Понятие матриц. Виды матриц.

Поможем в ✍️ написании учебной работы

Имя

Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Нажимая кнопку "Продолжить", я принимаю политику конфиденциальности

Блок «Высшая математика».

Понятие матриц. Виды матриц.

Определение. Матрицей размера m´n, где m- число строк, n- число столбцов, называется таблица чисел, расположенных в определенном порядке. Эти числа называются элементами матрицы. Место каждого элемента однозначно определяется номером строки и столбца, на пересечении которых он находится. Элементы матрицы обозначаются a_ij, где i- номер строки, а j- номер столбца.

А =

Основные действия над матрицами.

Матрица может состоять как из одной строки, так и из одного столбца. Вообще говоря, матрица может состоять даже из одного элемента.

Определение. Если число столбцов матрицы равно числу строк (m=n), то матрица называется квадратной.

Определение. Матрица вида:

= E,

называется единичной матрицей.

Определение. Если a_mn = a_nm , то матрица называется симметрической.

Пример . - симметрическая матрица

Определение. Квадратная матрица вида называется диагональной матрицей.

Определители. Вычисление определителей.

Определителем квадратной матрицы А= называется число, которое может быть вычислено по элементам матрицы по формуле:

det A = , где

М_1к – детерминант матрицы, полученной из исходной вычеркиванием первой строки и k – го столбца. Следует обратить внимание на то, что определители имеют только квадратные матрицы, т.е. матрицы, у которых число строк равно числу столбцов.

Предыдущая формула позволяет вычислить определитель матрицы по первой строке, также справедлива формула вычисления определителя по первому столбцу:

det A =

Вообще говоря, определитель может вычисляться по любой строке или столбцу матрицы, т.е. справедлива формула:

detA = , i = 1,2,…,n.

Очевидно, что различные матрицы могут иметь одинаковые определители.

Определитель единичной матрицы равен 1.

Для указанной матрицы А число М_1к называется дополнительным минором элемента матрицы a₁_k. Таким образом, можно заключить, что каждый элемент матрицы имеет свой дополнительный минор. Дополнительные миноры существуют только в квадратных матрицах.

Определение. Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы a_ij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Обратная матрица.

Определим операцию деления матриц как операцию, обратную умножению.

Определение. Если существуют квадратные матрицы Х и А одного порядка, удовлетворяющие условию:

XA = AX = E,

где Е - единичная матрица того же самого порядка, что и матрица А, то матрица Х называется обратной к матрице А и обозначается А^-1.

Каждая квадратная матрица с определителем, не равным нулю имеет обратную матрицу и притом только одну.

Рассмотрим общий подход к нахождению обратной матрицы.

Исходя из определения произведения матриц, можно записать:

AX = E Þ , i=(1,n), j=(1,n),

e_ij= 0, i ¹ j,

e_ij= 1, i = j .

Таким образом, получаем систему уравнений:

Решив эту систему, находим элементы матрицы Х.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

Таким образом, А^-1= .

Однако, такой способ не удобен при нахождении обратных матриц больших порядков, поэтому обычно применяют следующую формулу:

где М_ji- дополнительный минор элемента а_ji матрицы А.

Пример. Дана матрица А = , найти А^-1.

det A = 4 - 6 = -2.

M₁₁=4; M₁₂= 3; M₂₁= 2; M₂₂=1

x₁₁= -2; x₁₂= 1; x₂₁= 3/2; x₂₂= -1/2

Таким образом, А^-1= .

Определение.

1) Базисом в пространстве называются любые 3 некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

2) Базисом на плоскости называются любые 2 неколлинеарные векторы, взятые в определенном порядке.

3)Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор.

Определение. Если - базис в пространстве и , то числа a, b и g - называются компонентами или координатами вектора в этом базисе.

В связи с этим можно записать следующие свойства:

- равные векторы имеют одинаковые координаты,

- при умножении вектора на число его компоненты тоже умножаются на это число,

= .

- при сложении векторов складываются их соответствующие компоненты.

; ;

+ = .

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса. Точка называется началом координат. Прямые, проходящие через начало координат называются осями координат.

1-я ось – ось абсцисс

2-я ось – ось ординат

3-я ось – ось апликат

Чтобы найти компоненты вектора нужно из координат его конца вычесть координаты начала.

Если заданы точки А(x₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то = (x₂– x₁, y₂ – y₁, z₂ – z₁).

Определение. Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны и равны единице.

Определение. Декартова система координат, базис которой ортонормирован называется декартовой прямоугольной системой координат.

Длина вектора в координатах определяется как расстояние между точками начала и конца вектора. Если заданы две точки в пространстве А(х₁, y₁, z₁), B(x₂, y₂, z₂), то .

Если точка М(х, у, z) делит отрезок АВ в соотношении l / m, считая от А, то координаты этой точки определяются как:

В частном случае координаты середины отрезка находятся как:

x = (x₁+ x₂)/2; y = (y₁ + y₂)/2; z = (z₁ + z₂)/2.

