Общие теоретические сведения
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

 Обобщенная теорема Котельникова

Исходя из формулировки т. Котельникова, можно сделать заключение о том, что устройства могут оцифровывать сигнал только с ограниченным сверху спектром. Спектр сигнала является бесконечным. На практике сигналы с теоретически бесконечным спектром передаются устройствами, имеющими определенный диапазон рабочих частот. Эти системы отфильтровывают высшие гармоники в спектре аналогового сигнала, ограничивая частотой Fверх. При проведении этой процедуры необходимо учитывать, что передается 90% сигнала.

Интервал дискретизации D удовлетворяет условиям теоремы Котельникова, то есть устанавливает возможность точного восстановления мгновенных значений сигнала с ограниченным спектром исходя из отсчетных значений (выборок), взятых через равные промежутки времени D.

В теореме Котельникова показано, что произвольный сигнал, спектр которого не содержит частот выше Fв (Fв – верхняя частота спектра сигнала), может быть полностью восстановлен, если известны отсчетные значения этого сигнала, взятые через равные промежутки времени .

 

Узкополосным (относительно узкополосным) называют сигнал, ширина спектра ∆F которого значительно меньше его средней частоты fср:

,                                                             (19)

что практически всегда имеет место в многоканальных системах с частотным разделением.

Ширина и средняя частота спектра определяются по следующим формулам:

,                                                    (20)

,                                                   (21)

.                                                       (22)

 Для таких сигналов частота дискретизации, выбираемая из условия, будет избыточно высокой, особенно для радиосигналов, когда она может составить сотни мегагерц, в результате чего обработка в реальном времени окажется сомнительной либо по причине сложности алгоритма, либо вследствие ограниченности технических возможностей существующей элементной базы. Кроме того, очевидна и нецелесообразность такого подхода к дискретизации, поскольку информация о сигнале содержится не в частоте fmax, а в огибающей или фазе (при угловой модуляции), которые изменяются во времени медленно при относительно низких частотах модуляции.

 Обобщенная теорема Котельникова приводит к другому условию выбора частоты дискретизации:

,                                                    (23)

где q имеет смысл номера диапазона частот и может принимать только целые значения.

.                                                 (24)

Следовательно, значение fд может выбираться из ряда допустимых диапазонов.

С ростом значения q частота fд уменьшается, и спектр сигнала сдвигается влево. Это обстоятельство позволяет выбрать такую частоту fд, при которой расстояние ∆fср между средними частотами соседних копий спектра дискретного сигнала будет максимальным и составит fд/2, что возможно лишь в том случае, когда средняя частота fср спектра сигнала окажется в точке fср = fд/4.

Рис. 28. Амплитудные спектры: аналогового сигнала (а); дискретного сигнала при q1=1 (б); при q2>1 (в); при q3>q2 и fср= fд/4(г)

Задание на практическую работу (Технология выполнения)

Задание 1. Исследовать математическую модель амплитудно-модулированного сигнала.

SАМ( t )=N*(1+cos2πN103t)cos2πN106t, где N - номер варианта

Рассмотрим пример выполнения задания для амплитудно-модулированного сигнала SАМ.

SАМ(t)=1*(1+cos2π20000t)cos2π106t, где SАМ – амплитудно-модулированный сигнал с несущей частотой fн=1 MГц, модулированный сигналом с частотой 20 кГц.

Рис. 29. Спектр исследуемого амплитудно-модулируемого сигнала Рис. 30. Осциллограмма исследуемого АМ-сигнала

 

Задание 2. Проверить выполнение условия относительно узкополосных сигналов для исследуемого АМ-сигнала в соответствии с заданным вариантом.

Условие относительно узкополосного сигнала:

Пример выполнения условия для сигнала из задания 1:

Ширина спектра сигнала ∆Fобщ = fmax - fmin = 0,04 MГц.

Рассматриваемый сигнал является относительно узкополосным:

Задание 3. Определить количество возможных поддиапазонов частот для выбора частоты дискретизации АМ-сигнала в соответствии с заданным вариантом.

Условие выбора частоты дискретизации:

,

где q имеет смысл номера диапазона частот и может принимать только целые значения:

. (25)

 

В рассмотренном примере количество диапазонов возможных частот дискретизации qmax:

Из расчета следует, что существует 25 допустимых диапазонов для выбора частоты дискретизации. Границы диапазонов частот приведены в таблице 1. 

