План решения кинематических задач

  1. Сделайте рисунок, на котором покажите оси x и y и вектор начальной скорости ; этот вектор направлен по касательной к траектории. В случае, если тело после броска совершает движение в поле тяжести Земли под действием силы , траекторией движения является парабола или ветвь параболы, а полное ускорение тела равно ускорению свободного падения .

  2. Выясните характер независимых движений вдоль осей x и y: равномерное или равнопеременное. Запишите для этих движений уравнения кинематики в проекции на оси x и y:   

  3. Для криволинейного движения используйте также естественные оси – касательную и нормаль к траектории. Такие оси следует показать на рисунке в той точке, где необходимо определить нормальное  и тангенциальное  ускорение. Эти ускорения являются составляющими полного ускорения, равного , поэтому для нахождения составляющих необходимо с конца вектора опустить перпендикуляры на нормаль и касательную. Из полученного так треугольника ускорений с помощью функций  находят величины Необходимые значения тригонометрических функций определяют из треугольника скоростей; для его построения в той же точке траектории на рисунке показывают составляющие вектора скорости , при сложении которых получается вектор скорости  направленный по касательной к траектории.

  4. Если в задаче задан кинематический закон поступательного или вращательного движения, то для нахождения скорости и ускорений используют определительные формулы, последовательно дифференцируя функцию закона движения , а затем дифференцируя полученный закон изменения скорости

   Задача 1. Небольшое тело бросили под углом   к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите: 1) уравнение траектории движения тела , 2) время движения , 3) скорость, нормальное  и тангенциальное  ускорение тела через  после начала движения, 4) радиус кривизны траектории  в этот момент времени.

Рис. 2 Дано                                               Решение у ; ; .   0

В данном случае размерами тела можно пренебречь и принять его за материальную точку. Если не учитывать сопротивление воздуха, то в поле силы тяжести тело движется с постоянным ускорением , направленным вертикально вниз (рис. 2). Движение тела криволинейное, сложное  и характеризуется системой уравнений:

                                                                                  (1)                Это движение можно представить как совокупность двух прямолинейных движений: горизонтального – по оси x, и вертикального – по оси y. Законы этих прямолинейных движений получим, проецируя на оси х и у  уравнения (1). Запишем проекцию левой и правой части уравнений (1) на ось x:

;  

Так как проекция ускорения , а начальная скорость , то

, ,                      (2)

т. е. движение вдоль оси х равномерное. Аналогично запишем для  оси у:

, .                      (3)                                                                                     

  По рис. 2 видно, что   а скорость ; поэтому уравнения (3) принимают следующий вид:

 .                   (4)

Следовательно, движение тела вдоль оси у равнопеременное:  с постоянным ускорением .

     1) Найдем уравнение траектории в виде . Для этого из уравнения (2) выразим время   и подставим его в уравнение (4):

, или .

После вычисления коэффициентов при переменной x получаем уравнение траектории в виде:

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (см. рис. 2).

  2) Время движения тела  состоит из двух интервалов времени: времени подъема и равного ему времени падения , так как падение и подъем тела происходили с одинаковым  ускорением g. Время подъема может быть найдено из условия  в наивысшей точке траектории, т. е., в соответствии с уравнением (4): , откуда время ,  а время движения тела  .

Вычисляем по этой формуле:

Видим, что заданное время  меньше, чем но больше времени движения до вершины параболы  следовательно, заданная точка находится на нисходящей ветви параболы.

  3) Модуль скорости движения тела выразим через проекции:

.

Подставляя значения проекций скорости по формулам (2) и (4), получаем

Вычисляем:

  Тангенциальное  и нормальное  ускорения могут быть определены двумя способами: аналитическим – по определительным формулам, и графическим – этот способ применим в данном решении.

  Изобразим на рис. 2 в момент времени  вектор скорости тела и его проекции  и . Далее изобразим в этот же момент времени вектор полного ускорения  и разложим его на составляющие  Для этого проведем касательную к траектории (по ней направлен вектор скорости) и нормаль – перпендикулярно касательной. Чтобы найти составляющие   и , с конца вектора опустим перпендикуляры на касательную и нормаль к траектории. Из полученного треугольника ускорений находим значения ускорений

                            ; .                           (5)

Так как угол  есть и в треугольнике скоростей, запишем значения   через проекции и модуль скорости:

;

Вычислим

Результат расчета ускорений по формулам (5):

Радиус кривизны траектории в точке A, где находилось тело в момент ,  находим из формулы нормального ускорения:

 ;   вычисляем

  Задача 2. Материальная точка движется по окружности радиусом . Зависимость пути от времени дается уравнением , где = 0,1 . Определите нормальное и тангенциальное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки  .               

 Дано                                                      Решение

 м;         Найдем нормальное ускорение по формуле                                                                                   

;                                                    

;          Вычислим

.                Запишем определительную формулу тангенциального     

  ускорения                     

                                                                                                (1)

  Найдем модуль скорости по формуле                               (2)       

Дифференцируя зависимость пути от времени, получаем

                                                 .                                            (3)

В соответствии с формулой (1) величина  равна производной от функции ; с учетом выражения (3) находим

,                                     (4)

где t – момент времени, в который скорость стала равна 0,3 м/с. Находим это время из формулы (3):

Вычисляем тангенциальное ускорение по формуле (4):

.

Задача 3. Материальная точка вращается вокруг неподвижной оси по закону , где , , . Определите полное ускорение точки, находящейся на расстоянии  от оси вращения, для момента времени .

Дано ; ; ; ; ; .

                             Решение

  Полное ускорение  материальной точки,  движущейся по криволинейной траектории, может быть найдено как векторная сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

.

  Так как векторы ускорений   и   взаимно перпендикулярны (рис. 3), то модуль ускорения

                            .                      (1)                                                                                   Нормальное и тангенциальное ускорения точки вращающегося тела    выражаются формулами

, ,

где  – угловая скорость;  – угловое ускорение тела.

  Подставляя выражения  и  в формулу (1), находим полное ускорение вращающейся материальной точки

     Рис. 3                              .     (2)                                                         

  Угловую скорость  найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:

.

Вычислим угловую скорость в момент времени              

.

   Угловое ускорение находим, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

; вычислим .

  Подставляя значения  в формулу (2), получаем величину полного ускорения материальной точки:

.