Линейные операции над векторами в координатах.

Пусть заданы векторы в прямоугольной системе координат

тогда линейные операции над ними в координатах имеют вид:

Примеры.

Пусть А(-1; 1; 0), B(3; 1; -2), . Найти:

;

и ;

a. .

b. .

c. .

Основные свойства функций.

1. Четность и нечетность

Функция называется четной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = f(x)

График четной функции симметричен относительно оси 0y

Функция называется нечетной, если
– область определения функции симметрична относительно нуля
– для любого х из области определения f(-x) = –f(x)

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

2.Периодичность

Функция f(x) называется периодической с периодом , если для любого х из области определения f(x) = f(x+Т) = f(x-Т).

График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов.

3. Монотонность (возрастание, убывание)

Функция f(x) возрастает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁)< f(x₂).

Функция f(x) убывает на множестве Р , если для любых x₁ и x₂ из этого множества, таких, что x₁ < x₂ выполнено неравенство f(x₁) > f(x₂).

4. Экстремумы

Точка Х_max называется точкой максимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_max , выполнено неравенство f(х) f(X_max).

Значение Y_max=f(X_max) называется максимумом этой функции.

Х_max – точка максимума
У_max – максимум

Точка Х_min называется точкой минимума функции f(x) , если для всех х из некоторой окрестности Х_min , выполнено неравенство f(х) f(X_min).

Значение Y_min=f(X_min) называется минимумом этой функции.

X_min – точка минимума
Y_min – минимум

X_min, Х_max – точки экстремума
Y_min, У_max – экстремумы.

5. Нули функции

Нулем функции y = f(x) называется такое значение аргумента х , при котором функция обращается в нуль: f(x) = 0.

Х₁,Х₂,Х₃ – нули функции y = f(x).

Пример 1

Найти производную функции у=С, С=const.

Решение:

- Значению х даем приращение ∆х;
- находим приращение функции ∆у: ∆у=ƒ(х+∆х)-ƒ(х)=С-С= 0;
- значит, ∆(y)/ ∆(x)=0/∆(x)=0;
- следовательно,

Пример 2

Найти производную функции у=х².

Решение:

- Аргументу х даем приращение ∆х;
- находим ∆у: ∆у=(х+∆х)²—х²=2х•∆х+(∆х)²;
- составляем отношение

- находим предел этого отношения:

Таким образом, (х²)'=2х.

В задаче про скорость прямолинейного движения было получено

Это равенство перепишем в виде V=S'_t, т. е. скорость прямолинейного движения материальной точки в момент времени t есть производная от пути S по времени t. В этом заключается механический смысл производной.

Обобщая, можно сказать, что если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная у' есть скорость протекания этого процесса. В этом состоит физический смысл производной.

В задаче про касательную к кривой был найден угловой коэффициент касательной

Это равенство перепишем в виде

ƒ'(х) = tga = k,

т. е. производная ƒ'(х) β точке х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции у = ƒ(х) в точке, абсцисса которой равна х. В этом заключается геометрический смысл производной.

Таблица дифференциалов

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1^∞, 1⁰, ∞⁰ нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры.

1. .

2. .

3. .

Дробно-линейная подстановка

Интегралы типа где а, b, с, d - действительные числа, a,b,...,d,g - натуральные числа, сводятся к интегралам от рациональной функции путем подстановки где К - наименьшее общee кратное знаменателей дробей

Действительно, из подстановки следует, что и

т. е. х и dx выражаются через рациональные функции от t. При этом и каждая степень дроби выражается через рациональную функцию от t.

Пример Найти интеграл

Решение: Наименьшее общee кратное знаменателей дробей 2/3 и 1/2 есть 6.

Поэтому полагаем х+2=t⁶, х=t⁶-2, dx=6t⁵ dt, Следовательно,

Пример Указать подстановку для нахождения интегралов:

Решение: Для I₁ подстановка х=t², для I₂ подстановка

Интегрирование по частям

Теорема. Если функции u = u(х) и v = v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [а; b], то имеет место формула

На отрезке [а; b] имеет место равенство (uv)' = u'v+uv'. Следовательно, функция uv есть первообразная для непрерывной функции u'v+uv'. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:

Следовательно,

Формула (.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить

Решение: Положим

Применяя формулу 2), получаем

Пример.

(х + у)×у^/= 1.

, .

Пусть

x = u×v, тогда и

v×u^/+ u×v^/= x + y.

Учитывая, что х = u×v, имеем

v×(u^/-v) + u×v^/= y

следовательно, lnu = y, u = e^y,

Так как , то имеем.

v = -y×e^-y- e^-y+ C.

x = u×v = -y-1 + C×e^y - общее решение.

y = -y-1 + C×e^y

начальные условия:

у₀= 0, х₀= 2.

