

Б) По формуле: = = = = .

Пример. Вычислить , где - окружность радиуса вокруг точки

Решение.

Способ 1. Представим функцию в виде . Движение по окружности можно задать формулами:

В этом случае . Тогда

= =

, домножим на сопряжённое, =

= =

= .

Способ 2. Представим = =

. Тогда .

= = = .

ЛЕКЦИЯ 7. 17.10.2018

Интегральная формула Коши

Заметим, что в последнем примере в конце прошлой лекции сократилось и ответ вообще не зависел от - радиуса окружности. То есть получается, при уменьшении или увеличении окружности ничего не изменится, если та же самая точка разрыва остаётся внутри, а замкнутый контур стягивается к ней, оставляя снаружи область аналитичности. Этот факт докажем в общем случае.

Теорема 1. (Интегральная теорема Коши).

Пусть некоторый замкнутый контур, - n замкнутых непересекающихся контуров, лежащих внутри . Функция является аналитической на всех этих контурах, а также внутри , но вне . Тогда .

Доказательство (ДОК 21).

Для того, чтобы лучше понять идею доказательства, рассмотрим сначала ситуацию, когда внутри расположен один контур , то есть оласть аналитичности - кольцо. Можно взять какую-либо пару точек на и соответственно (чтобы точкибыли максимально близко напротив друг друга) и соединить их отрезком. Тогда для комбинированого контура, состоящего из 4 частей: , , , внутренняя область, похожая на кольцо с разрезом, это область аналитичности. Мы один раз обходим этот контур, двигаясь по внешнему против часовой стрелки, поэтому и обозначено , затем переходя на внутренний контур по , затем двигаясь по внутреннему в противоположном направлении ( ), и возвращаясь по снова на внешний контур. Чертёж:

Но если комбинированный контур окружает область аналитичности, то интеграл по нему равен 0.

При этом интегралы по и и так взаимно уничтожаются, поэтому . Но если сменить направление движение по внутреннему контуру , то интеграл по нему сменил бы знак, тогда: .

Таким образом, интегралы по и одинаковы, то есть можно без изменения результата уменьшить область, стянув её к точке разрыва, оставив снаружи какую-то часть области аналитичности.

Если внутри несколько контуров, внутри которых нарушена аналитичности или даже существование функции, то применяется похожая схема рассуждений, только надо поочерёдно соединить отрезком с , затем с и так далее, до номера n.

Теорема 2. (Интегральная формула Коши).

Пусть является аналитической на контуре и внутри него, точка лежит внутри . Тогда .

Доказательство (ДОК 22).

В рассмотренном примере в конце прошлой лекции мы вычислили , то есть верно . Но мы можем домножить это равенство на любую комплексную константу, и тогда: . Впрочем, тогда это же верно и для константы : получаем . Мы получили выражение, очень похожее на то, которое надо доказать, но ещё не то: ведь здесь в числителе константа, а не функция. Вот если мы теперь ещё и докажем, что , или то же самое, что , то требуемое утверждение будет верно.

Рассмотрим функцию . Это функция, которая участвует в определении предела, ведь .

Таким образом, , то есть имеет конечный предел в точке , а это значит, что она ограничена в окрестности этой точки, . По теореме 1 (интегральная теорема Коши), интеграл по можно заменить на интеграл по любой малой окружности радиуса , лежащей внутри , результат при этом не изменится. Тогда = , где - максимальное значение модуля функции, - длина кривой, по которой происходит интегрирование. Но ведь по теореме 1 это должно быть верно для какого угодно малого . То есть меньше или равен любой бесконечно-малой величины. Тогда этот интеграл равен 0. То есть = = . Значит, , а тогда:

, т.е. доказано в итоге.

Интегральная формула Коши позволяет быстро вычислять интегралы по контуру вокруг точки разрыва, фактически не проводя подробное интегрирование. Достаточно убрать из знаменателя ту скобку , которая соответствует этой точке разрыва, подставить в остальную функцию и домножить на .

Пример. Вычислить .

Решение. Внутри окружности радиуса 1,5 всего одна из двух точек разрыва функции, вторая снаружи. Обозначим в качестве функцию без , как будто на делим чуть раньше, а на позже.

