МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Учебное пособие

Челябинск

Издательский центр ЮУрГУ

2014

УДК 531(075.8) + 539.1 (075.8)

Одобрено

научно-методическим советом университета

Рецензенты:

Л.А. Песин, В.К. Усачев

Механика и молекулярная физика. Руководство к решению задач: учебное пособие для студентов вузов / В.К. Герасимов, Т.О. Миронова, Ю.Б. Пейсахов, Т.П. Привалова. – Челябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2014. – 83 с.

Основное назначение учебного пособия – оказать помощь студентам очной и заочной форм обучения при выполнении контрольных работ по курсу общей физики. Дано краткое изложение теоретического материала и приведены примеры решения типовых задач по разделам «Механика», «Молекулярная физика и термодинамика».

Учебное издание предназначено для студентов, обучающихся по укрупненным группам специальностей и направлений подготовки в области образования «инженерное дело, технологии и технические науки».

УДК 531(075.8) + 539.1(075.8)

ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие адресовано студентам заочного инженерно-экономического факультета для оказания помощи в правильной организации работы по изучению курса общей физики.

Курс физики составляет основу теоретической подготовки инженеров и является фундаментальной физико-математической базой, необходимой для успешной деятельности инженера любого профиля.

В результате изучения курса физики студент обязан:

– изучить основные физические явления;

– овладеть фундаментальными понятиями, законами и теориями классической и современной физики;

– овладеть методами физического исследования;

– уметь применять достижения физики в практической деятельности;

– ознакомиться с современной научной аппаратурой;

– приобрести навыки физического эксперимента и умение применять физические законы в прикладных задачах будущей специальности.

Учебное пособие соответствует учебной программе следующих направлений: 140100 Теплоэнергетика и теплотехника, 140400 Электроэнергетика и электротехника, 150400 Металлургия, 150700 Машиностроение, 151900 Конструкторско-технологическое обеспечение машиностроительных производств, 220400 Управление в технических системах, 230100 Информатика и вычислительная техника.

В результате изучения физики у студентов формируются следующие компетенции.

Общекультурные компетенции:

культура мышления, умение обобщать и анализировать информацию, ставить цель и выбирать пути ее достижения;

умение логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь;

стремление к саморазвитию, повышению своей квалификации и мастерства, к устранению пробелов в знаниях и к обучению на протяжении всей жизни;

Общепрофессиональные компетенции:

умение решать физические проблемы повышенной сложности, в том числе требующие оригинальных подходов;

умение читать и анализировать учебную и научную литературу;

знание основных физических законов, составляющих фундамент современной техники и технологий;

владение базовыми знаниями математических и естественнонаучных дисциплин и дисциплин общепрофессионального цикла в объеме, необходимом для использования в профессиональной деятельности основных законов соответствующих наук, разработанных в них подходов, методов и результатов математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования.

Дисциплина «физика» изучается в течение трех семестров. Данное пособие предназначено для студентов, начинающих изучать физику во втором семестре. Поэтому приведем несколько советов по правилам выполнения и оформления контрольных работ (КР) по курсу физики.

С первых дней учебного семестра приступайте к решению задач своей контрольной работы, изучая необходимый для этого материал по учебным пособиям. Сдавать КР необходимо в течение семестра, не позднее одной недели до начала сессии. На титульном листе КР проставьте номер своего шифра, определяющий номер варианта КР. В конце каждой КР приводите перечень используемой литературы: учебной и методической, – после этого поставьте дату и свою подпись.

Возвращенную не зачтенную работу исправляйте в этой же тетради на оставшихся чистых листах, начиная с заголовка «Работа над ошибками». Отнеситесь к исправлениям серьезно, учитывая все замечания и вопросы, поставленные рецензентом. Обязательно указывайте номер исправленной задачи, не приводя повторно ее текста.

Требования к оформлению решения задач КР.

1. Приводите в своей тетради полный текст задачи, а затем краткое условие задачи, выписывая заданные и определяемые величины в общепринятых обозначениях.

2. Внимательно отнеситесь к каждому слову в формулировке задачи, чтобы выделить в ней все, в том числе и неявно заданные величины. Например: «… Найти путь, пройденный телом до остановки». Здесь неявно задана конечная скорость, равная нулю. Или в задаче говорится о газе, находящемся при нормальных условиях. Это означает, что заданы давление и температура 0 , или T=273 К, и т. д.

3. В решении задачи приводите рисунок, график или схему.

4. Решение задачи сопровождайте краткими, но исчерпывающими пояснениями: а) назовите используемый для решения закон, б) приведите его словесную или математическую формулировку в общем виде, в) объясните правомерность применения закона и уточните формулу закона в условиях данной задачи, г) назовите величины, входящие в формулы, в том числе физические постоянные.

5. Каждую задачу стремитесь решать в общем виде, не делая промежуточных вычислений; решение задачи завершайте расчетной формулой определяемой величины.

6. Вычисляя, в расчетную формулу обязательно подставьте значения данных и табличных величин, предварительно переведя их в систему СИ.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Трофимова, Т.И. Курс физики: учебное пособие для инженерно-технических специальностей вузов / Т.И. Трофимова. – М.: Академия, 2010. – 557 с.

2. Писарев, Н.М. Физика: Курс лекций для студентов инженерных специальностей вузов / Н.М. Писарев; под ред. Г.П. Вяткина. – Челябинск: Изд-во ЧГТУ, 1997. – Ч.1. – 320 с.

3. Детлаф, А.А. Курс физики: учебное пособие для втузов / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Академия, 2008. – 719 с.

4. Савельев, И.В. Курс физики Т.1: Механика. Молекулярная физика: учебное пособие для втузов: в 3 т. / И.В. Савельев. – СПб. и др.: Лань, 2008. – 350 с.

5. Чертов, А.Г. Задачник по физике: учебное пособие для втузов / А.Г. Чертов, А.А. Воробьев. – М.: Издательство Физматлит, 2008. – 640 с.

6. Иродов, И.Е. Задачи по общей физике: учебное пособие для втузов / И.Е. Иродов. – СПб. и др.: Лань, 2009. – 431 с.

7. Фирганг, Е.В. Руководство к решению задач по курсу общей физики: учебное пособие для втузов по техническим и технологическим направлениям и специальностям / Е.В. Фирганг. – СПб. и др.: Лань, 2009. – 347 с.

8. Ахлюстин, В.А. Методические указания студентам – заочникам по физике / В.А. Ахлюстин, В.К. Герасимов, Ю.Б. Пейсахов; под ред. В.П. Бескачко. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. – 73 с.

9. Механика и молекулярная физика: учебное пособие к выполнению лабораторных работ / В.К. Герасимов, А.Е. Гришкевич, С.И. Морозов и др.; под ред. В.П. Бескачко. – Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2008. – 95 с.

ЧАСТЬ 1

МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Законы сохранения

Всякая система при движении изменяет свое состояние, при этом изменяются значения параметров, характеризующих состояние системы. Однако существуют такие величины – функции состояния, которые обладают важным свойством оставаться с течением времени неизменными, если соблюдены определенные условия. Среди этих величин наиболее важную роль в механике играют импульс, момент импульса и энергия механической системы.

Закон сохранения импульса

Закон сохранения импульса (ЗСИ): в замкнутой системе полный импульс остается постоянным

или

где – массы тел, входящих в систему; – скорости соответствующих тел до взаимодействия; – скорости этих же тел после взаимодействия.

Замкнутой механической системой является такая система тел, на которую не действуют внешние силы. Но таких идеальных систем на практике не встречается: невозможно создать такую систему, чтобы полностью исключить ее взаимодействие с внешними телами, не входящими в систему. При решении практических задач замкнутой системой тел можно считать такую, на которую действуют внешние силы, но их сумма равна нулю. В ряде задач сохраняется проекция импульса на одну из осей, если при этом проекции внешних сил на эту ось равны нулю.

Рис. 1

Пример практически замкнутой системы приведен на рис. 1. На тела, входящие в систему: на два шарика, движущихся вдоль оси x, – действуют силы тяжести и силы нормальных реакций опоры но сумма этих сил равна нулю, да и проекции их на направление скорости равны нулю.

Механические колебания

Гармонические колебания описывают уравнением:

где x – смещение колеблющейся точки относительно положения равновесия в момент времени t; – наибольшее смещение, или амплитуда колебаний; w – циклическая частота колебаний; j₀ – начальная фаза колебаний; – фаза колебаний в момент времени t.

Колебания характеризуют частотой w и периодом T, связанными друг с другом соотношением:

Период колебаний математического маятника

где – длина маятника; – ускорение свободного падения.

Период колебаний пружинного маятника

где m – масса груза; k – жесткость пружины.

