I . Декартово произведение двух множеств

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Прямым (или декартовым) произведением множеств А и В называется множество, элементами которого являются все упорядоченные пары (a;b), в которых первой компонентой является элемент из А, второй компонентой – элемент из В.

Прямое произведение множеств А и В обозначается А´В.

По определению: А´В={(x;y):xÎA, yÎB}

Порядок перечисления элементов множества при его задании с помощью фигурных скобок безразличен:

В={a;b}={b;a};

более того, в этом случае допускается даже дублирование:

В={a;b}={a;b;b;a}.

Но порядок перечисления элементов в круглых скобках важен: (1;а)¹(а;1).

Примеры:

1. А={0;1}, B={2;3}; A´B={(0;2);(0;3);(1;2);(1;3)};

2. А={a₁;a₂;a₃}, B={b₁;b₂;b₃}; несколько элементов множества А´В:

(a₁;b₁), (a₂;b₂), (a₁;b₃),…;

3. А={тарелка; ложка; чашка};

В – множество расцветок; В={белая; красная; синяя};

А´В={белая тарелка; красная тарелка; синяя ложка;…};

4. А – множество цветов корпуса ручки;

В – множество цветов колпачка ручки;

А={белый; красный};

В={белый; черный; красный};

расцветки (белый; красный) и (красный; белый) – разные;

5. Прямая с уравнением y=2х+4 – это множество точек плоскости с координатами из множества {(x;2x+4):xÎIR}.

II . Прямым (декартовым) произведением множеств А₁, А₂,…, Аn называется множество А₁´А₂´…´Аn, элементами которого являются все упорядоченные наборы (а₁;а₂;…;а_n), где а₁ – элемент из А₁, а₂ – элемент из А₂,…, а_n – элемент из Аn.

По определению:

А₁´А₂´…´Аn={(a₁;a₂;…;a_n):a₁ÎA₁, …, a_nÎAn}.

Если А₁=А₂=…=Аn, то множество А₁´…´Аn называется прямой (или декартовой) степенью множества А и обозначается через Аⁿ. Прямое произведение А´А=А² называется декартовым квадратом.

Множество точек плоскости является по существу прямым произведением вида IR´IR, где IR – множество действительных чисел. Поэтому на «геометрическом языке» элементы множества А´В называют точками (А – множество абсцисс, В – множество ординат).

Примеры:

1. А={1;2;3}, B={a;b}; C={0};

A´B={(1;a);(1;b);(2;a);(2;b);(3;a);(3;b)};

B´A={(a;1);(b;1);(a;2);(b;2);(a;3);(b;3)};

A´B´C={(1;a;0);(1;b;0);(2;a;0);(2;b;0);(3;a;0);(3;b;0)}; очевидно, что в общем случае А´В¹В´А, (А´В)´С¹А´(В´С);

2. Пусть А – современный русский алфавит; тогда множество А´А – множество всех слов, состоящих из двух букв; для слов порядок букв важен; «он» и «но» - два различных слова; во множестве А´А им

соответствуют элементы (о;н), (н;о); безнаказанно дублировать буквы в слове нельзя: «он» и «оно» - разные слова; им соответствуют элементы (о;н)ÎА´А, (о;н;о)ÎА´А´А.

Примеры решения задач рассмотрены на первом обзорном установочном занятии.

Пример 1: Пусть А={1; 7; 3}, тогда: 5 А (или 5 {1; 7; 3}); 3Î А.

Пример 2: Пусть А={1;2;3}. Множества {1}, {2}, {3}, {1;2}, {1;3}, {2;3} являются собственными подмножествами множества А. Множества {1;2;3}и Ø являются несобственными подмножествами множества А.

Пример 3: А={1;2;3;4}, B={2;4;6}; ;