Теорема умножения вероятностей - вероятность произведения независимых совместных событий равна произведению вероятностей этих событий (сложное событие , заключающееся в одновременном осуществлении нескольких событий , называется произведением исходных событий)

Т.е. сложное событие А, заключающееся в одновременном осуществлении нескольких событий, называется произведением исходных событий и условно обозначается

По теореме умножения вероятность произведения независимых совместных событий равна произведению вероятностей этих событий:

Если события несовместны, то произведение таких событий является невозможным событием, вероятность которого равна нулю.

Теорема полной вероятности.

При решении определенных практических задач вычисление вероятности появления некоторого события можно существенно облегчить, если связать появление этого события с возникновением единственно возможных и несовместных событий, под которыми понимаются гипотезы о всех возможных исходах испытаний.

Так, например, необходимо оценить вероятность безотказной работы двигателя в полете; в то же время известно, что отказ двигателя в полете может вызываться отказами различных элементов, узлов и систем двигателя.

Известна также степень влияния различных отказов составных частей двигателя на отказ двигателя в целом. Например, нарушение газодинамической устойчивости неизбежно приводит к самовыключению двигателя; погасание форсажной камеры приводит к значительному снижению силы тяги, однако двигатель при этом продолжает работать.

Поэтому для облегчения вычисления вероятности отказа  (или безотказной работы ) двигателя удобно ввести следующие гипотезы о влиянии отдельных отказов составных частей двигателя на отказ его в целом.

Обозначим  — нарушение газодинамической устойчивости;  — погасание форсажной камеры; — нарушение системы управления и т. д.

Для решения поставленной задачи, т.е. для определения вероятности отказа двигателя при появлении того или иного события нет надобности в проведении испытаний с доведением двигателя до отказа (самовыключения), а достаточно определить из ряда частных, или поэлементных, испытаний вероятность появления каждого в отдельности из рассматриваемых отказов элементов или узлов.

Дальше можно решать задачу определения условной вероятности отказа двигателя при появлении рассматриваемых отказов, т.е. при осуществлении выбранных гипотез.

Таким образом, необходимо определить условные вероятности отказа двигателя при нарушении газодинамической устойчивости — , при погасании форсажной камеры —  и т.п.

Зная вероятность гипотез  и условные вероятности появления события  при осуществлении этих гипотез  , можно определить вероятность отказа (или безотказной работы) двигателя.

Для этой цели используется формула полной вероятности.

Запишем условия, при которых применяется формула полной вероятности:

1 условие: некоторое интересующее нас событие  может наступить или не наступить с одним из ряда несовместных событий составляющих полную группу событий.

События такого ряда называют гипотезами. Вероятности этих гипотез известны, т.е. даны

Так как мы имеет полную группу событий, то

2 условие: известны условные вероятности появления события  при осуществлении каждой из указанных гипотез, т. е. даны

Требуется найти вероятность события .

Событие  может осуществиться, если произойдет одно из следующих возможных событий:

— осуществилась гипотеза (с вероятностью ), тогда вероятность зависимого от этой гипотезы события  будет равна ;

— осуществились гипотезы  и соответственно имеем .

Полная искомая вероятность события А определится по следующей формуле полной вероятности:

Итак, полная вероятность событий равна сумме парных произведений вероятностей каждой из гипотез на отвечающие им условные вероятности появления этого события.

При определении полной вероятности необходимо следить за тем, чтобы были учтены все гипотезы, при которых могут наступить интересующие нас события.

Свидетельством учета всех условий является выполнение равенства:

Кроме того, необходимо обращать внимание на то, чтобы гипотезы  были несовместными.

4.4 Теорема гипотез (формула Байеса)

При рассмотрении формулы полной вероятности предполагается, что вероятности появления гипотез известны заранее, т.е. еще до проведения испытаний.

С другой стороны, в результате проведенных испытаний можно определить фактическую вероятность появления события  в зависимости от той или иной гипотезы.

Требуется установить в каком соотношении будут находиться вероятности гипотез, принятых до проведения испытаний, если известно, что в результате испытаний произошло событие .

Пусть до проведения испытаний известны вероятности каждой из гипотез

В результате испытаний появляется событие А, вероятности которого по каждой из гипотез известны, т. е. известны:

Определим какие вероятности имеют гипотезы с учетом полученных результатов испытаний при условии появления события , т.е. найдем .

Используя теорему умножения вероятностей и формулу полной вероятности, получаем формулу Байеса:

Итак, теорема Байеса формулируется следующим образом:

Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, деленному на полную вероятность этого события.

Сумма вероятностей гипотез как до, так и после испытаний должна быть равна единице, т.е.