Кинетическая энергия гармонических колебаний

где m – масса колеблющегося объекта; – его скорость.

Потенциальная энергия гармонических колебаний

где – жесткость, или коэффициент упругости пружины.

Результатом сложения одинаково направленных гармонических колебаний равной частоты является также гармоническое колебание с периодом, равным периоду складываемых колебаний. Если уравнения двух складываемых колебаний:

то уравнение результирующего колебания:

Здесь амплитуда результирующего колебания

где – амплитуды складываемых колебаний; – их разность фаз.

Уравнение затухающего колебательного движения имеет вид

Здесь является амплитудой затухающих колебаний; –начальная амплитуда (в момент времени ); d – коэффициент затухания, его величина , где r – коэффициент сопротивления среды; m – масса колеблющейся точки. Затухание колебаний характеризуют логарифмическим декрементом затухания

где – амплитуды двух последовательных колебаний, отделенных друг от друга периодом колебаний T.

Циклическая частота затухающих колебаний

где – циклическая частота свободных (собственных) незатухающих колебаний той же колебательной системы.

РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

1. Текст задачи следует внимательно прочитать, чтобы выяснить, какое движение (поступательное, вращательное, качение) или физическое явление рассматривается в задаче. Полезно сделать схематический чертеж или рисунок.

2. В разделе 1 – «Теоретическая часть» изучите сведения о рассматриваемом в задаче явлении: ознакомьтесь с основными формулами и величинами. Выясните, нельзя ли применить законы сохранения (ЗСИ, ЗСМИ, ЗСМЭ) – для этого проверьте, выполняются ли в задаче условия применения закона сохранения (замкнутость механической системы, консервативность сил). Выпишите законы и формулы, которые можно использовать при решении данной задачи.

3. Запишите краткое условие задачи, выбирая для обозначения заданных и искомых величин символы, которые использованы в формулах.

4. Задачу следует решать, как правило, в общем виде, т. е. получить расчетную формулу определяемой величины, содержащую символы заданных величин и физических постоянных.

5. Вычисление определяемой величины начинайте с подстановки в расчетную формулу значений величин. При этом следует помнить, что большинство физических величин имеют свои единицы измерения. Полезно записывать их при подстановке в формулу, чтобы убедиться, что все величины взяты в единицах СИ. Только при вычислении отношений, например, и т. п. можно подставлять величины в любых, но одинаковых единицах, т. е. не обязательно в СИ. Если определяемых величин несколько, то вывод расчетной формулы для следующей начинайте, закончив вычисление предыдущей определяемой величины.

6. Полезно выполнять проверку расчетной формулы на совпадение единиц измерения левой и правой части равенства. Несовпадение единиц указывает на ошибку в расчетной формуле.

7. Вычисления и запись результата делайте с точностью до двух или трех (не более) значащих цифр. Незначащие нули записывайте в виде сомножителя . При этом, если показатель степени n соответствует приставке, то используйте её: например, ; 3,74 37,4 . Помните, что точность результата вычислений не может быть выше, чем точность исходных данных.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

План решения кинематических задач

1. Сделайте рисунок, на котором покажите оси x и y и вектор начальной скорости ; этот вектор направлен по касательной к траектории. В случае, если тело после броска совершает движение в поле тяжести Земли под действием силы , траекторией движения является парабола или ветвь параболы, а полное ускорение тела равно ускорению свободного падения .

2. Выясните характер независимых движений вдоль осей x и y: равномерное или равнопеременное. Запишите для этих движений уравнения кинематики в проекции на оси x и y:

3. Для криволинейного движения используйте также естественные оси – касательную и нормаль к траектории. Такие оси следует показать на рисунке в той точке, где необходимо определить нормальное и тангенциальное ускорение. Эти ускорения являются составляющими полного ускорения, равного , поэтому для нахождения составляющих необходимо с конца вектора опустить перпендикуляры на нормаль и касательную. Из полученного так треугольника ускорений с помощью функций находят величины Необходимые значения тригонометрических функций определяют из треугольника скоростей; для его построения в той же точке траектории на рисунке показывают составляющие вектора скорости , при сложении которых получается вектор скорости направленный по касательной к траектории.

4. Если в задаче задан кинематический закон поступательного или вращательного движения, то для нахождения скорости и ускорений используют определительные формулы, последовательно дифференцируя функцию закона движения , а затем дифференцируя полученный закон изменения скорости

Задача 1. Небольшое тело бросили под углом к горизонту с начальной скоростью . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найдите: 1) уравнение траектории движения тела , 2) время движения , 3) скорость, нормальное и тангенциальное ускорение тела через после начала движения, 4) радиус кривизны траектории в этот момент времени.

Рис. 2

Дано Решение

;

В данном случае размерами тела можно пренебречь и принять его за материальную точку. Если не учитывать сопротивление воздуха, то в поле силы тяжести тело движется с постоянным ускорением , направленным вертикально вниз (рис. 2). Движение тела криволинейное, сложное и характеризуется системой уравнений:

(1) Это движение можно представить как совокупность двух прямолинейных движений: горизонтального – по оси x, и вертикального – по оси y. Законы этих прямолинейных движений получим, проецируя на оси х и у уравнения (1). Запишем проекцию левой и правой части уравнений (1) на ось x:

;

Так как проекция ускорения , а начальная скорость , то

, , (2)

т. е. движение вдоль оси х равномерное. Аналогично запишем для оси у:

, . (3)

По рис. 2 видно, что а скорость ; поэтому уравнения (3) принимают следующий вид:

. (4)

Следовательно, движение тела вдоль оси у равнопеременное: с постоянным ускорением .

1) Найдем уравнение траектории в виде . Для этого из уравнения (2) выразим время и подставим его в уравнение (4):

, или .

После вычисления коэффициентов при переменной x получаем уравнение траектории в виде:

Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз (см. рис. 2).

2) Время движения тела состоит из двух интервалов времени: времени подъема и равного ему времени падения , так как падение и подъем тела происходили с одинаковым ускорением g. Время подъема может быть найдено из условия в наивысшей точке траектории, т. е., в соответствии с уравнением (4): , откуда время , а время движения тела .

Вычисляем по этой формуле:

Видим, что заданное время меньше, чем но больше времени движения до вершины параболы следовательно, заданная точка находится на нисходящей ветви параболы.

3) Модуль скорости движения тела выразим через проекции:

Подставляя значения проекций скорости по формулам (2) и (4), получаем

Вычисляем:

Тангенциальное и нормальное ускорения могут быть определены двумя способами: аналитическим – по определительным формулам, и графическим – этот способ применим в данном решении.

Изобразим на рис. 2 в момент времени вектор скорости тела и его проекции и . Далее изобразим в этот же момент времени вектор полного ускорения и разложим его на составляющие Для этого проведем касательную к траектории (по ней направлен вектор скорости) и нормаль – перпендикулярно касательной. Чтобы найти составляющие и , с конца вектора опустим перпендикуляры на касательную и нормаль к траектории. Из полученного треугольника ускорений находим значения ускорений

; . (5)

Так как угол есть и в треугольнике скоростей, запишем значения через проекции и модуль скорости:

;

Вычислим

Результат расчета ускорений по формулам (5):

Радиус кривизны траектории в точке A, где находилось тело в момент , находим из формулы нормального ускорения:

; вычисляем

Задача 2. Материальная точка движется по окружности радиусом . Зависимость пути от времени дается уравнением , где = 0,1 . Определите нормальное и тангенциальное ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки .

Дано Решение

м; Найдем нормальное ускорение по формуле

;

; Вычислим

. Запишем определительную формулу тангенциального

ускорения

(1)

Найдем модуль скорости по формуле (2)

Дифференцируя зависимость пути от времени, получаем

. (3)

В соответствии с формулой (1) величина равна производной от функции ; с учетом выражения (3) находим

, (4)

где t – момент времени, в который скорость стала равна 0,3 м/с. Находим это время из формулы (3):

Вычисляем тангенциальное ускорение по формуле (4):

Задача 3. Материальная точка вращается вокруг неподвижной оси по закону , где , , . Определите полное ускорение точки, находящейся на расстоянии от оси вращения, для момента времени .

Дано

;

Решение

Полное ускорение материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, может быть найдено как векторная сумма тангенциального ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру кривизны траектории:

Так как векторы ускорений и взаимно перпендикулярны (рис. 3), то модуль ускорения

. (1) Нормальное и тангенциальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами

, ,

где – угловая скорость; – угловое ускорение тела.

Подставляя выражения и в формулу (1), находим полное ускорение вращающейся материальной точки

Рис. 3 . (2)

Угловую скорость найдем, взяв первую производную от угла поворота по времени:

Вычислим угловую скорость в момент времени

Угловое ускорение находим, взяв первую производную от угловой скорости по времени:

; вычислим .