 

Таблица 1. Допустимые диапазоны для выбора частоты дискретизации

q

Диапазон частоты дискретизации, MГц

q Диапазон частоты дискретизации, МГц

1

2,04 ≤ fd≤ ∞ 13 0,156 ≤ fd ≤ 0,163

2

1,02 ≤ fd ≤ 1,96 14 0,145 ≤ fd ≤ 0,150

3

0,68 ≤ fd ≤ 0,98 15 0,204 ≤ fd ≤ 0,217

4

0,51 ≤ fd ≤ 0,65 16 0,1275 ≤ fd ≤ 0,130

5

0,408 ≤ fd ≤ 0,49 17 0,12 ≤ fd ≤ 0,1225

6

0,34 ≤ fd ≤ 0,392 18 0,113 ≤ fd ≤ 0,115

7

0,2914 ≤ fd ≤ 0,326 19 0,107 ≤ fd ≤ 0,108

8

0,255 ≤ fd ≤ 0,28 20 0,102 ≤ fd ≤ 0,103

9

0,226 ≤ fd ≤ 0,245 21 0,097 ≤ fd ≤ 0,098

10

0,204 ≤ fd ≤ 0,217 22 0,092 ≤ fd ≤ 0,093

11

0,185 ≤ fd ≤ 0,196 23 0,088 ≤ fd ≤ 0,089

12

0,17 ≤ fd ≤ 0,178 24 0,085 ≤ fd ≤ 0,0852

 

  25 0,0816 ≤ fd ≤ 0,08166
         

 

При q = 1 выполняется условие , поэтому использование данного диапазона частот нецелесообразно. Остальные допустимые диапазоны с точки зрения обобщённой теоремы Котельникова, равноценны – все обеспечивают корректную дискретизацию заданного относительно узкополосного сигнала. Однако выбор fд зависит от конкретной задачи обработки сигнала, и с этой точки зрения диапазоны с номерами 2-25 дают различный эффект при переносе спектра в область нижних частот и последующей фильтрации сигнала. При выборе частоты дискретизации в других допустимых диапазонах с номерами q=2..25 происходит пропорциональное смещение спектра по оси частот влево. При этом должны выполняться два условия: расчет частоты сдвига f0q и частоты дискретизации fДq. Применив расчеты для рассматриваемого примера определены допустимые частоты дискретизации (таблица 1).

 

Задание 4. Определить допустимые значения частот сдвига спектра относительно узкополосного сигнала f0q и частоты дискретизации fДq для исследуемого АМ-сигнала в соответствии с вариантом.

Расчет частоты сдвига f0q

,                                                          (26)

частоты дискретизации fДq

,                                                      (27)

S=2q-1.                                                              (28)

Пример расчета S, f0q, fдq  для сигнала из задания 1 приведен в таблице 2.

 

Исключив иррациональные значения, получены две допустимые частоты дискретизации при q= 3, 13. При выборе допустимого диапазона частот дискретизации q спектр дискретизированного сигнала смещается в область низких частот при:

1. q=3 частота сдвига спектра f0q=200000Гц, частота дискретизации fдq=800000Гц.

2. q=13 частота сдвига спектра f0q=40000Гц, частота дискретизации fдq=160000Гц.

Выбор между ними определятся только удобством дальнейшей обработки.

Значения S= 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48 не используются, так как сигнал и его спектр, при соответствующей частоте дискретизации, сильно искажены.

 

Таблица 2. Допустимые диапазоны для выбора частоты дискретизации.

S f0q fдq q
1 1000000 4000000 1
3 333333,33 1333333,33 2
5 200000 800000 3
7 142857,143 517428,571 4
9 111111,111 444444,444 5
11 90909,0909 363636,364 6
13 76923,0769 307692,308 7
15 66666,667 266666,667 8
17 58823,5294 235294,118 9
19 52631,5789 210526,316 10
21 47619,0476 190476,19 11
23 43478,2609 173913,043 12
25 40000 160000 13
27 37037,037 148148,148 14
29 34482,7586 137931,034 15
31 32258,0645 129032,258 16
33 30303,0303 121212,121 17
35 28571,4286 114285,714 18
37 27027,027 108108,108 19
39 25641,0256 102564,103 20
41 24390,2439 97560,9756 21
43 23255,814 93023,2558 22
45 22222,2222 88888,8889 23
47 21276,5957 85106,383 24
49 20408,1633 81632,6531 25

Задание 5. Привести спектр относительно узкополосного АМ-сигнала (в соответствии с заданным вариантом), смещенного в область низких частот.

Пример спектра приведен на рис. 31.

 

 
Рис.31. Перенос спектра в низкочастотную область без потери качества

 

5 Контрольные вопросы

1. Методика дискретизации узкополосного сигнала.

2. Восстановление узкополосного сигнала по дискретным отсчетам.

3. Влияние параметров узкополосного сигнала (амплитуды и частоты) на процесс дискретизации и восстановления.

Список рекомендуемой литературы

1. Микушин А.В., Сажнев А.М., Седина В.И. «Цифровые устройства и микропроцессоры», СПб.: БХВ-Петербург – 2010.

2. Угрюмов Е.П. «Цифровая схемотехника»,2-е издание. Учебное пособие для ВУЗов. СПб. 2007.

3. Солонина А. И., Улахович Д. А., Арбузов С. М., Соловьева Е. Б., Гук И. И. Основы цифровой обработки сигналов: Курс лекций. СПб.: БХВ-Петербург, 2010.

 

Лабораторная работа № _3_

Количество часов, отводимых на выполнение лабораторной работы _2_

Дата: 2018-11-18, просмотров: 399.