= , где это то, что именно обозначается в интегральной формуле Коши.

Тогда = = = . \

Ответ. .

Теорема 3. (Обобщённая интегральная формула Коши).

Пусть является аналитической на контуре и внутри него, точка лежит внутри . Тогда .

Доказательство (ДОК 23).

Продифференцируем по параметру правую и левую часть равенства в исходной интегральной формуле Коши.

= = = = .

Таким образом, .

Следующая производная от равна

= . Аналогично следующая (тертья от исходной функции) равна , далее по индукции для n-й производной получим = . Тогда .

Рассмотрим примеры, похожие на предыдущий, но в которых будет 2 или 3 степень скобки . По обобщённой интегральной формуле Коши, если скобка во 2 степени, надо не просто убрать её из знаменателя, а после этого ещё и один раз продифференцировать оставшуюся функцию, и лишь затем подставлять . А если 3 степень, то 2 раза продифференцировать, но с 3-й степени начинает ещё и изменяться коэффициент из-за того, что он уже не равен 1, а будет .

Пример. Вычислить .

Решение. = = = = = .

Ответ. .

Пример. Вычислить .

Решение. = = =

= = = .

Ответ. .

Далее докажем с помощью интегральной формулы Коши, что верно разложение в ряд Тейлора не только для функций действительного переменного (1 семестр), но и для комплексных функций.

Теорема 4. (Теорема о разложении в ряд Тейлора).

Пусть является аналитической в окрестности точки .

Тогда она представима в виде степенного ряда:

, где .

Доказательство (ДОК 24).

Рассмотрим окрестность точки и какую-нибудь точку , лежащую внутри неё. Пусть граница окрестности - кривая , а точку на ней обозначим .

Можно записать интегральную формулу Коши для точки в таком виде: (здесь и имеют такой же смысл, как ранее было и ).

Изучим дробь подробнее. Можно прибавить и отнять :

= а дальше преобразовать к виду суммы геометрической прогрессии, чтоб воспользоваться тем фактом, что . Причём выносить за скобку в знаменателе надо именно такой из двух блоков, чтобы получилось 1 и нечто меньшее по модулю, чем 1. Учитывая, что на границе, а внутри контура, то ближе к , чем . Поэтому , т.е.

Тогда = = =

. Подставим это выражение в интегральную формулу Коши вместо . Тогда = = .

Оставим внутри знака интеграла только те множители, которые зависят от . Получим но оставшийся внутри суммы интеграл можно преобразовать по обобщённой интегральной формуле Коши из теоремы 3, ведь если то .

Тогда = .

Получилось разложение в ряд Тейлора с коэффициентами .

Теорема 5. (Теорема о разложении в ряд Лорана).

Пусть является аналитической в некотором кольце с центром , тогда она представима в виде ряда .

Доказательство (ДОК 25).

Обозначим внутреннюю и внешнюю границы кольца через и . Возьмём произвольную точку в кольце. Окружим её контуром малого радиуса, так, чтобы он не пересекался с и .

По теореме 1, , впрочем, тогда

. Но третий интеграл по контуру , внутри которого только одна точка нарушения аналитичности функции , а именно точка . Тогда третий интеграл сразу можно по интегральной формуле Коши представить в виде значения функции:

Тогда .

В каждом из интегралов преобразуем выражение с помощью геометрической прогрессии. В первом из них почти как в предыдущей теореме, потому что , т.е. . А вот во втором, преобразование будет чуть иначе, потому что для точки , наоборот, и соответственно, .

Если : = = = = .

Если : = = =

= = .

Тогда

В первой части снова по обобщённой интегральной формуле Коши,

а во 2 части сделаем сдвиг индексов на 1 пункт.

Мы получили такую структуру ряда, где представлены все целые степени, и положительные, и отрицательные:

а если бы мы ещё сделали замену индекса для 2 части, чтобы подчеркнуть, что там именно отрицательные степени, то получили бы

где т.е. коэффициенты при отрицательных степенях во 2 части приобрели бы точно такой же вид, как и в 1 части, с той разницей лишь, что с отрицательной степенью в знаменателе, хоть и формально написан в знаменателе, но реально располагается в числителе. Так, например,

, .