Подставляя значения в формулу (2), получаем величину полного ускорения материальной точки:

План решения задач с помощью законов динамики

1. Поступательное движение тел.

1) Выделите систему взаимодействующих тел. Сделайте рисунок.

2) Укажите на рисунке силы, действующие на каждое тело. Учтите, что силу трения можно показать, если известно направление движения.

3) Выберите систему координат. Удобно для каждого тела одну из координатных осей направить по направлению ускорения тела.

4) Запишите для каждого тела закон динамики движения – 2-й закон Ньютона, в следующем виде:

5) Запишите этот закон в проекциях на координатные оси и выразите определяемую величину.

6) По полученной расчетной формуле произведите вычисления.

2. Вращательное движение тел.

1) Запишите закон динамика вращательного движения тела относительно неподвижной оси вращения.

2) Покажите на рисунке плечо силы и расстояния масс от оси вращения, необходимые для расчета момента инерции тела. Запишите определительные формулы для момента силы M и момента инерции I; при этом обратите внимание на то, чтобы величины M и I , были записаны относительно одной и той же оси вращения тела.

3) Из закона динамики получите расчетную формулу определяемой величины и произведите вычисления.

Задача 4. Мяч массой упруго ударяется о стену под углом к нормали. Определите величину и направление импульса силы, который действовал на стенку во время удара. Скорость мяча .

Дано Решение

; При упругом ударе величина скорости не изменяется

; ( ) и угол, под которым отскакивает мяч, равен углу

. падения мяча (рис. 4). Мяч в условии задачи можно

принять за материальную точку, пренебрегая его размерами,

а стену рассматривать как абсолютно твердое тело.

При взаимодействии мяча со стеной на мяч действует Земля: силой тяжести, – и стена: силой упругости . Однако проекция силы тяжести на ось равна нулю; поэтому величину силы тяжести мяча можно исключить из дальнейшего рассмотрения. Под действием силы упругости изменяется направление скорости мяча.

Запишем второй закон Ньютона в виде:

(1) где

– средняя сила, с которой стена действует на мяч;

– время взаимодействия мяча со стеной.

Для того, чтобы уравнение (1) переписать в скалярном виде, нужно знать направление силы

. Из уравнения (1) следует, что импульс силы удара мяча совпадает по направлению с вектором приращения импульса мяча

, т. е.

По правилу вычитания векторов

найдем вектор приращения импульса

мяча , он направлен

перпендикулярно поверхности стены.

Следовательно, и импульс силы ,

действующий на мяч, направлен вдоль

нормали к поверхности стены.

Перепишем уравнение (1) в

проекции на ось x:

Так как , то

Рис. 4

(2)

Нас интересует импульс силы, действующий на стену во время удара. Используем третий закон Ньютона: сила , с которой мяч действует на стену, равна по величине и противоположно направлена силе , с которой стена действует на мяч (см. рис. 4):

Отсюда, с учетом формулы (2), получаем .

Вычислим импульс силы:

Задача 5. Маховик в виде диска радиусом и массой был раскручен до частоты вращения , а затем был предоставлен самому себе. Под действием сил трения маховик остановился через . Определите момент сил трения.

Дано Решение

; В соответствии с основным законом динамики

; вращательного движения момент сил трения равен

; скорости изменения момента импульса маховика:

; . (1)

. По условию задачи маховик представляет собой твердый сплошной диск, момент инерции которого

относительно его оси симметрии

(2)

С учетом формулы (2) из закона динамики (1) получаем момент сил трения

, (3)

где – угловое ускорение маховика.

Так как угловое ускорение и момент сил трения в данном случае сонаправлены, то векторное уравнение (3) можно заменить скалярным:

(4)

При равнозамедленном вращении (вектор (рис. 5)) величина углового ускорения определяется выражением

Рис. 5

(5)

Здесь конечная угловая скорость , а начальная . Подставив ускорение в закон динамики (4), получаем величину момента силы

(6)

Проверим расчетную формулу (6) по единицам измерения. Подстановка единиц измерения величин в правую часть этого равенства:

, –

дает единицу определяемой физической величины – момента сил.

Вычисляем момент силы трения по формуле (6):

Рис. 6

Задача 6. Блок, имеющий форму диска массой

, укреплен на краю горизонтального стола. Гири массой

соединены невесомой нитью, перекинутой через блок (рис. 6). Коэффициент трения гири о поверхность стола

Определите ускорение

, с которым движутся гири, и силы натяжения нити

по обе стороны блока. Трением при вращении блока можно пренебречь.

Решение

Механическая система состоит из трех тел, взаимодействующих посредством нити. В таких случаях рассматривают отдельно движение каждого тела, мысленно разрывая нить и заменяя действие других тел на данное силой натяжения нити. Силы, действующие на каждое тело, показаны на рис. 7. При этом следует учесть, что для сил взаимодействия двух тел выполняется третий закон Ньютона:

; ; модули сил ; (1)

Дано

;

Рис. 7

Запишем законы динамики движения тел системы, учитывая, что гири движутся поступательно, а блок вращается. Для поступательного движения тел используем второй закон Ньютона:

; (2)

. (3)

Уравнение (2) в проекциях на оси x и y имеет следующий вид:

ось x: ; (4)

ось y: . (5)

В уравнении (4) сила трения ; заменяя, согласно уравнению (5), , получаем формулу С учетом этого перепишем уравнение (4) в виде:

. (6)

Уравнение (3) запишем в проекции на ось x, направленную вдоль ускорения второй гири:

. (7)

Закон динамики вращения блока относительно неподвижной оси z имеет следующий вид:

, (8)

где – момент инерции блока (диска) относительно его оси симметрии; – угловое ускорение блока; оно связано с линейным ускорением точек на его периметре формулой , причем, величина равна ускорению нити, не проскальзывающей по блоку, а следовательно, и ускорению гирь; – моменты сил натяжения нити .

Из рисунка (см. рис. 7) видно, что момент силы вращает блок против часовой стрелки, а момент силы препятствует этому вращению, стремясь повернуть блок по часовой стрелке. Соответственно вектор , – они направлены по оси вращения z, перпендикулярной плоскости рисунка. Поэтому модуль равнодействующего момента сил

. (9)

Здесь учтено, что плечо обеих сил натяжения нити равно радиусу диска R.

С использованием формул для уравнение (8) принимает следующий вид:

. (10)

Таким образом, получили систему трех уравнений законов динамики движения тел (6), (7) и (10), позволяющих найти 3 неизвестные величины ( ) в виде:

;

; (11)

;

Заметим, что при сложении уравнений системы (11) неизвестные величины исключаются (сумма этих слагаемых равна нулю) и получаем уравнение с одной неизвестной величиной

Выразим определяемую величину ускорения гирь:

Вычисляем .

Силу натяжения нити выразим из закона динамики (7):

а силу натяжения нити – из закона динамики вращения блока (третье уравнение в системе уравнений (11)):

Вычисляем силы натяжения:

; .

Задача 7. На обод маховика радиусом намотан нерастяжимый шнур, к концу которого привязан груз массой кг. Определите момент инерции маховика, если он, вращаясь равноускоренно под действием силы тяжести груза, за время приобрел угловую скорость .

Дано Решение

Рис. 8

;

2 кг;

3 с;

;

•

Составим систему уравнений движения двух связанных шнуром тел (рис. 8), одно из которых: груз, – совершает поступательное движение, а другое: маховик, – вращательное.

Запишем закон динамики движения груза – второй закон Ньютона: .

В проекции на ось

. (1)

Основной закон динамики вращательного движения маховика

Так как векторы и сонаправлены, то в скалярном виде

(2)

Из закона динамики (2) выразим определяемую величину момента инерции маховика:

. (3)

Угловое ускорение для равноускоренного движения маховика

. (4)

Момент силы натяжения шнура

Так как угол между радиус-вектором , проведенным от оси вращения в точку приложения силы натяжения шнура, и силой натяжения равен 90⁰ (см. рис. 8), а численное значение радиус-вектора равно радиусу маховика R, то для момента силы натяжения получаем следующее выражение:

Силу натяжения шнура найдем, используя закон движения груза (1). По третьему закону Ньютона для взаимодействия груза и маховика посредством шнура силы натяжения численно равны: Тогда формула для момента силы, вращающей маховик, принимает вид:

(5)

Значение находим из уравнения движения груза (1):

(6)

Здесь ускорение груза a равно ускорению любой точки нерастяжимого шнура, в том числе и точки, находящейся на ободе маховика, для которой запишем связь линейного и углового ускорения в виде:

(7)

С учетом выражений (6) и (7) формула (5) для момента силы принимает следующий вид:

(8)

Подставим выражение (8) в формулу (3) для расчета момента инерции и заменим угловое ускорение по формуле (4). Так получаем расчетную формулу для определения момента инерции маховика динамическим методом:

, или .

