Однофакторный дисперсионный анализ
Поможем в ✍️ написании учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Однофакторный дисперсионный анализ (ОДА) является достаточно информативным метрическим методом оценки влияния. Используется в тех случаях, когда требуется изучить однократное или повторное действие одного фактора. Говоря о повторном действии фактора, имеется в виду, что фактор представлен несколькими градациями, т. е. имеет 1, 2, 3, ..., J уровней (например, повторный курс лечения психотропным препаратом, повторные сеансы психокоррекции и т. д.).

Для проведения дисперсионного анализа не обязательно проводить измерения на одной и той же выборке, т. е. нет необходимости подвергать одних и тех же субъектов влиянию всех исследуемых градаций фактора. Напротив, для каждого из J уровней (градаций фактора) берется n независимых наблюдений. Естественно, что при таком подходе принимается целый ряд допущений, иногда достаточно произвольных. Предполагается, в частности, что n наблюдений на каждом уровне независимы друг от друга и взяты из нормальной совокупности с дисперсией s2. Предполагается также, что дисперсия s2 одинакова на всех J уровнях (гипотеза однородности, или гомоскедактичности).

Однофакторный дисперсионный анализ включает в себя ряд этапов.

1. Результаты эксперимента представляются в виде следующей таблицы (двумерного массива) (табл. 10.3):

Таблица 10.3

 

Условия опыта (градации фактора)

  1 2 3 ... J
  X11 x12 x13 ... x1J
Повторные X21 x22 x23 ... x2J
наблюдения . . . ... .
  . . . ... .
  . . . ... .
  xn1 xn2 xn3 ... xnJ

2. Для каждой выборки испытуемых определяется случайная (внутригрупповая) дисперсия SSW, связанная с вариабельностью переменной внутри каждой градации фактора:

                    .             (10.2)

3. Вычисляется факториальная (межгрупповая) дисперсия SSb, связанная с влиянием градаций фактора:

                 .          (10.3)

4. Вычисляется общая дисперсия SSc, которая соответствует сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий: SSc = SSb + SSW. Общую дисперсию можно также вычислить по следующей формуле:

                           .                        (10.4)

5. Вычисляется показатель силы влияния  как отношение межгрупповой дисперсии к общей:

                                                                                (10.5)

6. Определяется число степеней свободы:

а) число степеней свободы, связанное с межгрупповой дисперсией: n1 = J - 1;

б) число степеней свободы, связанное с внутригрупповой дисперсией: n2 = J (n - 1).

7. Вычисляется показатель достоверности влияния:

                                                                                          (10.6)

Достоверность определяется по критерию Фишера для определенного уровня значимости по соответствующей таблице. Стандартное значение Fст. определяется на перекресте столбца, соответствующего значению n1 и строки, соответствующей значению n2. Вывод о том, что влияние фактора статистически значимо, принимается, если F ³ Fст.

Для удобства работы с переменными рекомендуется пользоваться рабочей таблицей представления данных (табл. 10.4):

 

Таблица 10.4

1 2 ... J 1 2 ... J
x11 x21 . . . xn1 x12 x22 . . . xn2 ... ... ... ... ... ... x1J x2J . . . xnJ x112 x212 . . . xn12 x122 x222 . . . xn22 ... ... ... ... ... ... x1J2 x2J2 . . . xnJ2

 

Для вычисления промежуточных значений удобно пользоваться таблицей следующего вида (табл. 10.5):

 

Таблица 10.5

№№ Вычисляемый параметр Последовательность вычислений
  1     xi (левая часть рабочей таблицы) суммируются по каждому столбцу и возводятся в квадрат: (x11 + x21 + ... + xn1)2 (x12 + x22 + ... + xn2)2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  (x1J + x2J + ... + xnJ)2 Полученные квадраты суммируются и делятся на n.
  2   Суммируются по столбцам квадраты чисел в правой части таблицы; полученные суммы квадратов суммируются построчно: + + . . . . . . . . . . . . . +
  3 SSW = (2) – (1) Из результата (2) вычитается результат (1), получается внутригрупповая дисперсия SSW.  
    4 Суммируются все варианты по столбцам и по строкам, возводятся в квадрат и делятся на общее число значений Jn.    
5 SSb = (1) – (4) Из результата (1) вычитается результат (4), получается межгрупповая дисперсия SSb
  6 SSC  = (2) – (4) = (3) + (5) Общую дисперсию SSC можно получить двумя путями - либо вычитанием результата (4) из результата (2), либо суммированием результатов (3) и (5), т. е. межгрупповой и внутригрупповой дисперсией.
  7    = (5)/(6) Показатель силы влияния вычисляется как отношение результатов (5) и (6), т.е. как отношение межгрупповой дисперсии к общей.  
  8 Вычисляется отношение (5)/(3) и умножается на J(n-1)/(J-1), получается показатель достоверности влияния.  

 

Рассмотрим алгоритм вычислений на примере конкретной задачи.

Условие задачи

Исследовалось влияние возраста как фактора на уровень нейротизма, определяемого по тесту Айзенка. Тестирование проводилось в 4-х группах испытуемых разного возраста (соответственно, 7-й, 8-й, 9-й и 10-й классы) по 10 человек в каждой группе.

Получены следующие результаты (табл. 10.6):

 

Таблица 10.6

 

 

Значения переменных

Классы 7-й 8-й 9-й 10-й

Индивидуальные значения

 

16 9 21 9
6 14 17 13
19 19 23 19
10 16 12 14
11 20 12 13
13 18 17 12
21 14 15 15
14 22 21 23
13 12 9 14
11 17 9 17

Задание

С помощью однофакторного дисперсионного анализа определить, является ли влияние возраста как фактора на уровень нейротизма статистически значимым.

Алгоритм решения

1.

2.

3. SSw = (2) – (1) = 9724 – 9041 = 683;

4.

5. SSb = (1) – (4) = 9041 – 9000 = 41;

6. SSc = (2) – (4) = (3) + (5) = 9724 – 9000 = 683 + 41 = 724;

7.

8.

Ответ

F = 0,720 < F кр. = 2,86. Влияние возраста как фактора на уровень нейротизма не является статистически значимым.

Дата: 2018-11-18, просмотров: 268.