ЛЕКЦИЯ 8. 24.10.2018

Сначала рассмотрим ещё некоторые примеры на интегральную формулу Коши, которую мы доказали на прошлой лекции.

Пример. Вычислить .

Решение. Здесь степень множителя в знаменателе равна 2. Есть всего одна точка разрыва, а именно . Конкретизируем обобщённую интегральную формулу Коши для этого случая.

, при n = 1 получается

= .

Отсюда следует, что

Тогда = = = .

Ответ. .

Пример. Доказать, что = 0 для любого целого числа .

Решение. Здесь по обобщённой интегральной формуле Коши при любом n получается, что . Затем любая производная от константы есть 0. Поэтому результат всегда 0.

Впрочем, если бы мы вычисляли даже старым способом без интегральной формулы Коши (как в конце лекции 6 на странице 56), то получалось бы = = =

но оба интеграла здесь равны 0, потому что целое число, а значит, на отрезке один или больше полных периодов, что приводит к нулевому интегралу. И лишь при результат получается (а это было в примере на стр. 56 в конце лекции 6).

Кватернионы.

Указанные выше причины не препятствуют построению числовых систем в случае чётной размерности. Так, если сделать по аналогии перехода от действительных чисел к комплексным, удвоить размерность и образовать числа вида из пары комплексных чисел, где второе умножено ещё на какой-то объект , то получается 4-мерная система с тремя мнимыми единицами и числами вида , которые называются кватернионами.

При этом это мы изначально называем произведение 1-й и 2-й мнимых единиц некоторой третьей мнимой единицей.

Получается антикоммутативная система с умножением:

, , , , , .

. Умножение на 1 сохраняет любой объект неизменным. Получается таблица:

Таблица умножения базисных элементов системы кватернионов.

	1
1	1

Обратите вниание, что законы умножения в системе кватернионов , , легко запомнить, если представить с помощью цикла:

При умножении каждой пары получается следующий, если двигаться строго по часовой стрелке. Ещё обратите внимание, что мнимые единицы системы кватернионов подчиняются таким же законам, как векторное умножение в 3-мерном пространстве. Там тоже , , . Векторное произведение пары векторов есть общий перпендикулярк ним, причём так чтобы получалась правоориентированная тройка. Векторное умножение было придумано Гамильтоном в 1843 году как раз одновременно с системой кватернионов.

Как и для комплексных чисел, здесь есть понятие «сопряжённый кватернион». Если то . При этом , то есть можно также ввести понятие модуля кватерниона: = .

Подробнее о том, почему получается .

но система антикоммутативна, т.е. , поэтому все эти суммы в скобках равны 0, вот и остаётся .

Нули аналитической функции.

Определение. Точка называется нулём функции , если .

Мы сначала изучим нули функции, для того, чтобы затем изучить более подробно типы точек разрыва. Если является нулём для то в этой же точке предел равен .

Вспомним, что в 1 семестре было ещё название «бесконечно-малая» и «бесконечно-большая» функция в точке. Бесконечно-малые могли быть разных порядков. Есть и здесь аналогичное более подробное определение, различающее порядки бесконечно малых:

Определение. Точка называется нулём порядка m функции , если и функция представима в виде , где .

Кстати, здесь ещё можно напомнить, что для многочленов тоже было известно понятие корня кратности m, и аналогия тут прямая.

Теорема 1. (О виде ряда Тейлора в окрестности нуля порядка m).

Если нуль порядка m функции , то ряд Тейлора имеет вид

т.е. начинается именно со степени m.

Доказательство (ДОК 27). Если , где , то ряд Тейлора функции обязательно начинается с константы, а иначе не было бы . Тогда:

что и приводит к виду

Теорема 2. (Об изолированности нулей).

Если является нулём порядка m функции , то существует окрестность , не содержащая других нулей этой функции.

Доказательство (ДОК 28). Если является нулём порядка m функции , то . Первый множитель обращается в 0 только в самой точке и нигде больше. Второй в точке отличен от 0. Но , а так как эта функция аналитическая и значит, непрерывная, то существует окрестность , в которой т.е. не обращается в 0 ни в одной её точке. Итак, есть произведение двух множителей, где первый равен 0 только в , а второй нигде в окрестности . Таким образом, в произведение обращается в 0 только в .