Проверим полученную формулу по единицам измерения величин:

Получили единицу измерения момента инерции I, следовательно, расчетная формула верна. Вычисляем по ней момент инерции маховика

Задача 8. Какой кинетической энергией обладает велосипедист с велосипедом при скорости движения ? Масса велосипедиста вместе с велосипедом , в том числе масса каждого колеса велосипеда ; массу колеса считать распределенной по ободу.

Дано

;

Решение Кинетическая энергия велосипедиста вместе с велосипедом складывается из двух слагаемых: энергии их поступательного движения и энергии вращательного движения колес. Колеса участвуют одновременно в этих двух видах движения. Кинетическая энергия поступательного движения

равна Кинетическая энергия вращательного движения колеса равна , где I – момент инерции колеса. Он равен , так как массу считаем распределенной по ободу радиусом . С учетом того, что угловая скорость вращения связана с линейной скоростью формулой , кинетическую энергию вращательного движения колеса можно записать через скорость поступательного движения:

Тогда полная кинетическая энергия велосипедиста с велосипедом

Найдем численное значение кинетической энергии:

Законы сохранения

План решения задач с использованием законов сохранения:

ЗСИ, ЗСМИ и ЗСМЭ

Динамические функции механической системы: импульс, момент импульса, механическая энергия, – сохраняются при выполнении определенных условий. Поэтому выбору того или иного закона сохранения, например, при вращательном движении – ЗСМИ или ЗСМЭ, должен предшествовать анализ сил, действующих между телами механической системы.

1. Для сохранения количества движения: импульса или момента импульса, – требуется замкнутая система тел, т. е. отсутствие внешних сил или равенство нулю равнодействующей всех внешних сил. Но в ряде задач, к которым относятся удары шаров, разрыв гранаты, снаряда и др., достаточно, чтобы внутренние силы были большими по сравнению с внешними силами, тогда последними можно пренебречь и считать систему практически замкнутой. Для сохранения момента импульса достаточным является условие равенства нулю момента внешних сил, что обеспечивается, если силы параллельны оси вращения или когда линия их действия проходит через ось вращения.

2. Использование закона сохранения механической энергии возможно, если в рассматриваемой системе тел действуют только консервативные силы – и внутренние, и внешние. При этом силы трения и сопротивления движению и другие неконсервативные силы (работу которых невозможно представить как изменение потенциальной энергии), должны быть пренебрежимо малы по сравнению с консервативными силами. Однако, и при значительной величине силы трения возможно сохранение механической энергии, если работа силы трения равна нулю: для этого достаточно, чтобы не перемещалась точка приложения силы трения (или другой неконсервативной силы).

3. Способ решения задач с использованием того или иного закона сохранения заключается в составлении равенства, где значения сохраняющейся величины: импульса, момента импульса или механической энергии системы тел, – записывают в левой и в правой части, соответственно, в двух состояниях: начальном и конечном. Причем, для векторных величин импульса и момента импульса уравнения законов сохранения – векторные.

4. В связи с тем, что скорости тел: и линейная, и угловая, – величины относительные, то и связанные с ними динамические функции: импульс, момент импульса и кинетическая энергия тел, – также являются относительными величинами, т. е. их значения зависят от выбранной системы отсчета. Поэтому в уравнения законов сохранения следует записывать скорости тел относительно одной и той же системы отсчета: обычно используют условно неподвижную систему отсчета, связанную с Землей.

Задача 9. Молот массой , двигаясь со скоростью , ударяет по железному изделию, лежащему на наковальне. Масса наковальни вместе с изделием . Считая удар неупругим, определите энергию, расходуемую на ковку (деформацию) изделия. Найдите коэффициент полезного действия процесса ковки в данных условиях.

Дано Решение

; Рассмотрим систему молот – наковальня – Земля (рис. 9).

; Эта система является замкнутой, так как силы, возникающие

при взаимодействии тел системы: сила тяжести, сила

реакции опоры, на которой стоит наковальня, силы

неупругой деформации (подобные силам трения), – являются

внутренними. Известно, что если в системе действуют силы, аналогичные силе трения, то для системы не выполняется закон сохранения механической энергии, но выполняется закон сохранения полной энергии. Из него следует, что энергия, затраченная на деформацию изделия при ковке, равна разности значений механической энергии до и после удара:

Рис. 9

Незначительным перемещением

изделия и наковальни можно пренебречь, поэтому изменение потенциальной энергии . Изменением механической энергии Земли в результате взаимодействия также можно пренебречь. Это означает, что на деформацию идет только часть кинетической энергии:

, (1)

где – кинетическая энергия молота перед ударом;
– энергия молота и наковальни с изделием после неупругого удара.

Скорость системы после неупругого удара определим из закона сохранения импульса:

, (2)

где – импульс системы до удара; – импульс после удара.

Проекция уравнения ЗСИ (2) на ось x:

; (3)

Энергию деформации найдем по уравнению (1) с учетом формулы (3):

(4)

Подставим значения величин в расчетную формулу (4):

Эта энергия деформации по условию задачи является полезной, а затраченной энергией является первоначальная энергия молота перед ударом

(5)

Следовательно, коэффициент полезного действия процесса ковки

(6)

Вычислим КПД процесса ковки

Задача 10. Шар массой , движущийся со скоростью , сталкивается с шаром массой , который движется ему навстречу со скоростью . Определите: а) скорость шаров после удара, б) кинетическую энергию шаров до и после удара, в) энергию, затраченную на деформацию шаров при ударе. Удар считайте прямым, неупругим, центральным.

Дано Решение

;

Рис. 10

а) Неупругие шары после удара не восстанавливают свою форму (рис. 10). Следовательно, не возникают силы, способные оттолкнуть шары друг от друга. Это приводит к тому, что шары после удара движутся вместе со скоростью . Определим эту скорость, используя закон сохранения импульса. Шары образуют замкнутую систему и поэтому, согласно ЗСИ:

До удара суммарный импульс двух шаров

После взаимодействия их суммарный импульс

Следовательно, уравнение ЗСИ имеет следующий вид:

, (1)

Запишем проекцию уравнения (1) на ось :

выразим скорость шаров после удара и вычислим её:

б) Кинетическую энергию шаров до и после удара определим по формулам:

;

в) Энергия деформации равна разности кинетических энергий шаров до и после удара:

Можно также вычислить долю энергии, пошедшей на деформацию:

Задача 11. Шар массой , движущийся горизонтально со скоростью , столкнулся с неподвижным шаром массой . Шары упругие, удар центральный. Определите: а) скорости шаров после удара, б) долю d кинетической энергии, которую первый шар передал второму.

Дано Решение

; а) Соударяющиеся шары (рис. 11) образуют замкнутую

; консервативную систему. Из этого следует, что при их

; взаимодействии выполняется и закон сохранения импульса

. , (1)

и закон сохранения механической энергии

(2)

до удара

после удара

Рис.11

Для центрального удара можно от векторной записи ЗСИ (1) перейти к записи его в проекции на ось х:

. (3)

Для решения нелинейной системы уравнений (2) и (3) получим линейное уравнение путем деления равенства (2) на (3). Чтобы массы шаров сократились при делении, перенесем в левую часть каждого уравнения слагаемое, содержащее

; (2a)

(3a)

Разделим уравнение (2а) на (3а), при этом получим линейное уравнение

(4)

Далее решаем систему двух линейных уравнений: (3) и (4). Из уравнения (4) выразим скорость и подставим ее в уравнение (3):

; (5)

Из уравнения (4) найдем скорость , используя полученную величину

(6)

Вычисляем скорости шаров после удара по формулам (5) и (6):

б) Доля энергии , переданной первым шаром второму, выразится отношением

(7)

где – кинетическая энергия второго шара после удара, – кинетическая энергия первого шара до удара,

Подставляя в соотношение (7) величину по формуле (5), имеем:

(8)

Из полученного выражения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров и не зависит от их скоростей. Вычислим долю переданной энергии по формуле (8):

;

Задача 12. Пуля массой попадает в деревянный брусок массой , подвешенный на нити, и застревает в нем. Определите скорость пули, если брусок вместе с пулей, отклонившись от первоначального положения, поднимается на высоту .

