Если обозначить через  вероятность появления отказа в каждом из испытаний ( ),  — число испытаний,  - возможное число появления отказов при  испытаний, то вероятности возможных значений , т.е. вероятности возможных значений рассматриваемой случайной величины , определяются по формуле Бернулли:

 - число всех возможных сочетании, которое можно образовать из  испытаний, собирая в каждом из них по  отказов.

Распределение дискретной случайной величины, определяемое данной формулой, называется биноминальным распределением.

В качестве примеров практического применения биномиального закона можно указать:

1. статический контроль качества выборки изделия, составляющей не более 10% от объема партии;

2. определение количества отказов невосстанавливаемых изделий в течение заданного времени при их испытаниях.

В обоих случаях количество бракованных изделий или количество отказов подчиняется биномиальному закону распределения.

Биноминальное распределение так же может использоваться для определения количества отказов неремонтируемых изделий в течении заданного времени испытаний при достаточно большой вероятности отказа ( ).

При  может быть заменено нормальным законом распределения.

Распределение Пуассона

Распределение Пуассона, иногда, так же, как и биномиальное распределение, распространяется на те случаи, когда случайная величина принимает целые и положительные значения.

Физический смысл распределения Пуассона такой же, как и биномиального, т.е. оно определяет вероятность появления в малых выборках различных значений случайной величины  (например, отказов).

Эта вероятность находится по формуле: ;

 – вероятность отказа в одном испытании;  —количество изделий в выборке;

Сущность распределения Пуассона может быть показана геометрически.

Допустим в координатной плоскости  выделена фиксированная площадь , в которой случайным образом распределено определенное число точек . Необходимо знать, с какой вероятностью можно ожидать, что в элементарную площадку  из общего числа точек попадает заданное число точек .

При этом, должны соблюдаются следующие условия:

1. точки распределены на площади  с одинаковой плотностью , т.е. имеет место простейший поток точек (свойство стационарности);

2. распределение точек в плоскости независимое, т.е. попадания того или иного числа точек в неперекрывающиеся участки площади независимы;

3. , т.е. вероятность попадания двух или более точек на элементарную площадку  пренебрежимо мала по сравнению с попаданием одной точки (свойство ординарности).

Т.е., для , в рассмотренной геометрической интерпретации закона Пуассона величина .

Распределение Пуассона можно использовать:

1. как заменитель биномиального распределения в тех случаях, когда действует биномиальный закон, но вероятность ;

2. при выполнении ряда расчетов по надежности и при испытаниях ремонтируемых изделий, для которых распределение Пуассона имеет самостоятельное значение.

В частности, для ремонтируемых изделий при установившихся режимах работы случайное число отказов распределено по закону Пуассона. В этом случае возможность применения закона Пуассона не зависит от величины вероятности .

Для того чтобы доказать правильность предположения о наличии пуассоновского распределения случайных величин на практике вычисляют  и . И, если их значения близки, то это подтверждает правильность предположения о наличии распределения Пуассона.

Заметим, что распределение Пуассона при  трансформируется в экспоненциальное распределение.