Следствие 1. Если существует последовательность нулей функции, сходящаяся к , то в некоторой окрестности .

ЛЕКЦИЯ 9. 31.10.2018

Особые точки

Определение. Точка называется правильной точкой функции , если является аналитической в , и особой точкой, если она не является аналитической в .

Определение. Точка называется изолированной особой точкой, если в некоторой её окрестности нет других особых точек.

Существует такая классификация особых точек в зависимости от предела .

Название	Устранимая особая точка	Полюс	Существенно-особая точка
При каком условии			не существует
Пример ( )	=	=	=

Теорема 1. Точка является нулём функции она является полюсом функции .

Доказательство. Точка является нулём функции функция представима в виде , причём

. Это эквивалентно тому, что =

, где , а предел знаменателя равен 0. Это означает, что .

В связи с этим, естественным образом возникает определение полюса порядка : точка называется полюсом порядка m для функции , если для функции она является нулём порядка m.

Теорема 2.

(О взаимосвязи типа особой точки и строения ряда Лорана).

1). устранимая особая точка остутствует главная часть ряда Лорана.

2) полюс главная часть ряда Лорана содержит конечное количество слагаемых.

3) существенно-особая точка главная часть ряда Лорана содержит бесконечное количество слагаемых.

Доказательство (ДОК 29). Напомним строение ряда Лорана в окрестности точки в общем случае:

Пункт 1) Если присутствует хотя бы одна отрицательная степень, то не будет конечным числом. Таким образом, если то , причём .

И обратно, если то , потому что , ведь каждое слагаемое кроме стремится к 0.

Пункт 2) Точка является полюсом порядка m эквивалентно тому, что , где функция в числителе имеет ненулевой предел, поэтому её разложение в ряд имеет вид:

Тогда =

то есть крайняя отрицательная степень это именно число если порядок полюса m.

В главной части может быть не ровно m слагаемых, а какие-то пропущены (коэффициенты 0) но крайнее левое имеет именно степень, равную .

И обратно, если крайняя левая степень , то можно представить в виде

т.е. , и тогда точка является полюсом.

Пункт 3) Если точка является существенно-особой, но при этом допустить, что главная часть ряда Лорана состоит из нулевого либо из конечного количества слагаемых, то согласно предыдущим пунктам, получали бы противоречие: точка или устранимая, или полюс, и не является существенно-особой. Таким образом, из того, что она существенно-особая, логически следует бесконечность главной части ряда. И обратно, если главная часть бесконечна, то невозможно допустить, что точка полюс или устранимая, иначе сразу получалось бы противоречевое условие, что главная часть конечна.

Пример. Найти все особые точки и указать их тип для .

Решение. Преобразуем знаменатель: =

= . В знаменателе 3 нуля, причём каждый 1-го порядка, а именно . Следовательно, для функции 3 полюса 1-го порядка: .

Пример. Указать тип всех особых точек для функции:

Решение. В знаментателе нули 1-го, 2-го и 3-го порядка, а именно, точки 2,3 и 4. Тогда для : полюс 1-го порядка,

полюс 2-го порядка, полюс 3-го порядка.

Теорема 3. Если , причём точка является нулём порядка m для функции , и нулём порядка n для функции , то при точка устранимая или правильная точка, а при полюс порядка для функции .

Доказательство (ДОК 30). Если - нуль порядка m и n соответственно для числителя и знаменателя, то = = где для каждой из двух функций. Тогда можно обозначить и в итоге , это и означает, что полюс порядка .

Пример. Определить тип особой точки для функции .

Решение. Представим функцию в числителе в виде разложения в ряд Тейлора.

= = в числителе нуль 1 порядка, а в знаменателе 4-го. Тогда точка полюс 3 порядка.

= = . В числителе после сокращения осталась функция, имеющая ненулевой предел.

Вычеты

Определение. Пусть замкнутый контур, внутри него точка , на самом контуре и внутри него нет особых точек, кроме . Тогда интеграл называется вычетом функции в точке и обозначается .