Дано Решение

; Рассмотрим систему пуля – брусок– Земля. Выясним

; характер взаимодействия тел в различных положениях . бруска. Систему отсчета свяжем с Землей. В момент неупругого удара в системе действуют внутренние силы: сила тяжести , сила упругой реакции нити, а также силы неупругой деформации, аналогичные силам трения. Следовательно, в момент удара в системе не выполняется закон сохранения механической энергии. А закон сохранения импульса выполняется, так как система замкнута. После взаимодействия пули с бруском: между положениями 1 и 2 (рис. 10), – действие силы неупругой деформации исчезает, а работу совершает только консервативная сила тяжести; значит, можно использовать закон сохранения механической энергии.

Проведенный анализ позволяет для абсолютно неупругого удара пули и бруска записать закон сохранения импульса в виде:

Здесь в левой части записан импульс системы до взаимодействия пули с бруском, равный импульсу пули, а справа – импульс бруска с пулей после их соударения. Запишем ЗСИ в проекции на ось

и выразим скорость бруска с пулей:

(1)

Рис. 12

Следовательно, брусок с пулей в положении 1 после неупругого удара обладает кинетической энергией

Потенциальная энергия бруска в этом положении , так как приняли За счет кинетической энергии брусок отклонится от положения равновесия и поднимется на высоту h, в положение 2. В этом положении скорость бруска и его кинетическая энергия равна нулю:

При переходе системы пуля – брусок – Земля из положения 1 в 2, для системы выполняется закон сохранения механической энергии:

, (2)

где – кинетическая энергия системы в положениях 1 и 2; потенциальная энергия системы в этих положениях. Подставим величины энергий в формулу ЗСМЭ (2):

(3)

Из этого уравнения видно, что кинетическая энергия бруска в положении 1 полностью переходит в его потенциальную энергию в положении 2. Согласно уравнению (3)

(4)

Подставим в это уравнение скорость бруска u по формуле (1):

(5)

Упростим формулу (5): с учетом того, что масса пули , величиной , как слагаемым, можно пренебречь, – тогда определяемая скорость пули

Вычислим величину :

Задача 13. Диск радиусом см начинает скатываться с высоты по наклонной плоскости, образующей угол с плоскостью горизонта С каким ускорением движется центр масс диска? Найдите линейную скорость центра масс в конце наклонной плоскости.

Дано Решение

; Есть два пути решения данной задачи: с помощью

; законов динамики поступательного и вращательного

. движения и с использованием закона сохранения

механической энергии (ЗСМЭ).

1-й путь решения задачи

Качение – это сложное движение, которое является суммой двух простых: вращательного движения тела вокруг оси , проходящей через центр масс (ЦМ), и поступательного движения тела со скоростью, равной – скорости движения ЦМ. Центр масс механической системы или твердого тела – это точка С (рис. 13), которая в однородном поле тяжести совпадает с центром тяжести тела. Напомним, что центр тяжести тела – это точка, в которой приложена сила тяжести, равная .

Рис. 13

Запишем закон динамики для вращательного движения диска вокруг оси

(1)

На диск действуют два тела: Земля – силой тяжести , и наклонная плоскость. Реакция этой опоры состоит из двух составляющих: силы нормальной реакции и силы трения , которая не дает проскальзывать диску, а обеспечивает его качение. Силы проходят через точку С, поэтому плечо каждой из них равно нулю, следовательно, моменты этих сил относительно оси равны нулю. Момент создает только сила , для которой плечо равно радиусу диска R, а момент этой силы

(2)

С учетом формулы (2) закон динамики (1) принимает следующий вид:

(3)

Так как в этом уравнении содержатся две неизвестных величины: угловое ускорение и сила трения, – то требуется еще одно уравнение. Это закон динамики поступательного движения центра масс (точки С), или теорема о движении ЦМ:

(4)

где равнодействующая всех сил, приложенных к телу. В данной задаче

(4a)

Проведем ось , направляя ее вдоль ускорения , и запишем уравнение (4а) в проекции на ось :

(5)

Далее решаем систему уравнений (3) и (5), но сначала установим связь углового ускорения диска и линейного . В силу относительности движения ускорение точки С , где – ускорение перемещения точки О относительно точки С; модули этих ускорений одинаковы: Из связи углового и линейного ускорения для вращения относительно оси имеем следовательно, исходя из равенства ускорений, получаем, что и величина

(6)

С учетом формулы (6) закон динамики (3) принимает следующий вид:

(7)

Из системы уравнений (5) и (7) нужно исключить неизвестную силу , для этого преобразуем уравнение (7), подставляя в него величину момента инерции диска При этом уравнение (7) запишется так:

; .

Подставим найденную величину силы в уравнение (5):

Выражая из полученного равенства ускорение , получаем расчетную формулу для определяемой величины ускорения центра масс диска в виде:

(8)

Вычисляем .

Для нахождения скорости точки С в конце скатывания диска с наклонной плоскости решаем кинематическую задачу. Из формулы (8) видим, что величина ускорения т. е. движение точки С равноускоренное; для такого движения скорость

, (9)

где t – время движения диска; это время найдем из другого уравнения кинематики равноускоренного движения, согласно которому путь, пройденный точкой С,

. (10)

Преобразуем данное уравнение с учетом того, что а из треугольника (см. рис. 11) имеем , что дает величину . Тогда, согласно уравнению (10), получаем

, . (11)

Подставим в уравнение (9) ускорение по формуле (8) и время скатывания по формуле (11). При этом получаем расчетную формулу:

. (12)

Вычислим величину скорости ЦМ диска:

2-й путь решения задачи

Качение рассмотрим как вращение вокруг мгновенной оси вращения (МОВ). Этой осью (по свойству оси вращения, точки которой неподвижны) является линия касания диска с наклонной плоскостью, – эта линия проходит через точку О (см. рис. 13). В этой точке приложены силы реакции опоры – , причем, вторая их них явно неконсервативная, но моменты этих сил относительно МОВ равны нулю (плечо для них равно нулю). Благодаря этому силы реакции опоры не совершают работу, величина которой при вращательном движении Сила тяжести является консервативной, поэтому при качении выполняется закон сохранения механической энергии. Запишем ЗСМЭ, приравнивая в двух положениях диска: 1 – вверху и 2 – внизу:

. (13)

Здесь – кинетическая энергия вращения диска относительно МОВ, – потенциальная энергия, где – высота, на которой находится точка С. Примем, что ; в этом случае имеем удобный нуль отсчета потенциальной энергии, так как По рис. 13 видно, что В положении 1 величина , так как диск начинает движение из состояния покоя. С учетом этих замечаний уравнение ЗСМЭ (13) запишется в следующем виде:

(14)

Величину момента инерции диска относительно МОВ найдем по теореме Штейнера, учитывая, что расстояние между осями и МОВ равно R:

Подставляя величину в уравнение (14), получаем равенство

(15)

Здесь учтена связь линейной скорости точки С и угловой

Выразим из равенства (15) линейную скорость точки С:

Отметим, что полученная формула совпадает с формулой (12), найденной выше путем совместного решения двух задач – динамической и кинематической. Для нахождения ускорения нужно прибегнуть к кинематической задаче, согласно которой из уравнения (9)

. (16)

Из кинематической задачи (см. уравнение (11)) запишем:

С учетом этого выражения формулу (16) перепишем в виде

; .

Подставляя в последнее выражение величину из формулы (15), получаем расчетную формулу для линейного ускорения ЦМ диска в виде

; .

Полученная расчетная формула совпадает с формулой (8), найденной из решения с использованием законов динамики поступательного и вращательного движения диска.

Естественно, что при решении задач контрольной работы достаточно использовать один из двух рассмотренных выше способов решения. Отметим, что и в одном, и в другом способе время движения определяется в решении кинематической задачи.

Задача 14. В центре платформы стоит человек и держит на вытянутых в стороны руках гири массой каждая. Расстояние гири от оси вращения Платформа вращается с частотой . Как изменится частота вращения платформы и какую работу произведет человек, если он сблизит руки, уменьшая расстояние каждой гири от оси вращения платформы до Суммарный момент инерции человека и платформы относительно оси вращения .

Дано Решение

; Рассмотрим систему тел «скамья – человек – гири»

; (рис. 14). В этой системе силы взаимодействия человека ; с гирями и со скамьей являются внутренними, и поэтому

; они не изменяют момент импульса системы.

Внешние силы: сила тяжести и сила нормальной

реакции опоры, – параллельны оси вращения z, поэтому они не создают вращающего момента. Момент сил трения в оси так как частота вращения постоянна. Таким образом, моменты всех внешних сил относительно вертикальной оси вращения скамьи равны нулю. Следовательно, выполняется закон сохранения момента импульса системы в следующем виде:

, или , (1)

где

– моменты импульса системы относительно оси z, соответственно, до и после сближения гирь.

Запишем векторное уравнение (1) в проекции на ось вращения:

. (2)

До сближения гирь момент инерции системы

а после сближения –

Рис. 14

где

– масса каждой гири.

