Случайная величина. Дискретная и непрерывная случайные величины. Закон распределения случайной величины.

[1] Глава 7, стр. 318-323;

[5] Часть 2, Глава 5 стр. 188-191;

[6] Глава 2, стр. 102-105.

Основные понятия.

Случайной величиной называется переменная величина, которая в зависимости от исхода испытания случайно принимает одно значение из множества возможных значений.

Примеры. 1). Число очков, выпавших при однократном бросании игральной кости, есть случайная величина, она может принять одно из значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6;

2) прирост массы домашнего животного за месяц есть случайная величина, которая может иметь значение из некоторого числового промежутка;

3) число родившихся мальчиков среди пяти новорожденных есть случайная величина, которая может принять значения 0, 1, 2, 3, 4, 5;

4) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия, есть случайная величина, возможные значения которой принадлежат некоторому промежутку.

Случайные величины обычно обозначают прописными буквами X, Y, Z, а их возможные значения — соответствующими строчными буквами х, у, z. Например, если случайная величина А имеет три возможных значения, то они будут обозначены так:

х₁, х₂, х₃.

Случайная величина, принимающая конечное число значений называется дискретной случайной величиной. Дискретная случайная величина Х может быть задана рядом распределения. Рядом распределения называется совокупность всех возможных значений х _i и соответствующих им вероятностей р _i = Р ( Х = х _i ), он может быть задан в виде таблицы:

При этом вероятности р _i удовлетворяют условию р _i = 1.

Например, закон распределения случайной величины, равной выпавшему числу при бросании кубика выглядит следующим образом:

.        

Графическое изображение ряда распределения называется многоугольником распределения. Для его построения возможные значения случайной величины (х _i) откладываются по оси абсцисс, а вероятности р _i - по оси ординат; точки c координатами (х _i, р _i) соединяются прямыми отрезками.

Пример 44. В урне находятся 3 черных и 2 белых шара. Из урны наугад извлекают 2 шара. Случайная величина X - число белых шаров среди извлеченных. Записать закон распределения случайной величины X, сделать проверку. Построить многоугольник распределения.

r Случайная величина может принять значения 0, 1, 2. Число возможных исходов опыта равно

          .

Вероятность того, что X = 0, есть вероятность события «извлечены 2 черных шара». Число благоприятствующих исходов равно . Следовательно P(X = 0) =0,3.

Вероятность того, что X = 1, есть вероятность события «извлечен 1 белый и 1 черный шар». Число благоприятствующих исходов равно . Следовательно P(X = 1) =0,6.

Вероятность того, что X = 2, есть вероятность события «извлечены 2 белых шара». Число благоприятствующих исходов равно . Следовательно P(X = 1) =0,1.

Закон распределения случайной величины X =

Проверим правильность построения закона распределения: р _i =0,3+0,6+0,1=1.

Закон построен верно.

Многоугольник распределения будет иметь вид:

p

Вопросы для повторения

1. Дайте определения случайной величины, приведите пример.

2. Какая случайная величина называется дискретной? Приведите пример.

3. Каким образом задается дискретная случайная величина?

4. Как называется графическое представление дискретной случайной величины? Приведите пример.