Теорема 1. Вычет функции равен коэффициенту в разложении в ряд Лорана. .

Доказательство. В § 5 прошлой главы («интегральная формула Коши») доказывали теорему 5 о разложении в ряд Лорана, и получили, в частности, . А правое выражение это и есть вычет.

Теорема 2. Если - правильная точка или устранимая особая точка, то .

Доказательство. Если , а для правильной или устранимой особой точки по теореме 2 прошлого параграфа, то .

Теорема 3. Если простой полюс (т.е. 1-го порядка) то верна формула вычисления вычета: = .

Доказательство (ДОК 31). Можно доказать двумя методами:

1) с помощью ряда Лорана

2) с помощью интегральной формулы Коши.

Способ 1. Рассмотрим ряд Лорана. Если полюс 1-го порядка, то крайняя отрицательная степень равна , то есть ряд имеет такой вид:

Домножим на , чтобы выразить крайний коэффициент .

Теперь все слагаемые стремятся к 0 при , кроме .

, при этом из теоремы 1 известно, что .

Тогда = .

Способ 2. Если полюс 1-го порядка, то функцию можно представить в виде: , тогда верно . В то же время по интегральной формуле Коши: .Тогда .

= = = .

Что и требовалось доказать.

Оставшиеся лекции:

ЛЕКЦИЯ 13. 28.11.2018 Ряды Фурье

ЛЕКЦИЯ 14. 05.12.2018 Ряды Фурье

Приложение 1. Список доказательств в билеты.

(ДОК 1). Вывести формулу поверхностного интеграла 2 рода:

= .

(ДОК 2) Докажите формулу Грина: .

(ДОК 3) Доказать, что криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути циркуляция по замкнутому контуру равна 0.

(ДОК 4) Доказать, что поле F потенциально криволинейный интеграл 2 рода от F не зависит от пути.

(ДОК 5) Доказать, что поле F потенциально симметрична производная матрица.

(ДОК 6) Докажите формулу Остроградского-Гаусса: .

(ДОК 7) Докажите, что =0, = 0.

(ДОК 8).Докажите формулы ,

(ДОК 9). Докажите формулу Эйлера .

(ДОК 10) Докажите формулы: , .

(ДОК 11) Докажите формулу логарифма .

(ДОК 13). Докажите теорему: Функция дифференцируема и дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана: и .

(ДОК 14). Докажите, что дифференцируемая функция векторные поля и потенциальны.

(ДОК 15). Если функция является аналитической в некоторой области D, то для каждой из её частей (действительной и мнимой) в этой области выполняется уравнение Лапласа:

и .

(ДОК 16). Доказать, что условия Коши-Римана эквивалентны условию .

(ДОК 17). Докажите, что если замкнутый контур, внутри которого во всех точках является аналитической, то .

(ДОК 18). Докажите, что если является аналитической во всех точках некоторой области , граница которой односвязна, то интеграл от функции не зависит от пути, то есть имеет одно и то же значение для любой кривой , соединяющей пару точек .

(ДОК 19). Докажите, что функция является первообразной от функции .

(ДОК 20). Докажите, что для аналитической на кривой функции верна формула Ньютона-Лейбница: .

(ДОК 21). Доказать интегральную теорему Коши о том, что .

(ДОК 22). Доказать интегральную формулу Коши:

(ДОК 23). Доказать обобщённую интегральную формулу Коши: .

(ДОК 24). Доказать теорему о разложении функции в ряд Тейлора.

(ДОК 25). Доказать теорему о разложении функции в ряд Лорана.

(ДОК 26). Доказать, что не существует числовой системы нечётной размерности без делителей нуля.

(ДОК 27). Доказать теорему о виде ряда Тейлора в окрестности нуля порядка m.

(ДОК 28). Доказать теорему об изолированности нулей.

(ДОК 29). Теорема о взаимосвязи типа особой точки и строения ряда Лорана.

(ДОК 30). Доказать теорему: Если , причём точка является нулём порядка m для функции , и нулём порядка n для функции , то при точка устранимая или правильная точка, а при полюс порядка для функции .