Используя связь угловой скорости

и частоты вращения

, (3)

и подставляя величину и значения моментов инерции в уравнение ЗСМИ (2), получаем следующее равенство:

Из этого уравнения искомая частота вращения платформы

Вычисляем величину :

Перейдем к вычислению работы, которую произвел человек, сближая гири. Все перечисленные выше внешние силы не создают вращающего момента относительно оси и, следовательно, не совершают работы. Поэтому работу, совершенную человеком, можно найти как приращение кинетической энергии системы:

Подставляя угловую скорость по формуле (3), получаем расчетную формулу в виде

(4)

Вычислим работу, совершенную человеком при перемещении гирь, по формуле (4):

Задача 15. Человек массой находится на неподвижной платформе массой и радиусом . Найдите угловую скорость, которую будет иметь платформа, если человек будет двигаться по окружности радиусом вокруг оси вращения со скоростью относительно платформы. Платформу можно считать однородным диском, а человека – точечной массой.

Дано

;

Решение На примере предыдущей задачи мы убедились, что для системы человек – платформа момент внешних сил относительно вертикальной оси равен нулю, и к системе применим закон сохранения момента импульса:

, (1) где

– начальный и конечный момент

импульса системы человек – платформа, соответственно, до движения человека и при движении человека по платформе. Так как до начала движения человека система покоилась, то ее момент импульса

, (2)

Подставляя условие (2) в уравнение (1), получаем

. (3)

Рис. 15

Это означает, что в условиях данной задачи в любой момент времени момент импульса системы человек – платформа равен нулю. Чтобы обеспечить нулевое значение момента импульса системы, момент импульса платформы

должен быть направлен противоположно моменту импульса человека

, т. е. платформа будет вращаться в сторону, противоположную движению человека (рис. 15).

Рис.13

Свяжем систему отсчета с Землей и запишем выражение для момента импульса системы человек – платформа:

Перейдем от векторной записи к скалярной:

. (4)

Учтем, что , тогда равенство (4) принимает следующий вид:

(5)

Здесь момент импульса человека рассчитываем как для материальной точки:

, (6)

а платформы – как диска:

(7)

С учетом формул (6) и (7) уравнение (5) принимает следующий вид:

(8)

В уравнении (8) скорости человека и платформы указываются в одной системе отсчета, например, связанной с Землей, и условно принятой за неподвижную систему отсчета. В задаче дана скорость человека относительно движущейся платформы. Согласно закону сложения скоростей в классической механике, скорость тела в системе, принятой за неподвижную, равна векторной сумме скоростей: скорости тела относительно движущейся системы и скорости самой системы, в данном случае равной

или, в проекции на направление движения человека, получаем

(9)

Здесь под следует понимать линейную скорость тех точек платформы, по которым идет человек; эта скорость

(10)

С учетом формул (9) и (10) уравнение (8) принимает следующий вид:

или (11)

Запись ЗСМИ в виде уравнения (11) показывает, что человек участвует в двух движениях: движение «вперед» по платформе со скоростью и вместе с платформой, вращающейся с угловой скоростью , человек «откатывается назад». Из уравнения (11) определяем скорость вращения платформы:

Вычисляем величину по этой формуле:

Механические колебания

Задача 16. Пружинный маятник жесткостью совершает гармонические колебания. Масса груза , максимальная скорость груза . Определите циклическую частоту , период и амплитуду колебаний .

Дано Решение

; ; .

Циклическая частота колебаний пружинного маятника определяется формулой

, (1)

где k – жесткость пружины; m – масса груза.

Вычисляем частоту

Период колебаний связан с циклической частотой формулой .

Вычисляем период колебаний

Амплитуду колебаний определим, рассчитывая полную механическую энергию груза, совершающего колебания:

(2)

При колебаниях груза по закону происходит превращение кинетической энергии в потенциальную, причем, в крайних положениях груза, когда смещение , скорость груза и величина . Следовательно, согласно равенству (2), полная механическая энергия груза

(3)

При движении груза из крайнего положения потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию и в положении равновесия смещение и потенциальная энергия . При этом полная механическая энергия равна максимальной кинетической энергии груза:

. (4)

Приравняем значения полной механической энергии груза, определяемой формулами (3) и (4):

(5)

Из соотношения (5) выразим определяемую амплитуду колебаний груза

; с учетом формулы (1) получаем .

Вычисляем:

Задача 17. Частица массой совершает гармонические колебания по закону Определите период колебаний , максимальную скорость частицы и ее механическую энергию .

Дано Решение

; .

Запишем закон гармонических колебаний частицы в виде:

(1)

Сравнивая с заданным уравнением движения

, (2)

видим, что циклическая частота колебаний . Период колебаний связан с циклической частотой формулой

Подставляя в эту формулу найденное значение частоты, вычисляем:

Скорость движения частицы определяем как первую производную от смещения

Получили гармонический закон колебаний величины скорости в виде

где амплитуда скорости частицы .

Полная механическая энергия E частицы, совершающей гармонические колебания (см. решение задачи 16) выражается формулой:

, или .

Вычисляем величину механической энергии колеблющейся частицы:

Задача 18. Материальная точка (МТ) массой m 10 г совершает гармонические колебания по закону . Определите амплитуду колебаний МТ, модуль ее скорости и силу , действующую на МТ в момент времени .

Дано Решение

10 г

;

Запишем закон гармонических колебаний МТ в виде

(1)

и сравним с заданным законом движения:

(2)

Из сопоставления уравнений (1) и (2) видим, что амплитуда колебаний .

Скорость МТ найдем как первую производную от зависимости координаты от времени , представленной уравнением (2):

. (3)

Вычислим по уравнению (3) значение скорости в момент времени :

Знак «минус» – отрицательная проекция скорости на ось x, означает, что вектор скорости колеблющейся материальной точки в момент времени направлен противоположно оси .

Силу, действующую на МТ, найдем по закону динамики движения – по второму закону Ньютона:

(4)

Для определения ускорения материальной точки (точнее, его проекции на ось x) используем определительную формулу:

где зависимость представлена уравнением (3); дифференцируя его, получаем проекцию ускорения на ось , как функцию времени:

, (5)

Подставляя выражение (5) в формулу закона динамики (4), находим закон изменения силы при гармонических колебаниях МТ в виде:

(6)

С учетом закона колебаний (2) уравнение (6) запишем в следующем виде:

(7)

Уравнения (6) и (7) показывают, что упругая (или подобная ей сила) изменяется с течением времени по гармоническому закону, как и величина смещения МТ от положения равновесия.

Вычисляем величину проекции силы, действующей на колеблющуюся МТ в момент времени

ЧАСТЬ 2

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Молекулярная физика (МФ) и термодинамика (ТД) изучают строение и свойства вещества. Вещество – это макроскопическая система, состоящая из большого числа частиц: от до и более.

В молекулярно-кинетической теории (МКТ) используется модель идеальный газ, согласно которой

1) суммарный объем молекул мал по сравнению с объемом сосуда,

2) молекулы движутся хаотически и не взаимодействуют друг с другом,

3) соударения молекул между собой и со стенкой сосуда – абсолютно упругие.

Реальные газы при низких давлениях (до и высоких температурах (T по своим свойствам близки к идеальному газу. Наиболее точно модели идеального газа соответствуют разреженные газы, особенно в условиях вакуума.

Молекулярная физика

Закон Максвелла

Закон Максвелла описывается функцией

Здесь – функция распределения молекул по скоростям; она равна доле молекул, имеющих скорости в единичном интервале вблизи данной скорости . Закон распределения молекул идеального газа по скоростям имеет следующий вид:

, (7)

где

– постоянная, не зависящая от скорости; m – масса молекулы. На графике (рис. 16) функция (7) имеет вид кривой с максимумом.

Площадь под кривой функции

Рис. 16

т. е. величина S одинакова при любой температуре газа. На оси скоростей (см. рис. 16)

– наиболее вероятная скорость молекулы, она соответствует максимуму кривой распределения. Из условия максимума функции

получена величина

, (8)

Средняя квадратичная скорость молекулы определяется по величине средней кинетической энергии поступательного движения молекулы (см. формулу (5)):

; . (9)

Средняя скорость молекулы (средняя арифметическая скорость) определяется с помощью закона статистического распределения

(10)

Сравнивая средние значения скоростей молекулы с учетом формул (8), (9) и (10), получаем соотношения, справедливые для молекул идеального газа и удобные в расчетах:

(11)

Термодинамика

РЕКОМЕНДАЦИИ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО РАЗДЕЛУ «МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА»

1. Текст задачи следует внимательно прочитать, чтобы выяснить, какое физическое явление или процесс рассматривается в задаче. Полезно сделать схематический рисунок или график процесса.