2 = -1 + С Þ С = 1

х + у + 1 = е^у - частное решение.

Признаки сравнения

Если , и ряд сходится, то сходится и ряд .

Если , и ряд расходится, то расходится и ряд .

Признаки сравнения можно сформулировать в такой форме:

Если заданы ряды , и существует , то ряды и сходятся либо расходятся одновременно.

Пример:

1. Исследуем сходимость ряда . Очевидно, что .

Так как гармонический ряд расходится, то и ряд также расходящийся, и, согласно признаку сравнения, данный ряд расходится.

2. Исследовать сходимость ряда . Имеем: .

Ряд сходится как сумма геометрической прогрессии со знаменателем . Следовательно, согласно признаку сравнения ряд сходится.

Признак Д’Аламбера

Если существует то:

- при ряд сходится;

- при ряд расходится.

Радикальный признак Коши

Если существует то:

- при ряд сходится;

- при ряд расходится.

Интегральный признак Коши

Пусть задан ряд , члены которого являются значениями непрерывной, положительной и монотонно убывающей функции на промежутке . Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл .

Если же расходится, то ряд также будет расходящимся.

Доказательство.

Лемма. Пусть . Тогда сходится на множестве абсолютно и равномерно.

Доказательство. Так как , ряд сходится. Так как , можно применить теорему Вейерштрасса, из которой и следует утверждение леммы.

Замечание. Лемма отнюдь не утверждает равномерной сходимости степенного ряда на . Да это, вообще говоря, и неверно. Например, прогрессия сходится на неравномерно. Однако этот ряд сходится равномерно на любом .

Пусть теперь , т.е. . Выберем так, чтобы . Тогда, по доказанной лемме, ряд сходится на абсолютно и равномерно. Поскольку все функции - непрерывные, сумма ряда есть непрерывная на функция. Значит, эта функция непрерывна и в выбранной, произвольной точке интервала .

Следствие. (Единственность степенного ряда). Пусть , и в некоторой окрестности . Тогда .

Доказательство. При получаем: . Поэтому . При . В правой и левой частях стоят степенные ряды, а они, по-доказанному, есть непрерывные функции, поэтому равенство сохраняется при , откуда и т.д. (Отметим, что здесь существенно использована непрерывность ряда в точке ).

Сформулируем без доказательства еще одну важную теорему.

Теорема. (Абель). Если ряд , имеющий сумму , сходится (хотя бы неабсолютно) при , то (т.е. сумма ряда непрерывна слева).

Теорема. Для любого .

Доказательство. Пусть удовлетворяет неравенствам . Тогда степенной ряд сходится равномерно на и его можно почленно проинтегрировать. Кроме того, . Теорема доказана.

Теорема. Для любого .

Доказательство. Выберем так, чтобы . По определению , ряд сходится. Поэтому (см. доказательство теоремы 1): . Рассмотрим величину . По признаку Даламбера, ряд сходится, т.к. . Значит, мы оценили члены ряда при членами сходящегося ряда . Применяя теорему Вейерштрасса на , получаем, что этот ряд равномерно сходится. Следовательно, почленное дифференцирование обосновано на отрезке , а значит, и в точке . Ввиду произвольности точки , теорема доказана.

Важное замечание. Из доказанных теорем вытекает, что при интегрировании и дифференцировании радиус сходимости не уменьшается. Но увеличиться он также не может. Если бы, например, он увеличился и стал равен при интегрировании, мы продифференцировали бы этот полученный при интегрировании ряд и получили бы с одной стороны, ряд, совпадающий с исходным, а с другой стороны, имеющий радиус сходимости не меньший, чем (по доказанному).

Итак, радиус сходимости степенного ряда не меняется при почленном интегрировании и дифференцировании.

Однако поведение в концевых точках может меняться. Например, ряд сходится на . При этом ряд , получающийся из исходного дифференцированием, сходится только на , а прогрессия , получающаяся при дифференцировании ряда (сходящегося на ), сходится на .

Рассмотрим теперь функцию , представляемую степенным рядом в области его сходимости. Очевидно, . Далее, последовательно применяем теорему о почленном дифференцировании ряда. , откуда . , откуда . , и т.д. .

Следовательно, при всех . Таким образом, . Это можно сформулировать так: степенной ряд, сходящийся к , представляет собой ряд Тейлора для своей суммы .

Если имеет производные произвольного порядка в точке , то можно образовать соответствующий ей ряд Тейлора: .

Важное замечание. Не всегда этот ряд сходится к самой функции . Например, нетрудно доказать, что функция имеет производные произвольного порядка в точке и все они равны 0, т.е. . Ряд Тейлора этой функции тождественно равен 0 и не совпадает с .

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы ряд Тейлора функции сходился к самой функции , можно сформулировать так: остаток должен стремиться к 0 при .