2. Ознакомьтесь с основными формулами для данного явления. Выпишите законы и формулы, которые можно использовать при решении данной задачи.

4. Задачу следует решать, как правило, в общем виде, чтобы получить расчетную формулу определяемой величины.

5. Вычисление определяемой величины начинайте с подстановки в расчетную формулу значений величин. При этом полезно записывать и единицы измерения физических величин, чтобы убедиться, что все величины взяты в единицах СИ. Если определяемых величин несколько, то вывод расчетной формулы для следующей начинайте, закончив вычисление предыдущей определяемой величины.

7. Вычисления и запись результата делайте с точностью до двух или трех (не более) значащих цифр. Незначащие нули записывайте в виде сомножителя . При этом, если показатель степени n соответствует приставке, то используйте её: например, Помните, что точность результата вычислений не может быть выше, чем точность исходных данных.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Молекулярная физика

Методика решения задач

1. Выписываем заданные в условии задачи величины, не забывая при этом вычислять термодинамическую температуру , а давление газа выражаем в паскалях ( : 1 мм рт. ст. 133 Па; 1 атм 1,013 .

2. Если в расчетной формуле определяемая величина выражается через независимые характеристики молекул и параметры газа (например, при расчете теплопроводности, вязкости и коэффициента диффузии газов), то желательно вычислить отдельно характеристики молекул, чтобы конечная формула была не слишком громоздкой. К тому же при таких промежуточных расчетах можно проконтролировать правильность вычисляемых величин (см. п. 3).

3. Для проверки правильности вычисляемых величин сравните их по порядку величины со следующими значениями: при температуре средняя скорость молекул воздуха ( имеет порядок , а для «лёгких» молекул и He – ; с увеличением температуры скорость молекул увеличивается, так как . Средняя энергия одной молекулы при – весьма малая величина, ее порядок , а с ростом температуры она увеличивается пропорционально T . Средняя длина свободного пробега молекул при давлении газа 100 кПа имеет порядок , но при уменьшении давления она возрастает: . Число молекул, содержащихся в 1 любого газа (или концентрация молекул) при нормальных условиях: (число Лошмидта). Плотность воздуха при нормальных условиях ρ , но она изменяется пропорционально давлению газа и обратно пропорционально его температуре. Вязкость воздуха при нормальных условиях по порядку величины η

Задача 19. В сосуде находится смесь азота массой и гелия массой при температуре 27 и давлении Определите: 1) количество молей смеси , 2) молярную массу смеси газов , 3) объем сосуда , 4) концентрацию молекул каждого газа , 5) среднюю энергию молекулы каждого компонента смеси , 6) скорости молекул каждого газа: а) наиболее вероятную , б) среднюю квадратичную , в) среднюю арифметическую скорость .

Решение

Газ при этих параметрах можно считать идеальным и использовать все законы и формулы молекулярно-кинетической теории идеального газа.

1) Количество газа (число молей смеси), как и масса, является аддитивной величиной,– равной сумме числа молей компонентов смеси:

здесь , где – соответственно, масса и молярная масса i-го компонента смеси.

Вычисляем:

2) Найдем молярную массу газовой смеси из формулы для числа молей смеси:

Вычисляем молярную массу газовой смеси:

Дано

;

3) Объем газа найдем из уравнения состояния идеального газа:

Вычисляем объем, занимаемый газом:

4) Концентрация i-го компонента газа ; где – число молекул данного компонента, равное ; здесь – число Авогадро.

Вычисляем концентрации компонентов газовой смеси:

;

5) Средняя энергия молекулы , где i – число степеней свободы молекулы газа; для двухатомной молекулы азота , а для одноатомной молекулы гелия – постоянная Больцмана. Вычисляем среднюю энергию молекул

азота: ;

гелия:

6) Рассчитываем скорости молекул компонентов газа – азота и гелия.

а) Наиболее вероятная скорость ;

для молекулы азота ;

для молекулы гелия

Видим, что молекулы с малой массой имеют большую скорость – при одинаковой температуре газа.

б) Средняя квадратичная скорость молекулы

в) Средняя арифметическая скорость молекулы

для азота

для гелия

Задача 20. Термос высотой состоит из двух цилиндров, разделенных слоем воздуха. Радиус внешнего цилиндра , радиус внутреннего – . Давление воздуха между стенками термоса ; молярная масса Термос наполнен чаем, температура которого . Температура наружного воздуха Какое количество теплоты переносится путем теплопроводности через боковую поверхность термоса за время ? Эффективный диаметр молекул воздуха

Дано Решение

Воздух:

;

Согласно уравнению Фурье для теплопроводности поток тепла

, (1)

где ось x направлена вдоль переноса энергии, т. е. по радиальному направлению.

Будем рассматривать перенос через боковую поверхность цилиндра, имеющего средний радиус . Площадь этой боковой поверхности

(2)

Градиент температуры

. (3)

Согласно МКТ, теплопроводность идеального газа определяется формулой

(4)

В этой формуле величины зависят от температуры газа, которая изменяется от , поэтому найдем среднюю температуру газа , для которой будем вычислять указанные параметры. В уравнении (4) скорости молекул близки по величине, так как молярные массы этих компонентов воздуха различаются несущественно; поэтому, используя величину молярной массы M для воздуха, находим усредненную скорость молекул по формуле

Так как в уравнение (4) входит несколько независимых величин, вычислим их по отдельности. Средняя арифметическая скорость молекул воздуха

Средняя длина свободного пробега молекул . Выразим концентрацию молекул n через давление газа, используя уравнение состояния идеального газа: . Тогда формула для длины свободного пробега принимает следующий вид:

Вычисляем:

Сравним эту величину с расстоянием , которое пролетают молекулы в радиальном направлении от цилиндрической стенки радиусом к стенке радиусом . Видим, что величина Такое состояние газа является высоким вакуумом для данного сосуда: в нем молекулы будут пролетать практически без соударений друг с другом от стенки внутреннего цилиндра к внешнему цилиндру. Следовательно, длина свободного пробега молекул

Плотность воздуха найдем, выражая ее из уравнения состояния идеального газа:

Вычисляем плотность воздуха:

Заметим, что так как заданное в условии задачи давление воздуха , т. е. в раз меньше, чем при нормальных условиях, то и плотность воздуха должна быть в раз меньше, чем ρ . Следовательно, величина плотности воздуха, находящегося между стенками термоса, определена верно.

Удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме

Так как молекулы воздуха – двухатомные, то число степеней свободы этих молекул Вычисляем

Вычислим теплопроводность воздуха по формуле (4), подставляя найденные значения величин:

Сравнивая полученную величину K с теплопроводностью воздуха при нормальных условиях, равной 2,4 , видим, что теплопроводность воздуха в условиях вакуума на порядок (т. е. примерно в 10 раз) меньше. Следовательно, и поток тепла, переносимый через вакуумный слой воздуха, будет в ~10 раз меньше, чем при атмосферном давлении.

Запишем расчетную формулу для количества переносимой теплоты , выражая ее из уравнения (1) с учетом формул (2) и (3):

Вычисляем определяемую величину

Задача 21. Для некоторого состояния водорода измерены величины коэффициента диффузии и вязкости газа : Найдите для этого состояния газа его плотность , концентрацию молекул , среднюю длину свободного пробега молекул и их среднюю арифметическую скорость .

Решение

Запишем формулы МКТ для коэффициентов переноса: коэффициент диффузии

; (1)

вязкость газа

. (2)

Дано 1) Сравнивая формулы (1) и (2), видим, что

; ; ;
1) 2)

Из этого выражения определим плотность газа

при данных условиях:

Вычисляем величину плотности водорода:

Концентрация молекул – это их число в единице объема, а плотность – масса этих молекул, находящихся в единице объема. Отсюда следует, что плотность газа , где – масса одной молекулы; ее найдем, используя массу моля газа и число молекул в одном моле, равное числу Авогадро: . Тогда концентрация молекул

Вычисляем концентрацию молекул водорода:

2) Длина свободного пробега молекул

где - эффективный диаметр молекулы газа.

Вычисляем длину свободного пробега молекул водорода при данных условиях:

3) Скорость молекул газа зависит от его температуры, которая неизвестна в условии задачи. Но по формуле (1) для коэффициента диффузии можно определить среднюю скорость молекул

Вычисляем среднюю арифметическую скорость молекул водорода:

Задача 22. Пространство между двумя коаксиальными цилиндрами заполнено газом. Радиусы цилиндров , их высота . Внешний цилиндр вращается с частотой . Для того, чтобы внутренний цилиндр оставался неподвижным, к нему приложена касательная сила Определите вязкость газа, находящегося между цилиндрами.

Дано Решение

; ; h ; ; .

При вращении внешнего цилиндра слой воздуха вблизи цилиндра увлекается им и приобретает практически такую же линейную скорость U, как и скорость точек цилиндра:

Благодаря внутреннему трению в газе импульс направленного движения со скоростью U передается соседним слоям газа и через них – внутреннему цилиндру. Для того, чтобы он не вращался, т. е. чтобы его момент импульса был , а его приращение , в соответствии с уравнением динамики вращательного движения: , – необходимо равенство нулю величины – момента всех сил, приложенных к цилиндру. Следовательно, силу вязкости F, действующую на цилиндр со стороны газа, необходимо компенсировать касательной силой (рис. 20): , – а модули этих сил равны, т. е.

Рис. 20

(1)

Согласно закону Ньютона, сила вязкости

, (2)

где η – вязкость газа; – градиент скорости движения слоев газа (ось x направлена вдоль радиуса цилиндров); S – площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра, на который действует сила F. Учитывая малую величину зазора между цилиндрами, примем, что скорость U изменяется с расстоянием вдоль радиуса цилиндров по линейному закону: от до . Тогда модуль градиента скорости слоев газа

. (3)

Площадь боковой поверхности внутреннего цилиндра

. (4)

Определяемую величину вязкости газа выразим из уравнения (2):

. (5)

Подставим в это уравнение величины, согласно формулам (1), (3) и (4). При этом равенство (5) превращается в следующую расчетную формулу:

(6)

Вычисляем вязкость газа

Задача 23. Определите внутреннюю энергию U водорода массой , а также среднюю кинетическую энергию молекулы этого газа при температуре .

Дано Решение

H₂ :

;

Внутренняя энергия идеального газа зависит от количества вещества, равного числу молей , от числа степеней свободы молекулы газа i и от его термодинамической температуры T, согласно уравнению:

(1)

Для двухатомной молекулы водорода число степеней свободы .

Вычислим значение U по уравнению (1):

Средняя энергия одной молекулы , согласно закону Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы:

, (2)

где – постоянная Больцмана.

Вычисляем значение по формуле (2):

Задача 24. Определите среднюю квадратичную скорость молекулы газа, находящегося в сосуде объемом под давлением Масса газа

Дано Решение

;

Средняя квадратичная скорость молекулы, по определению

. (1)

Величину среднего значения квадрата скорости находят из формулы среднего значения энергии поступательного движения молекулы:

. (2)

С другой стороны, согласно закону о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы:

(3)

Приравнивая величину по формулам (2)

(4)

Подставляя величину формулу (1), имеем

. (5)

Параметры газа: давление , объем и термодинамическая температура , – связаны уравнением состояния идеального газа:

(6)

С учетом соотношения параметров газа (6) уравнение (5) преобразуется в расчетную формулу средней квадратичной скорости молекулы газа:

Вычисляем:

Задача 25. Для азота, находящегося при температуре , определите среднюю кинетическую энергию поступательного движения молекулы , среднюю энергию ее вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии молекулы , а также молярную внутреннюю энергию газа .

Дано Решение

N₂:

1) Согласно закону Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекулы, на каждую поступательную и вращательную степень свободы молекулы приходится одинаковая энергия , где k –постоянная Больцмана; T – термодинамическая температура. Следовательно,

(1)

Двухатомная молекула азота имеет , а полное число степеней свободы молекулы азота равно их сумме: , так как при величина Тогда среднее значение полной кинетической энергии молекулы

(2)

Вычисляем средние значения кинетической энергии молекулы азота по формулам (1) и (2):

энергия поступательного движения

;

энергия вращательного движения

;

полная кинетическая энергия молекулы, по свойству аддитивности энергии

) ;

и по формуле (2):

Видим, что результаты обоих расчетов одинаковы.

2) Молярная внутренняя энергия газа – это энергия одного моля вещества. В формуле

, полагаем ; тогда .

Вычисляем: .

Термодинамика

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассматривая способы решения предложенных задач, видим, что большая часть задач по разделу «механика» решается с использованием законов сохранения.

В связи с этим отметим, что применение законов сохранения представляет собой единственный путь решения физических задач в тех случаях, когда неизвестен закон сил. Это относится к силам, возникающим при неупругой деформации тел, силам мышц человека, силе трения при движении человека, силе трения качения и другим.

Наряду с этим, применение законов сохранения эффективно в тех случаях, когда сила или момент силы изменяется при движении. В таких задачах использование законов динамики требует вычисления интегралов, содержащих более одной переменой, и потому является достаточно сложным. В то же время применение законов сохранения дает сравнительно простой и надежный путь решения.

Следует заметить, что динамические функции механической системы: импульс, момент импульса, механическая энергия, – сохраняются при выполнении определенных условий (замкнутость системы тел, консервативность сил взаимодействия и других). Поэтому выбору того или иного закона сохранения, например, при вращательном движении – ЗСМИ или ЗСМЭ, должен предшествовать анализ сил взаимодействия между телами механической системы и внешних сил.

При рассмотрении термодинамической системы, вычисляя теплоту, переданную газу, и совершенную им работу, в ряде задач использовали первое начало термодинамики – закон сохранения энергии в тепловых процессах.

Отметим, что, как показывают расчеты, выполненные в задачах, величины работы и теплоты различны в разных процессах, т. е. они действительно являются характеристиками процессов, в отличие от функций состояния системы – внутренней энергии и энтропии. Приращения этих величин зависят только от параметров начального и конечного состояния термодинамической системы.

Уравнение состояния идеального газа: уравнение Клапейрона–Менделеева, – является необходимым при решении большей части задач по разделу «Молекулярная физика и термодинамика».

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение …………………………………………………….……….………..3

Список рекомендуемой литературы …….………………….……………….5

Часть 1

МЕХАНИКА

1. Теоретическая часть

1.1 Кинематика поступательного и вращательного движения ..…………..6

1.2. Динамика поступательного движения ………………………………..7

1.3. Динамика вращательного движения ..………………………….………8

1.4. Работа и механическая энергия ….…………………………………......9

1.5. Законы сохранения …………………..……………………..…… . . . . .11

1.5.1. Закон сохранения импульса …...….…..………………………. . . . . 11

1.5.2. Закон сохранения момента импульса .…….…………………...........12

1.5.3. Закон сохранения механической энергии .……..………….………..12

1.6. Механические колебания ……….…….……………………….............13

2. Рекомендации к решению физических задач ………..…..……………..14

3. Примеры решения задач

3.1. Кинематика поступательного и вращательного движения

План решения кинематических задач ….………………………………….15

3.2. Динамика поступательного и вращательного движения

План решения задач с помощью законов динамики …..…..……………..20

3.3. Законы сохранения

План решения задач с использованием законов сохранения: ЗСИ,

ЗСМИ и ЗСМЭ …………………………………………..….……................28

3.4. Механические колебания ………………………………………………41

Часть 2

МЕХАНИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА

Учебное пособие

Челябинск

Издательский центр ЮУрГУ

2014

УДК 531(075.8) + 539.1 (075.8)

Одобрено

научно-методическим советом университета

Рецензенты:

Л.А. Песин, В.К. Усачев

УДК 531(075.8) + 539.1(075.8)

ВВЕДЕНИЕ

В результате изучения курса физики студент обязан:

– изучить основные физические явления;

– овладеть фундаментальными понятиями, законами и теориями классической и современной физики;

– овладеть методами физического исследования;

– уметь применять достижения физики в практической деятельности;

– ознакомиться с современной научной аппаратурой;

В результате изучения физики у студентов формируются следующие компетенции.

Общекультурные компетенции:

культура мышления, умение обобщать и анализировать информацию, ставить цель и выбирать пути ее достижения;

умение логически верно, аргументированно и ясно строить устную и письменную речь;

Общепрофессиональные компетенции:

умение решать физические проблемы повышенной сложности, в том числе требующие оригинальных подходов;

умение читать и анализировать учебную и научную литературу;

знание основных физических законов, составляющих фундамент современной техники и технологий;

Требования к оформлению решения задач КР.

3. В решении задачи приводите рисунок, график или схему.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

3. Детлаф, А.А. Курс физики: учебное пособие для втузов / А.А. Детлаф, Б.М. Яворский. – М.: Академия, 2008. – 719 с.

6. Иродов, И.Е. Задачи по общей физике: учебное пособие для втузов / И.Е. Иродов. – СПб. и др.: Лань, 2009. – 431 с.

ЧАСТЬ 1

МЕХАНИКА

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Дата: 2018-11-18, просмотров: 536.

12 3 4 5 6 7 8 9 Следующая ⇒